2019年山西省中考数学试卷含解析

2019年山西省中考数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑

1.（3分）（2019•山西）-3的绝对值是（）

A.-3B.3C.D.1.

33

2.（3分）（2019•山西）下列运算正确的是（）

7709

A.2。+3〃=5〃-B.Ca+2bv）=。-+48

厂TA/I_2、3

C.a2*a.3=a6D.（-ab）=-a3»b6

3.（3分）（2019•山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么

在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是（）

点1亮1

青春1梦1

A.青B.春C.梦D.想

4.（3分）（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是（）

D.M

A，福B.梓C.V8

5.（3分）（2019•山西）如图，在△ABC中，AB=AC,NA=30°,直线a〃6,顶点C在

直线6上，直线a交48于点£>,交AC与点E,若/1=145°,则N2的度数是（）

色

A.30°B.35°C.40°D.45°

6.（3分）（2019•山西）不等式组J的解集是（）

2-2x<4

A.x>4B.x>-1C.-1<X<4D.x<-1

7.（3分）（2019•山西）五台山景区空气清爽，景色宜人.“五一”小长假期间购票进山游

客12万人次，再创历史新高.五台山景区门票价格旺季168元/人.以此计算，“五一”

小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示（）

A.2.016X1（）8元B.0.2016X1（）7元

C.2.016X1（）7元D.2016X1（）4元

8.（3分）（2019•山西）一元二次方程/-4x-1=0配方后可化为（）

A.G+2）2=3B.（x+2）2=5C.（%-2）2=3D.（%-2）2=5

9.（3分）（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1）,它由五个高度不

同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，

此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面

相交于A,8两点.拱高为78米（即最高点。到AB的距离为78米），跨径为90米（即

A8=90米），以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,

则此抛物线钢拱的函数表达式为（）

D『舟

10.（3分）（2019•山西）如图，在RtZXABC中,ZA5C=90°,AB=2y/3,BC=2,以A2

的中点。为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点Q,则图中阴影部分的面积为（）

A.B.C.2如-RD.473--

42422

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）（2019•山西）化简的结果是.

x-ll-x

12.（3分）（2019•山西）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这

四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统

计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是

13.（3分）（2019•山西）如图，在一块长12根，宽8〃?的矩形空地上，修建同样宽的两条互

相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积

11m,设道路的宽为xm,则根据题意，可列方程为

14.（3分）（2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABC。的顶点

8在x轴的正半轴上，点A坐标为（-4,0）,点。的坐标为（-1,4）,反比例函数y

=K（x>0）的图象恰好经过点C,则我的值为.

15.（3分）（2019•山西）如图，在△ABC中，NBAC=90°,A8=AC=10a",点£）为△

A8C内一点，ZBAD=\5°,AD=6cm,连接5。，将△AB。绕点A按逆时针方向旋转,

使AB与AC重合，点。的对应点为点E,连接。E,OE交AC于点八则CF的长为

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（10分）（2019•山西）（1）计算：V27+（-A）2-3tan60°+°.

2

（2）解方程组/3乂一2尸一81①

x+2y=0,②

17.（7分）（2019•山西）已知：如图，点B,。在线段4E上，AD=BE,AC//EF,ZC=

ZF.求证：BC=DF.

D

AB

18.（9分）（2019•山西）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8

月在山西举行.太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别

招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他

们进行了基本素质测评，满分10分.各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人,

对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图.请解答下列问

题：

（1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能

否被录用（只写判断结果，不必写理由）.

（2）请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价（从“众数”，“中位数”,

或“平均数”中的一个方面评价即可）.

（3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中

的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场,

山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A,B,C,D表

示.现把分别印有A,B,C,。的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀

放好.志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或画

树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率.

19.（8分）（2019•山西）某游泳馆推出了两种收费方式.

方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每

次游泳再付费30元.

方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.

设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为x（元），选择方式二

的总费用为”（元）.

（1）请分别写出力,以与x之间的函数表达式.

（2）小亮--年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.

20.（9分）（2019•山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他

们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,

选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减

小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并

取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）.

课题测量旗杆的高度

成员组长：XXX组员：XXX,XXX,XXX

测量工具测量角度的仪器，皮尺等

C

测量示意图说明：线段G”表示

学校旗杆，测量角度

E的仪器的高度AC=

BA

80=1.5m,测点A,

8与H在同一条水平

直线上，A,B之间

的距离可以直接测

得，且点G,H,A,

B,C,。都在同一竖

直平面内，点C,D,

£■在同一条直线上，

点E在GH上.

测量数据测量项目第一第二平均

次次值

NGCE的度数25.6°25.8°25.7°

/GOE的度数31.2°30.8°31°

力，8之间的距离5Am5.6/z?

任务一：两次测量A,B之间的距离的平均值是m.

任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.

（参考数据：sin25.7°=0.43,cos25.7°20.90,tan25.7°七0.48,sin31°40.52,cos31°

=0.86,tan310弋0.60）

任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时.，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量

旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）

21.（8分）（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重

要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接

圆和内切圆的半径，。和/分别为其中外心和内心，则。/:/?2-2Rr.

如图1,。。和分别是△A8C的外接圆和内切圆，。/与4B相切分于点尸，设。。的

半径为R，。/的半径为r,外心。（三角形三边垂直平分线的交点）与内心/（三角形三

条角平分线的交点）之间的距离OI=d,则有/=片-2Rr.

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长4交。。于点。，过点/作。。的直径MN,连接。M,AN.

'.'ZD=ZN,ZDMI=ZNAI（同弧所对的圆周角相等）.

IAIN

如图2,在图1（隐去AN）的基础上作（DO的直径。石，连接BE,BD,BI,IF.

是。。的直径，所以/£>BE=90°.

；。/与A8相切于点F,所以NAF/=90°,

：.ZDBE^ZIFA.

VZBAD^ZE(同弧所对的圆周角相等)，

IXAlFs丛EDB,

•IA=IF

"DEBD'

：.1A・BD=DE,IF②

任务：(1)观察发现：IM=R+d,IN=(用含R,d的代数式表示)；

(2)请判断8。和〃)的数量关系，并说明理由.

(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1),(2)的结论，按照上面的证明思路，

完成该定理证明的剩余部分；

(4)应用：若△A3C的外接圆的半径为5c内切圆的半径为2cw,则△ABC的外心与

内心之间的距离为cm.

22.(II分)(2019•山西)综合与实践

动手操作：

第一步：如图1,正方形纸片A8CD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平.在沿过点

C的直线折叠，使点2,点。都落在对角线AC上.此时，点2与点。重合，记为点N,

且点E,点N,点尸三点在同一条直线上，折痕分别为CE,CF.如图2.

第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3.

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4,展开铺平，连接EF,

FG,GM,ME.如图5,图中的虚线为折痕.

问题解决：

(1)在图5中，ZBEC的度数是,岖的值是.

BE

(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；

(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱

形(正方形除外)，并写出这个菱形：.

23.(13分)(2019•山西)综合与探究

如图，抛物线y=a』+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,点。

是抛物线上一个动点，设点。的横坐标为，"(1＜加＜4).连接AC,BC,DB,DC.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)△BC。的面积等于△40C的面积的国时，求〃?的值；

4

(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否

存在这样的点使得以点8,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直

接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2019年山西省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑

I.（3分）（2019•山西）-3的绝对值是（）

A.-3B.3C.-1D.上

33

【解答】解：|-3|=3.

故-3的绝对值是3.

故选：B.

2.（3分）（2019•山西）下列运算正确的是（）

A.2a+3a—5a2B.（a+2b）2~d1+4b2

C.（T,ai—a，D.（-ab2）3=-a3bb

【解答】解：A、2a+3a=5a,故此选项错误；

B、（a+2b）2=a2+4ab+4b2,故此选项错误；

C、a''ai=a,故此选项错误；

D、（-a/）三-正确.

故选：D.

3.（3分）（2019•山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么

【解答】解：展开图中“点”与“春”是对面，“亮”与“想”是对面，“青”与“梦”

是对面;

故选：B.

4.（3分）（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是（）

D.a

C、我=2加，故C不符合题意;

。、我是最简二次根式，故。符合题意.

故选：D.

5.（3分）（2019•山西）如图，在△ABC中，AB=AC,/4=30°,直线a〃b,顶点C在

直线人上，直线a交AB于点£>,交AC与点E,若Nl=145°,则/2的度数是（

A.30°B.35°C.40°D.45°

【解答】解：'：AB=AC,且NA=30°,

AZACB=J5°,

在△AQE中，：N1=/A+/AE£>=145°,

AZAED=145°-30°=115°,

'：allb、

ZAED=Z2+ZACB,

.".Z2=115°-75°=40°,

故选：C.

f-i>3

6.（3分）（2019•山西）不等式组1x的解集是（）

2-2x<4

A.x>4B.x>-1C.-l<x<4D.x<-1

'x-l〉3①

【解答】解:

2-2x<4②'

由①得：x>4,

由②得：x>-1,

不等式组的解集为：x>4,

故选：A.

7.（3分）（2019•山西）五台山景区空气清爽，景色宜人.“五一”小长假期间购票进山游

客12万人次，再创历史新高.五台山景区门票价格旺季168元/人.以此计算，“五一”

小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示（）

A.2.016X1（）8元B.0.2016义1。7元

C.2.016Xl（f元D.2016X1（）4元

【解答】解：120000X168=20160000=2.016X1（）7,

故选：C.

8.（3分）（2019•山西）一元二次方程，-4x-1=0配方后可化为（）

A.（x+2）2=3B.（x+2）2=5C.（%-2）2=3D.（x-2）2=5

【解答】解：X2-4JC-1=0,

2

x-4x=1,

2

x-4x+4=1+4,

（x-2）2=5,

故选：D.

9.（3分）（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1）,它由五个高度不

同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，

此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面

相交于A,B两点.拱高为78米（即最高点。到AB的距离为78米），跨径为90米（即

A8=90米），以最高点0为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,

则此抛物线钢拱的函数表达式为（）

0大

图1图2

A.B.y=-

675675

C.D.y=-

'1350“1350

【解答】解：设抛物线的解析式为：y=ax2,

将3（45,-78）代入得：-78=aX452,

解得：。=-空，

675

故此抛物线钢拱的函数表达式为：

675

故选：B.

10.（3分）（2019•山西）如图，在RtZXABC中，NABC=90°,AB=2a，BC=2,以A8

的中点。为圆心，04的长为半径作半圆交AC于点。，则图中阴影部分的面积为（）

5后兀D

C.273-TT4日今

42

【解答】解：,在RtAABC中,ZABC=9O0,AB=2\/3,BC=2,

AtanA=BC2J3,

AB2V33

AZA=30°,

."003=60°,

OD=1AB=-JS，

2

：.DE=^-,

2

3

,阴影部分的面积是：2叵X，上乂2jpx兀X（运：=^_三

2236042

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）（2019•山西）化简上互-^J的结果是—①■一

x-l1-xxT

［解答］解：原式=&+x=2x+x=3x

xTx-1x-lx-1

故答案为：维

X-1

12.（3分）（2019•山西）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这

四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统

计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是扇形统计图.

【解答】解：要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支

出各占家庭本年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图.

故答案为：扇形统计图

13.（3分）（2019•山西）如图，在一块长12根，宽8〃?的矩形空地上，修建同样宽的两条互

相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积

77机2,设道路的宽为X/M,则根据题意，可列方程为（12-x）（8-x）=77.

【解答】解：；道路的宽应为X米，

...由题意得,（12-%）（8-x）=77,

故答案为：（12-x）（8-X）=77.

14.（3分）（2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点。为坐标原点，菱形ABC。的顶点

8在x轴的正半轴上，点A坐标为（-4,0）,点。的坐标为（-1,4）,反比例函数y

=k（x>0）的图象恰好经过点C,则无的值为16.

x

【解答】解：过点C、。作CEL轴，OFL轴，垂足为E、F,

；ABC。是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,

易证△ADF丝△BCE,

•.,点A(-4,0),D(-1,4),

：.DF=CE=^,OF=1,AF=OA-OF=3,

在RtZXAQ尸中，Ar>=^32+42-5,

AOE=EF-OF=5-1=4,

：.C(4,4)

.•"=4X4=16

15.（3分）（2019•山西）如图，在△ABC中，N84C=90°,AB=AC=10CTH,点。为△

ABC内一点，NBAD=15°,AD=6cm,连接B。，将AAB力绕点4按逆时针方向旋转，

使AB与AC重合，点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为（10

【解答】解：过点A作AGLOE于点G,

由旋转知：AO=AE,ZDAE=90°,/CAE=15°,

AZAED=ZADG=45a,

在aAE尸中，ZAFD=ZAED+ZCAE=60°,

在RtZXAOG中，AG=DG=_^=3&,

V2

在Rt^A『G中，GF=-^=A/6，AF=2FG=2疾,

M

：.CF^AC-AF^W-2氓,

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（10分）（2019•山西）（1）计算：V27+<--2-3tan60°+（n-&）°.

切士环尔f3x-2y=-8,①

（2）解万程组：入

x+2y=0,②

【解答】解：（1）原式=3愿+4-3、&1

=5；

（2）①+②得，

4x=-8,

•*»x=-2,

把x=-2代入①得，

-6-2尸-8,

•*-y=l>

.fx=-2

ly=l

17.（7分）（2019•山西）已知：如图，点B,O在线段AE上，AD=BE,AC//EF,ZC=

NF.求证：BC=DF.

【解答】证明：

：.AD-BD=BE-BD,

：.AB=ED,

"：AC//EF,

ZA=Z£,

'NC=NF

在△ABC和△£：£)/中，＜NA=NE，

，杷=ED

.♦.△ABC丝△EOF(AAS),

：.BC=DF.

18.（9分）（2019•山西）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8

月在山西举行.太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别

招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他

们进行了基本素质测评，满分10分.各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人,

对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图.请解答下列问

题：

（1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能

否被录用（只写判断结果，不必写理由）.

（2）请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价（从“众数”，“中位数”,

或“平均数”中的一个方面评价即可）.

（3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中

的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场,

山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A,B,C,。表

示.现把分别印有A，B,C,。的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀

放好.志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或画

树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率.

甲班口

;乙班口

【解答】解：（1）小华在甲班是第11名，不能录用；小丽在乙班是第10名，可以录用;

（2）从众数来看，甲乙两班各被录用的10名志愿者的众数分别为8分、10分，说明甲

班被录用的10名志愿者中8分最多，乙班被录用的10名志愿者中10分最多；

从中位数来看，甲乙两班被录用的10名志愿者成绩的中位数分别为9分、8.5分，说明

甲班被录用的10名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的中位数；

从平均数看，甲乙两班被录用的10名志愿者成绩的平均数分别为8.9分、8.7分，说明甲

班被录用的10名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的平均数.

（3）画树状图如下：

ABCD

/l\/|\/l\/l\

BCDACDABDABC

由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是“A”和的有2

种结果,

所以抽到的两张卡片恰好是“A”和“8”的概率为2=L.

126

19.（8分）（2019•山西）某游泳馆推出了两种收费方式.

方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每

次游泳再付费30元.

方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.

设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为yi（元），选择方式二

的总费用为以（元）.

（1）请分别写出力，”与x之间的函数表达式.

（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.

【解答】解：（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：力=30/200,方式二的费用为：

y2=40x；

（2）由），|<丫2得：30x+200<40x,

解得x>20时，

当x>20时，选择方式一比方式二省钱.

20.（9分）（2019♦山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他

们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,

选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减

小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并

取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）.

课题测量旗杆的高度

成员组长：XXX组员：XXX,XXX,XXX

测量工具测量角度的仪器，皮尺等

测量示意图说明：线段G”表示

学校旗杆，测量角度

的仪器的高度AC=

BD=1.5m,测点4,

B与〃在同一条水平

直线上，A,8之间

的距离可以直接测

得，且点G,H,A,

B,C,。都在同一竖

直平面内，点C,D,

E在同一条直线上，

点E在GH上.

测量数据测量项目第一第二平均

次次值

ZGCE的度数25.6°25.8°25.7°

NGOE的度数31.2°30.8°31°

A,B之间的距离5.4m5.6m

任务一：两次测量A,3之间的距离的平均值是5.5〃葭

任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆G”的高度.

(参考数据：sin25.7°=0.43,cos25.7°弋0.90,tan25.7°=0.4考sin310~0.52,cos310

«=0.86,tan31°~0.60)

任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量

旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可)

【解答】解：任务一：由题意可得，四边形ACD8,四边形ADE”是矩形,

：.EH=AC=\.5,CD=AB=5.5,

故答案为:5.5：

任务二：设EC=X〃3

在RtZ^DEG中，ZDEC=90°,NGDE=3l

Vtan31°=延,

DE

：.DE=

tan310

在RtZXCEG中，NCEG=90°，ZGCE=25.7°,

Vtan25.7°=旦色，CE=----上—

CEtan25.7

•:CD=CE-DE,

x_x

tan25.7°tan310

，x=13.2,

，GH=CE+EH=13.2+1.5=14.7,

答：旗杆GH的高度为14.7米；

任务三：没有太阳光，或旗杆底部不可能达到.

21.（8分）（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重

要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△A8C中，R和r分别为外接

圆和内切圆的半径，。和/分别为其中外心和内心，则。/二川一局.

如图1,。。和O/分别是△ABC的外接圆和内切圆，。/与4B相切分于点尸，设。。的

半径为R，。/的半径为，，外心。（三角形三边垂直平分线的交点）与内心/（三角形三

条角平分线的交点）之间的距离OI=d,则有/=/?2-2Rr.

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长4交。。于点。，过点/作。。的直径MN,连接DM,AN.

\'ZD=ZN,NDMI=NNAI（同弧所对的圆周角相等）.

：.»MDls丛ANL.*.21=生，：.IA・ID=1M・IN,①

IAIN

如图2,在图1（隐去MD,AN）的基础上作OO的直径。E,连接BE,BD,BI,IF.

：。《是。0的直径，所以/O8E=90°.

：。/与AB相切于点F,所以/AF/=90°,

:.NDBE=/IFA.

■.,ZBAD=ZE（同弧所对的圆周角相等），

△A/Fs△EQB,

"DEBD"

：.1A，BD=DE，IF②

任务：（1）观察发现：IM=R+d,IN=Rd（用含R,d的代数式表示）；

（2）请判断B。和〃）的数量关系，并说明理由.

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1）,（2）的结论，按照上面的证明思路，

完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：若AABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2的，则AABC的外心与

内心之间的距离为_近_。".

【解答】解：⑴：。、/、N三点共线，

：.OI+IN=ON

：.IN=ON-OI=R-d

故答案为：R-d；

（2）BD=ID

理由如下：

如图3,过点/作。。直径MM连接A/交O。于。，连接M。，BI,BD,

:点/是△ABC的内心

：.ZBAD=ZCAD,NCB1=/ABI

ZDBC^ZCAD,NBID=NBAD+NABI,NDBI=NDBC+NCBI

：.NBID=NDBI

：.BD=1D

（3）由（2）知：BD=1D

：.IA'1D=DE'IF

■:DE7F=IM7N

：.2RT=(R+d)(R-J)

A/?2-j=2Rr

:./=R2-2Rr

(4)由(3)知:$=R2-2Rr；将R=5,r=2代入得:

$=52-2X5X2=5,

'：d>Q

・"=

故答案为：A/5-

22.(II分)(2019•山西)综合与实践

动手操作：

第一步：如图1,正方形纸片A8C。沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平.在沿过点

C的直线折叠，使点8,点。都落在对角线AC上.此时，点B与点O重合，记为点N,

且点E,点N,点尸三点在同一条直线上，折痕分别为CE,C凡如图2.

第二步：再沿AC所在的直线折叠，AACE与△ACF重合，得到图3.

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点尸重合，如图4,展开铺平，连接EF,

FG,GM,ME.如图5,图中的虚线为折痕.

问题解决：

(1)在图5中，NBEC的度数是67.5°，4的值是

BE--

(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；

(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱

形(正方形除外)，并写出这个菱形：菱形EMCH或菱形尸GCH.

【解答】解：（1）由折叠的性质得:BE=EN,AE=AF,/CEB=/CEN,NBAC=N

CAD,

•・•四边形A8C£＞是正方形，

：.ZEAF=90°,

AZAEF=ZAFE=45°，

:・NBEN=135°，

AZBEC=67.5°,

：.ZBAC=ZCAD=45°,

VZAEF=45°,

••.△AEN是等腰直角三角形，

:・AE=y[^N,

.•.迪=迎ua；

BEEN

故答案为：67.5°,、历；

(2)四边形EMGF是矩形；理由如下：

•.•四边