2023年高考数学一轮复习：平面向量及其应用 检测试卷含答案解析

2023年高考数学一轮复习单元测评卷

平面向量及其应用

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.AB，8是半径为1的圆。的两条直径，AE^EO,则反.由5=()

13515

A.一B.--C.--D.——

44416

2.在△A8C中，a=2下，力=6,A=%,则此三角形()

6

A.无解B.一解C.两解D.解的个数不确定

,满足Rq-e21K也,a=6+4'B=

3.设年,［为单位向量：3弓+e2,设的夹角为6,

则cos?6的可能取值为()

1920〃2838

A.—B.—C.—D.—

29292929

4.已知在锐角三角形4BC中，角A,B,C所对的边分别为叫b,c,若加=a(a+c),

〃n4

则———........的取值范围是()

bcosA-acosB

5.在AABA中,角A,B,C所对的边分别为瓦C,已知csinC-(2a+b)sinB=(a-b)sinA,

则。=()

n。九■—2万一2万一兀35万

A.-B.一或一C.一D.一或一

633366

6.如图，AABC中，角C的平分线CO交边于点O,ZA=y,AC=26，

CO=30，则3C=()

DB

A.3月B.4C.472D.6

7.圣•索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始

建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996

年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照

打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任

何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找

到一座建筑物A3,高为（15百—15）m,在它们之间的地面上的点M（民三点共

线）处测得楼顶A,教堂顶。的仰角分别是15。和60。，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为

30。，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A.20mB.30mC.206mD.30gm

8.在△ABC中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,且点。满足,

若COS/A5C=L,则2c+a的最大值为（）

4

A."叵B.枕C.V5D.3A/5

55

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在AABC中，角A,8,。的对边分别为a,"c,若/=层+仇.，则角A可为（）

371兀7乃、24

A.——B.-C.—D.—

44123

10.如图所示，在△ABC中，点。在边8c上，且CD=2£>8,点E在边4。上，且A£>=3AE,

则()

A.CE=-AD+AC

33

—2——8__2Q__

C.CE=-AB+-ACD.CE=-AB--AC

9999

11.如果或，晟是平面。内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）

A.+"4（九"£R）可以表示平面。内的所有向量

B.对于平面a内任一向量使1的实数对（九〃）有无穷多个

C.若向量九e[+"ie2与+"202共线，则有且只有一个实数九使得九G+川e29出^

D.若实数人M使得突国+〃"=6,则2=〃=0

12.已知A48c是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且衣=丽,

UUUUUIO

AD=2DC^BD与CE交于点O,则下列说法正确的是（）

A.ABCE=-lB.OE+OC=6

\OAOB+OC\=^-_7

C.+D.前在元方向上的投影为一

6

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量方=（2』），|6|=6，alb2,那么向量M与日的夹角余弦值为

14.已知向量〃=（-4,3）,点3（2,-1）,记了万为福在向量£上的投影向量，

若A'B'=Xd>则4-----------

15.如图所示，为了测量A、8两岛屿的距离，小明在。处观测到A、8分别在。处的北

偏西15。、北偏东45。方向，再往正东方向行驶1（）海里至。处，观测8在。处的正北方向，

A在。处的北偏西60,方向，则A、8两岛屿的距离为一海里.

16.在AABC1中，内角A,B,C所对的边分别为"，b,。，且2----:——=—

sin8+sinCa

h=3,则△A6C的周长的最大值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图所

示：在直径为20m的半圆。空地上，设置扇形区域OMB作为大人体息区，规划两个三角形

区域做成小喷泉区（AOAB区域）和沙坑滑梯区（AA5c区域），其中A为直径延

长线上一点，且。4=20m,8为半圆周上一动点，以A3为边作等边AABC.

（1）若等边AABC的边长为“，ZAMB=0,试写出〃关于。的函数关系式；

（2）问NAMS为多少时，儿童游玩区。4a5的面积最大？这个最大面积为多少？

18.已知a=(1,0),1=(2,1).

(i)当上为何值时，B与Z+2B共线？

(2)若A3=2a+3及5C=a+相〃，且A,31,C三点共线，求，"的值.

19.如图，在中，。为BC的四等分点,且靠近点&E,尸分别为AC,4。的三等

分点，且分别靠近4,。两点，设丽=”,女=b.

A

夕

\

C

(1)试用a,b表示BC,AD,BE;

(2)证明：B,E,F三点共线.

uuti1uuruUK1ULI1

20.如图所示，在z/MB中，OC=—。4,C>D=-OB,AD与BC交于点、M.过M点

42

的直线/与OA、OB分别交于点、E,F.

0

E/M

AB

(1)试用砺，OB表示向量OM；

_—————13

⑵设=OF-QB,求证：丁万是定值・

21.已知£=(1,0)石=(2,1).

(1)当攵为何值时，丘-〃与2+2万共线？

(2)若A百=27+3及芯=£+,“且A,B,C三点共线，求机的值.

UUUUU1

22.设50,0),41,0),8(0,1),点p是直线上的一个动点，AP=2AB,若

OPAB^PAPB,求实数％的取值范围

I.【答案】B

【解析】如图所示，AB，CZ)是半径为1的圆。的两条直径，且醺=的，即E为OA

的中点，

^EC-W=(OC-OE)(Ob-OE)^OCOD-OCOE-ODOE+OE

=1X1COS^-(OC+O5)-OE+(-)2=-1-0+-=--,

244

故选：B.

2.【答案】C

ab_2yB6_.DV3

【解析】由正弦定理可知：高入=嬴70丁=而万=0皿8=3

2

因为。</?,所以A<8，

rr27r

又因为BG(O,%),所以6=—，或8=——，因此此三角形有两解，

33

3.【答案】C

【解析】因为,为单位向量，

不妨设耳=(1,0)勺=(x，V)，且x?+y2=l，

所以a=(l+x,y),5=(3+x,y),

又因为12家一司4行，

所以(x-2y+y242,

3

化简得己WxWl，

4

_、2

a-b

所以cos?e=

/\2

_(l+x)(3+x)+y2

、J(]+x)2+/#+才+匕

4(l+x)24(l+x)

一(l+x)(5+3x)-5+3x'

,3,,28

当x=一时，cos，0=——，

429

4.【答案】C

【解析】由从=a(a+c)

及余弦定理，可得C-Q=2QCOSB

正弦定理边化角，得sinC-sinA=2sinAcosB

vA+B+C=zr

/.sin(8+A)-sinA=2sinAcosB

-A)=sinA

­.­ABC是锐角三角形，

：.B-A=A，即3=2A.

7[71

vO<B<-,-<A+B<TT,

22

Fr,汽A71

那么：一<A<一

64

tzsinAsin-A...1J?

则---------------=—;------r=smAe(-,1±)

bcosA-acosBsin(B-A)22

5.【答案】C

【解析】依题意,由正弦定理得。2-(2。+。)匕=("。)”,

〃2:序_21

c2-2ab-h2=a2-ah，a2-^-b2—c2=-ab，-------------=—

2ab2

即cosC=—,.由于0<C<%,

2

所以c音

6.【答案】D

9

【解析】在△ACD中，根据正弦定理得ACsinA3友,

sinZAL>C=-------------=-…-----乂------=----

CD35/22

由NAZ>C<NA,

IT

所以

NAOC~4

l_,,..2/?"TV7T

所以Z.ACD=7i-----------=—

3412

7TTT

所以NACB=-，则NB='，

66

所以AB=AC=26，

在AABC中，由余弦定理得3c2=（26y+（2石丫—2x2石x26x［）=36,

所以BC=6.

7.【答案】D

【解析】由题意知：NC4M=45°,/41纥=1（）5°所以//4。0=30°

AB

在及中,AM=———

sinZAMBsin15°

在中，由正弦定理得一所以

sin30°sin45°

AM-sin45°_Afisin45°

CM

sin30°―sin15°-sin30°

在RtGCM中,

Afi-sin45o-sin60o_（15^-15）-T-2r

CO=CMsin600==3（）6

sin15°-sin30°V6-V21

42

8.【答案】A

r\i

【解析】因为丽=2丽，所以加一觉=2（明—应5）,所以丽=§丽+§前,

所以丽2=（2丽+J.配］=-BA+-BC2+-\BA\\BC\cosZABC,

（33J999

所以=-c2-\—a2H—cci--,整理得a?+4c?+ac=18，

\,9994

所以（2c+a>-18=3ac,

因为2c+a22j^Z，所以acv（20+"）,

8

所以（2c+af-184（（2c+a）2,WW0<2c+«<^^

所以2c+a的最大值为以5

5

9.【答案】BC

【解析】由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA^

c-b

又/=/，二〃="2+/-2Z?ccosA，整理可得：cosA=

2h

对于A,cosA=-,则c=(l—血)。<0,A错误;

2b2v'

对于B,cosA=M=*，则c=(l+3)b,B正确;

4T厂Ac—bV2—^6.|2+y/2—>/6小？rr缶

对7于C,cosA==-----------,贝mUc=----------------/?>0，C正确;

2b42

c—hf

对于D,cosA=------=一一,则c=0,D错误.

2b2

10.【答案】BD

【解析】解：・・・C0=2OB,点石在AD边匕AD=3AE

____________2______2__.__.i___2__.

AD=AC-^CD=AC+-CB=AC+-(AB-AC)=-AC+-AB

3333

_____I____1__2_»_,2__Q_____

CE=AE-AC=-AD-AC=-AC+-AB-AC=-AB--AC,

39999

11.【答案】BC

【解析】由平面向量基本定理可知，A,D是正确的.

对于B,由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量

在此基底下的实数对是唯一的.

对于C,当两个向量均为零向量时，即&=及=3="2=0时，这样的力有无数个，或当2国+川

e2为非零向量，而^2e,+fi2e2为零向量«2=〃2=0),此时2不存在.

12.【答案】BCD

【解析】由题E为A3中点，则CELA8，

以E为原点，EA,EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

设0(0,y),ye(0,73),BO=(1,y),DO=(一；，V一竽)，的〃丽，

所以y一宜l=解得：）=走,

332

即。是CE中点，OE+OC=Q，所以选项B正确;

\OA+OB+OC\=\2OE+OC\=\OE\=—，所以选项C正确;

因为CE_LAB,而.丽=0,所以选项A错误;

)二(；，¥)，BC=(1,V3).

而在册方向上的投影为空空=31Z=N，所以选项D正确.

\BC\26

故选：BCD

，田山，2

13.【答案】-

【解析】因为同=,22+F=6,

__a•b22

所以向量方与B的夹角余弦值为cos〈a,力=丽=及不

5-

故答案为：—.

14.【答案】一|

【解析】因为点A(l,l),B(2,-1),

所以而=(1,—2),又向量万=(一4,3),

ABa-10

所以而在向量a上的投影Wp=-

所以小一2x京=卜|与

因为A'B；=2万，

2

所以a=——，

5

15.【答案】5A/6

【解析】由题意知NADS=60°，ZACB=60,ZADC=105°,ZACD=30°-CD=10,

在"8中’由正弦定理得篇=篇,.•.仞=器詈=5&'

在RSBCD中,ZBDC=45。，所以，ABCD为等腰直角三角形,则BD=V2CD=10夜，

在△A3。中，由余弦定理可得AB=7AD2+BD1-2AD-BDcos60=5底(海里)•

故答案为：576.

16.【答案】9

【解析】对已知等式进行角化边可得：a2+c2-b2=ac，

因为b=3,所以6+c2_9=ac，即（a+c）2—9=3ac,

因为a>0，c>0,所以竺上、

I2)

所以(a+c)2-943x皇，即。+。46,当且仅当a=c=3时，(a+c)““,=6,

所以(a+Hc),“m=9,即AABC的周长的最大值为9.

故答案为：9.

17.【答案】(1)a=10j5-4cos20，其中(2)当=,儿童游

玩区Q4CB的面积最大，最大值为(200+125G)n?

【解析】(1)\-ZAMB^0,:.ZAOB^26,

在AAOB中，AB=a,04=20，03=10,ZAOB=20，

由余弦定理可得Y=32+OB2-2OAOBcosZAOB=500-400cos20，

所以，a=1015-4cos28，其中。E(。,不；

\2)

2

(2)S&OB=；xl0x20sin20=100sin28,SA4BC=—,4S=25>/3(5-4cos2^).

所以，

S四边形CMCB=S.AOB+S^ABC=lOOsin26+256(5-4cos20)=1OOsin2夕一1005/5cos20+125g

200sin2^--+1255/3,

I3J

八ziR..7T—八TC2〃

o<e<一，则—<2。—<—,

2333

当2崂J时,即当。=°卫时，四边形04cB的面积取最大值（200+1256）m2.

13

18.【答案】（1）忆=一一；（2）/«=-.

22

【解析】(1)ka-b=Ky<0)—(2,1)=(%—2,-1),

£+23=(1，0)+2(2,1)=(5,2).

因为左£-3与£+2区共线，所以2/一2)一(-1)x5=。,

即2A—4+5=0,得上=一，

2

(2)AB=2a+3b=2(l,0)+3(2,1)=(8,3),

BC=a+mb=(1»0)+m(2,1)=(2m4-1,m).

因为A,B,。三点共线，所以通〃就.

3

所以8)%一3(2〃?+1)=0,即2m—3=0,所以加=一.

2

311

19.【答案】(1)BC=b—a,AD~~ci+—b8£=一〃+-＞；(2)证明见解析.

44f3

【解析】(1)由题意，得前'=/—麴=6—4，

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)—a+—(h—a)——a+—b,

44444

BE=BA+AE=-AB+-AC=-a+-b.

33

(2)因为占2=-a+』从

—■―■—■―-2―•2311111

BF=BA+AF=—AB+—AD=—a-\—(―—b)=---a-\—b=—(—a+—b),

33442623

ULU1LUU

所以⑶尸二不⑶石，所以丽与丽共线.

又丽与丽有公共点B,

所以8,E,尸三点共线.

20.【答案】(1)两=』丽+3而；(2)证明见解析.

77

【解析】(1)由三点共线可得存在实数〃?(znwR)使得：前="刀+(1-加)历,

uun1um_._,1一

又OD=±OB,故+~-OB,

22