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文档简介
2023年高考数学一轮复习单元测评卷
平面向量及其应用
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.AB,8是半径为1的圆。的两条直径,AE^EO,则反.由5=()
13515
A.一B.--C.--D.——
44416
2.在△A8C中,a=2下,力=6,A=%,则此三角形()
6
A.无解B.一解C.两解D.解的个数不确定
,满足Rq-e21K也,a=6+4'B=
3.设年,[为单位向量:3弓+e2,设的夹角为6,
则cos?6的可能取值为()
1920〃2838
A.—B.—C.—D.—
29292929
4.已知在锐角三角形4BC中,角A,B,C所对的边分别为叫b,c,若加=a(a+c),
〃n4
则———........的取值范围是()
bcosA-acosB
5.在AABA中,角A,B,C所对的边分别为瓦C,已知csinC-(2a+b)sinB=(a-b)sinA,
则。=()
n。九■—2万一2万一兀35万
A.-B.一或一C.一D.一或一
633366
6.如图,AABC中,角C的平分线CO交边于点O,ZA=y,AC=26,
CO=30,则3C=()
DB
A.3月B.4C.472D.6
7.圣•索菲亚教堂(英语:SAINTSOPHIACATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省,是一座始
建于1907年拜占庭风格的东正教教堂,距今已有114年的历史,为哈尔滨的标志性建筑.1996
年经国务院批准,被列为第四批全国重点文物保护单位,是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照
打卡的必到景点其中央主体建筑集球,圆柱,棱柱于一体,极具对称之美,可以让游客从任
何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度,在索菲亚教堂的正东方向找
到一座建筑物A3,高为(15百—15)m,在它们之间的地面上的点M(民三点共
线)处测得楼顶A,教堂顶。的仰角分别是15。和60。,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为
30。,则小明估算索菲亚教堂的高度为()
A.20mB.30mC.206mD.30gm
8.在△ABC中,角A,8,C所对的边分别为a,b,c,且点。满足,
若COS/A5C=L,则2c+a的最大值为()
4
A."叵B.枕C.V5D.3A/5
55
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.在AABC中,角A,8,。的对边分别为a,"c,若/=层+仇.,则角A可为()
371兀7乃、24
A.——B.-C.—D.—
44123
10.如图所示,在△ABC中,点。在边8c上,且CD=2£>8,点E在边4。上,且A£>=3AE,
则()
A.CE=-AD+AC
33
—2——8__2Q__
C.CE=-AB+-ACD.CE=-AB--AC
9999
11.如果或,晟是平面。内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()
A.+"4(九"£R)可以表示平面。内的所有向量
B.对于平面a内任一向量使1的实数对(九〃)有无穷多个
C.若向量九e[+"ie2与+"202共线,则有且只有一个实数九使得九G+川e29出^
D.若实数人M使得突国+〃"=6,则2=〃=0
12.已知A48c是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC、AB上的两点,且衣=丽,
UUUUUIO
AD=2DC^BD与CE交于点O,则下列说法正确的是()
A.ABCE=-lB.OE+OC=6
\OAOB+OC\=^-_7
C.+D.前在元方向上的投影为一
6
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量方=(2』),|6|=6,alb2,那么向量M与日的夹角余弦值为
14.已知向量〃=(-4,3),点3(2,-1),记了万为福在向量£上的投影向量,
若A'B'=Xd>则4-----------
15.如图所示,为了测量A、8两岛屿的距离,小明在。处观测到A、8分别在。处的北
偏西15。、北偏东45。方向,再往正东方向行驶1()海里至。处,观测8在。处的正北方向,
A在。处的北偏西60,方向,则A、8两岛屿的距离为一海里.
16.在AABC1中,内角A,B,C所对的边分别为",b,。,且2----:——=—
sin8+sinCa
h=3,则△A6C的周长的最大值是.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.随着二胎开放,儿童数量渐增,某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园,如图所
示:在直径为20m的半圆。空地上,设置扇形区域OMB作为大人体息区,规划两个三角形
区域做成小喷泉区(AOAB区域)和沙坑滑梯区(AA5c区域),其中A为直径延
长线上一点,且。4=20m,8为半圆周上一动点,以A3为边作等边AABC.
(1)若等边AABC的边长为“,ZAMB=0,试写出〃关于。的函数关系式;
(2)问NAMS为多少时,儿童游玩区。4a5的面积最大?这个最大面积为多少?
18.已知a=(1,0),1=(2,1).
(i)当上为何值时,B与Z+2B共线?
(2)若A3=2a+3及5C=a+相〃,且A,31,C三点共线,求,"的值.
19.如图,在中,。为BC的四等分点,且靠近点&E,尸分别为AC,4。的三等
分点,且分别靠近4,。两点,设丽=”,女=b.
A
夕
\
C
(1)试用a,b表示BC,AD,BE;
(2)证明:B,E,F三点共线.
uuti1uuruUK1ULI1
20.如图所示,在z/MB中,OC=—。4,C>D=-OB,AD与BC交于点、M.过M点
42
的直线/与OA、OB分别交于点、E,F.
0
E/M
AB
(1)试用砺,OB表示向量OM;
_—————13
⑵设=OF-QB,求证:丁万是定值・
21.已知£=(1,0)石=(2,1).
(1)当攵为何值时,丘-〃与2+2万共线?
(2)若A百=27+3及芯=£+,“且A,B,C三点共线,求机的值.
UUUUU1
22.设50,0),41,0),8(0,1),点p是直线上的一个动点,AP=2AB,若
OPAB^PAPB,求实数%的取值范围
I.【答案】B
【解析】如图所示,AB,CZ)是半径为1的圆。的两条直径,且醺=的,即E为OA
的中点,
^EC-W=(OC-OE)(Ob-OE)^OCOD-OCOE-ODOE+OE
=1X1COS^-(OC+O5)-OE+(-)2=-1-0+-=--,
244
故选:B.
2.【答案】C
ab_2yB6_.DV3
【解析】由正弦定理可知:高入=嬴70丁=而万=0皿8=3
2
因为。</?,所以A<8,
rr27r
又因为BG(O,%),所以6=—,或8=——,因此此三角形有两解,
33
3.【答案】C
【解析】因为,为单位向量,
不妨设耳=(1,0)勺=(x,V),且x?+y2=l,
所以a=(l+x,y),5=(3+x,y),
又因为12家一司4行,
所以(x-2y+y242,
3
化简得己WxWl,
4
_、2
a-b
所以cos?e=
/\2
_(l+x)(3+x)+y2
、J(]+x)2+/#+才+匕
4(l+x)24(l+x)
一(l+x)(5+3x)-5+3x'
,3,,28
当x=一时,cos,0=——,
429
4.【答案】C
【解析】由从=a(a+c)
及余弦定理,可得C-Q=2QCOSB
正弦定理边化角,得sinC-sinA=2sinAcosB
vA+B+C=zr
/.sin(8+A)-sinA=2sinAcosB
-A)=sinA
.ABC是锐角三角形,
:.B-A=A,即3=2A.
7[71
vO<B<-,-<A+B<TT,
22
Fr,汽A71
那么:一<A<一
64
tzsinAsin-A...1J?
则---------------=—;------r=smAe(-,1±)
bcosA-acosBsin(B-A)22
5.【答案】C
【解析】依题意,由正弦定理得。2-(2。+。)匕=("。)”,
〃2:序_21
c2-2ab-h2=a2-ah,a2-^-b2—c2=-ab,-------------=—
2ab2
即cosC=—,.由于0<C<%,
2
所以c音
6.【答案】D
9
【解析】在△ACD中,根据正弦定理得ACsinA3友,
sinZAL>C=-------------=-…-----乂------=----
CD35/22
由NAZ>C<NA,
IT
所以
NAOC~4
l_,,..2/?"TV7T
所以Z.ACD=7i-----------=—
3412
7TTT
所以NACB=-,则NB=',
66
所以AB=AC=26,
在AABC中,由余弦定理得3c2=(26y+(2石丫—2x2石x26x[)=36,
所以BC=6.
7.【答案】D
【解析】由题意知:NC4M=45°,/41纥=1()5°所以//4。0=30°
AB
在及中,AM=———
sinZAMBsin15°
在中,由正弦定理得一所以
sin30°sin45°
AM-sin45°_Afisin45°
CM
sin30°―sin15°-sin30°
在RtGCM中,
Afi-sin45o-sin60o_(15^-15)-T-2r
CO=CMsin600==3()6
sin15°-sin30°V6-V21
42
8.【答案】A
r\i
【解析】因为丽=2丽,所以加一觉=2(明—应5),所以丽=§丽+§前,
所以丽2=(2丽+J.配]=-BA+-BC2+-\BA\\BC\cosZABC,
(33J999
所以=-c2-\—a2H—cci--,整理得a?+4c?+ac=18,
\,9994
所以(2c+a>-18=3ac,
因为2c+a22j^Z,所以acv(20+"),
8
所以(2c+af-184((2c+a)2,WW0<2c+«<^^
所以2c+a的最大值为以5
5
9.【答案】BC
【解析】由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA^
c-b
又/=/,二〃="2+/-2Z?ccosA,整理可得:cosA=
2h
对于A,cosA=-,则c=(l—血)。<0,A错误;
2b2v'
对于B,cosA=M=*,则c=(l+3)b,B正确;
4T厂Ac—bV2—^6.|2+y/2—>/6小?rr缶
对7于C,cosA==-----------,贝mUc=----------------/?>0,C正确;
2b42
c—hf
对于D,cosA=------=一一,则c=0,D错误.
2b2
10.【答案】BD
【解析】解:・・・C0=2OB,点石在AD边匕AD=3AE
____________2______2__.__.i___2__.
AD=AC-^CD=AC+-CB=AC+-(AB-AC)=-AC+-AB
3333
_____I____1__2_»_,2__Q_____
CE=AE-AC=-AD-AC=-AC+-AB-AC=-AB--AC,
39999
11.【答案】BC
【解析】由平面向量基本定理可知,A,D是正确的.
对于B,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么该平面内的任意一个向量
在此基底下的实数对是唯一的.
对于C,当两个向量均为零向量时,即&=及=3="2=0时,这样的力有无数个,或当2国+川
e2为非零向量,而^2e,+fi2e2为零向量«2=〃2=0),此时2不存在.
12.【答案】BCD
【解析】由题E为A3中点,则CELA8,
以E为原点,EA,EC分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示:
设0(0,y),ye(0,73),BO=(1,y),DO=(一;,V一竽),的〃丽,
所以y一宜l=解得:)=走,
332
即。是CE中点,OE+OC=Q,所以选项B正确;
\OA+OB+OC\=\2OE+OC\=\OE\=—,所以选项C正确;
因为CE_LAB,而.丽=0,所以选项A错误;
)二(;,¥),BC=(1,V3).
而在册方向上的投影为空空=31Z=N,所以选项D正确.
\BC\26
故选:BCD
,田山,2
13.【答案】-
【解析】因为同=,22+F=6,
__a•b22
所以向量方与B的夹角余弦值为cos〈a,力=丽=及不
5-
故答案为:—.
14.【答案】一|
【解析】因为点A(l,l),B(2,-1),
所以而=(1,—2),又向量万=(一4,3),
ABa-10
所以而在向量a上的投影Wp=-
所以小一2x京=卜|与
因为A'B;=2万,
2
所以a=——,
5
15.【答案】5A/6
【解析】由题意知NADS=60°,ZACB=60,ZADC=105°,ZACD=30°-CD=10,
在"8中’由正弦定理得篇=篇,.•.仞=器詈=5&'
在RSBCD中,ZBDC=45。,所以,ABCD为等腰直角三角形,则BD=V2CD=10夜,
在△A3。中,由余弦定理可得AB=7AD2+BD1-2AD-BDcos60=5底(海里)•
故答案为:576.
16.【答案】9
【解析】对已知等式进行角化边可得:a2+c2-b2=ac,
因为b=3,所以6+c2_9=ac,即(a+c)2—9=3ac,
因为a>0,c>0,所以竺上、
I2)
所以(a+c)2-943x皇,即。+。46,当且仅当a=c=3时,(a+c)““,=6,
所以(a+Hc),“m=9,即AABC的周长的最大值为9.
故答案为:9.
17.【答案】(1)a=10j5-4cos20,其中(2)当=,儿童游
玩区Q4CB的面积最大,最大值为(200+125G)n?
【解析】(1)\-ZAMB^0,:.ZAOB^26,
在AAOB中,AB=a,04=20,03=10,ZAOB=20,
由余弦定理可得Y=32+OB2-2OAOBcosZAOB=500-400cos20,
所以,a=1015-4cos28,其中。E(。,不;
\2)
2
(2)S&OB=;xl0x20sin20=100sin28,SA4BC=—,4S=25>/3(5-4cos2^).
所以,
S四边形CMCB=S.AOB+S^ABC=lOOsin26+256(5-4cos20)=1OOsin2夕一1005/5cos20+125g
200sin2^--+1255/3,
I3J
八ziR..7T—八TC2〃
o<e<一,则—<2。—<—,
2333
当2崂J时,即当。=°卫时,四边形04cB的面积取最大值(200+1256)m2.
13
18.【答案】(1)忆=一一;(2)/«=-.
22
【解析】(1)ka-b=Ky<0)—(2,1)=(%—2,-1),
£+23=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
因为左£-3与£+2区共线,所以2/一2)一(-1)x5=。,
即2A—4+5=0,得上=一,
2
(2)AB=2a+3b=2(l,0)+3(2,1)=(8,3),
BC=a+mb=(1»0)+m(2,1)=(2m4-1,m).
因为A,B,。三点共线,所以通〃就.
3
所以8)%一3(2〃?+1)=0,即2m—3=0,所以加=一.
2
311
19.【答案】(1)BC=b—a,AD~~ci+—b8£=一〃+->;(2)证明见解析.
44f3
【解析】(1)由题意,得前'=/—麴=6—4,
AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)—a+—(h—a)——a+—b,
44444
BE=BA+AE=-AB+-AC=-a+-b.
33
(2)因为占2=-a+』从
—■―■—■―-2―•2311111
BF=BA+AF=—AB+—AD=—a-\—(―—b)=---a-\—b=—(—a+—b),
33442623
ULU1LUU
所以⑶尸二不⑶石,所以丽与丽共线.
又丽与丽有公共点B,
所以8,E,尸三点共线.
20.【答案】(1)两=』丽+3而;(2)证明见解析.
77
【解析】(1)由三点共线可得存在实数〃?(znwR)使得:前="刀+(1-加)历,
uun1um_._,1一
又OD=±OB,故+~-OB,
22
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