2022-2023学年上海市静安区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市静安区高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共3小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.（2%—口厂的展开式中的常数项为（）

VX

A.-120B,120C.-60D.60

2.已知物体的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系S=2sinnt,则物体在t=2时

的瞬时速度为（）

A.2兀（m/s）B.—2兀（m/s）C.2（m/s）D.—2（m/s）

3.如图，封闭图形的曲线部分是长轴长为4,短轴的长为2的半/一'、p

个椭圆，设P是该图形上任意一点，则与线段4P的长度的最大值最/'

接近的是（）///\

A.2.1——-------------

B.2.2

C.2.3

D.2.4

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

4.以x=1为准线的抛物线的标准方程是.

5.7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有种排法.

6.过点（0,1）的直线/与圆产+/+4X+3=0相切，则直线1的斜率为.

7.若双曲线C的渐近线方程为丫=±|%,且过点（-2,0）,贝脂的焦距为.

8.已知曲线丫=娟/厂彳上一点P（0,l），则点P处的切线方程为.

9.一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球.从口袋内随机取出3个球，则其中至少取

到2个白球的概率为.

10.类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线C：V4-x2+y3=

1的对称性和所在的范围为.

11.已知某食品罐头的体积是常量，其包装是金属材质的圆柱形，假设该圆柱形的高和底半

径分别为八和r,为了使制作包装的金属材料最省，h：r的值为.

三、解答题（本大题共5小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

12.(本小题10.0分)

设椭圆C：摄+《=l(a>b>0)过点(0,4),离心率为|.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求过点(3,0)且斜率为看的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标.

13.(本小题10.0分)

如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为500小，圆拱的最高点”

离水面48的高度为10(hn,桥面CO离水面AB的高度为50m.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程;

(2)求桥面在圆拱内：部分CD的长度.(结果精确到O.lzn)

H

14.(本小题11.0分)

设a>0,函数〃x)=学.

(1)请讨论该函数的单调性；

(2)求该函数在闭区间口,2a］上的最大值和最小值.

15.(本小题11.0分)

(1)已知?n是自然数，n是正整数，且m<n.求证组合数性质：C^=。铲+C™-1；

(2)按(1)中的组合数性质公式，有琦=酸+。普青自编一个计数问题，使得以与鹰+篇为该

问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据.

16.(本小题14.0分)

在平面直角坐标系xOy中,设4(一1,0)、5(1,0),动点P满足:kr-k2=m,其中m是非零常数,

七、七分别为直线P4、PB的斜率.

(1)求动点P的轨迹T的方程，并讨论「的形状与加值的关系；

(2)当m=—4时,直线y=kx+b交曲线「于C、D两点，。为坐标原点.若线段CD的长度CD=2,

△C。。的面积S=1,求直线CD的方程.

答案和解析

L【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的特定项，属于基础题.

求出二项展开式的通项公式，令x的指数为0,求解r的值，即可求得常数项.

【解答】

解：（2%—吉T的展开式的通项公式。+1=c式2x）6-（-言）「

=（一1）丁・26一丁•禺•/,一3外

令6—^丁=0，解得丁=4,

所以（2%—占）6的展开式中的常数项为（一1）4.22.牖=60.

故选：D.

2.【答案】A

r

【解析】解:S=2ncosnt9

••・t=2时，Sr=2TICOS2TI=27r（zn/s）.

故选:A.

可求出导函数S'=271cosnt,然后求出t=2时的导数即可.

本题考查了基本初等函数和复合函数的单调性，导数的物理意义，考查了计算能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：以4B为x轴，4B的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图:

2

由题意a=2,b=l,且椭圆焦点在y轴上，所以半椭圆方程为£+/=i(y20),

2(—1,0),8(1,0),设点P的坐标为&，加)仇20),则苧+瑶=1，

2

所以|P4|二J(久0++据=J-3耳+2&+5=J-3(x0-1)+y>

因为XoJ—1,1],所以当Xo=3时，|P4|max=手=2.31,

5D

所以选项中与线段4P的长度的最大值最接近的是23

故选：C.

建立直角坐标系，求出椭圆方程，设点P的坐标为(Xo，y。)，结合两点间的距离公式，利用二次函

数的性质求解即可.

本题考查了椭圆的简单几何性质，是中档题.

4.【答案】V=—4%

【解析】解：根据题意，要求抛物线的准线方程为x=l,

则抛物线的开口向左，且乡=1，

则抛物线的标准方程为：y2=-4x；

故答案为：y2=-4%

根据题意，由抛物线的准线方程分析可得抛物线的开口方向以及乡的值，分析可得抛物线的标准方

程，即可得答案.

本题考查抛物线的简单几何性质，涉及抛物线的标准方程，注意分析抛物线的开口方向.

5.【答案】240

【解析】解：7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，先排甲，乙有房=2种排法,

在排剩余5人，有盛=120种排法，

故共有2x120=240种排法.

故答案为：240.

根据题意，结合分步乘法计数原理，计算即可.

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

6.【答案】0或［

【解析】解:根据题意，圆/+y2+4%+3=0,即（％+2）2+*=1,其圆心为（一2,0）,半径r=1,

若直线1过点（0,1）且与圆i+必+4%+3=0相切，则直线/的斜率一定存在，

设直线，的斜率为k,则有y=kx+l,即kx—y+l=0,

则有圆心到直线，的距离d=解可得k=0或全

直线Z的斜率为。或去

故答案为：o或号.

根据题意，分析圆的圆心和半径，设直线1的斜率为上求出直线/的方程，由直线与圆的位置关系

分析可得关于k的方程，解可得答案.

本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切，属于基础题.

7.【答案】2^13

【解析】解：因为双曲线C的渐近线方程是y=±|x,故可设双曲线的方程为：9/—4y2=m（jn丰

0），

把点（一2,0）代入双曲线方程可得加=36-0=36,

所以双曲线方程为9久2-4y2=36,化为标准方程得?-=1,

49

所以M=4,b2=9,・•.c2=a2+b2=13,c=713,

所以双曲线C的焦距为2c=2<l3.

故答案为：2，万.

设双曲线的方程为：9/-4y2=m（m丰0）,把点（—2,0）代入双曲线方程即可求解.

本题考查了根据双曲线的渐近线方程求解其方程的问题,考查双曲线的焦距的求法,属于基础题.

8.【答案】x-2y+2=0

【解析】解：由y=e*V1—得y'=e"1一x-/—，

J2V1—%

.11

，ylx=o=i-2=5,

曲线y=在点P(O,1)处的切线方程为y=^%+1,

即x-2y+2=0.

故答案为：x—2y+2=0.

求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，再由直线方程的斜截式得答案.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是中档

题.

9【答案】.

【解析】解：一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球.从口袋内随机取出3个球，

则其中至少取至IJ2个白球的概率为萼+学=福

CgCg12

故答案为：5

利用古典概型概率公式计算即可.

本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题.

10.【答案】关于y轴对称，xe[-2,2],y6[-1,1]

【解析】解：由V4-/+y3=]得％£[—2,2],

因为V4—/e[0,2],

.1.y3=1—V4-x2e[-1,1],即yG[-1,1]>

在曲线方程中，以-x代工,得V4—%2+y3=1,与方程相同，所以曲线关于y轴对称；

以-y代y，得V4—尤2_y3=1,与原方程不同，所以曲线不关于X轴对称；

以—久代x,—y代y,得v4—%2_y3=1,与原方程不同，所以曲线不是中心对称图形.

故答案为：关于y轴对称，xG[—2,2],yG[—1,1].

根据曲线方程得出xe[—2,2],然后得出ye[—1,1],然后用—X换乃用—y换y,看得到的方程和

原方程是否相同，从而可判断出该曲线的对称性.

本题考查了判断曲线对称性的方法，考查了计算能力，属于基础题.

11.【答案】2

【解析】解：设食品罐头的体积是u（y为常数）.

由题意可得兀产八=v,

圆柱的表面积S=2兀产+2nrh=2兀产+；

=277T2+-+->3327n'2.---=3\/2nV.

rrrr

疝等号成立’此时心与二V__3丝

当且仅当2仃2=（,即r=3

叵一、冗.

147r2

3更

h：丁=亲=2.

3/7

扬

故答案为：2.

设食品罐头的体积是u（y为常数），由题意可得仃2h=心再写出圆柱的表面积，利用基本不等式

求最值，即可求得h：r的值.

本题考查圆柱体积与表面积的求法，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档

题.

12.【答案】解：⑴由题意得：匕=若=|,又因为。2=加+C2,解得a=5,-----（2分）

椭圆C的方程为1+^=1.-------.（4分）

2516

（2）过点（3,0）且斜率为第勺直线方程为y=?（久-3）,

设直线被椭圆C所截线段的端点为4（句,%）、B（x2,y2）,

中点为M（殁这，笠当，-------（5分）

y=-3）与1+4=1联立消元得：%2-3%-8=0,--------（6分）

52516

△=41>0,-----（7分）％1+次=3,xrx2=-8--------（8分）

_2丫1+丫2_g月_2、__g

2-2r~_一耳£_）__于

所以，直线被椭圆C所截线段中点坐标为G，-§；…（9分）

\AB\=J01—％2)2+(%—%)2=J(1+急(%1-X2)2=。1+%2)2-4%1%2,

\AB\=^<9V32=?，直线被椭圆c所截线段长为号...(12分)

【解析】(1)利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可.

(2)求出直线方程，利用椭圆方程联立通过中点坐标，弦长公式转化求解即可.

本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能

力.

13.【答案】解：(1)以线段4B所在的直线为x轴，以线段4B的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系,

则由题意,可得8(250,0)、H(0,100),D(a,50),a>0,

则圆心E在y轴上，设E(0,h),

2

设要求的圆的方程为/+(y-疗=r,

把点B、点H的坐标代入，可得酸:；，一解得卜=J25。2+(一,

(.0+(100一九)2=，525

r=~-

故要求的圆的方程为/+(y+等产=2502+(要)2.

(2)把点E的坐标代入圆的方程，可得a?+go+罢产=2502+(季)2,

求得a=V33750=75A=75X1.73X1.41«75X2.44«183(m),

故CD的长度为2a=366m.

【解析】(1)建立坐标系，得到8、H的坐标，用待定系数法求出圆的标准方程.

(2)把点。的坐标代入圆的方程，求出点。的横坐标，可得的长度.

本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，属于中档题.

14.【答案】解：(1)由题意得［(>)=四产，且函数定义域为(0,+8),

•・•Q>0,・,・判断1一"久的符号，

由/'(%)=0得%=e,由/'(%)>0得0<x<e,由/'(%)<0得%>e,

・・•/(%)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减；

(2)由(1)得/(%)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

.•.当2aWe,即0<a<］时，函数f(x)在［a,2a］上单调递增,

•1•/Wmm=f(a)=Ina,f(x)max=/(2a)=—；

当a>e时，函数f(x)在［a,2a］上单调递减，

•••=/(2a)=*，f(x)max=/(a)=Ina；

当|<a<e时，/(%)在［a,e)上单调递增，在(e,2a］上单调递减，

•1'fWmax=f(e)=pf(.x)min=min(fdd),f(2a)),

11

/(a)—/(2a)=Ina--ln2a=-(Ina-Zn2),

.•.若|<a<2,则/(a)V/(2a),

此时f(x)„i讥=f(a)=Ina,

若2<a<e,则f(<>/(2a),

此时f(%)加讥=f(2a)=啜

综上，当0<a<时，=仇0f⑺max=啜

当擀<a<2时，/(%)7n讥=Ina,f(x)max=*

当2<a<U时,f(%)min=-y-，/(X)max=

当a>e时,f,/Wmax=Ina.

【解析】(1)首先求出函数的导数，然后令/''(>)=0,解出函数的极值点，最后根据导数判断函数

的单调性，从而求解；

(2)由⑴求出/Q)的单调区间，对a分类讨论，然后根据其单调性求出/(X)在区间［a,2团上的最值；

本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分两类讨论思想与运算求解能力，属于中

档题.

15.【答案】解：(1)因为小是自然数，n是正整数，且mWn,

(m—1)!(n—m+1)!'

n!(n—m+1)n!(n—m+l+m)(n+1)!

(n—m+l)!m!m!(n—m+l)!m!(n—m+l)!m!(n—m+1)!

所以叫=例+制-1;

(2)一个口袋里有8个白球和1个红球，

①从中任取4个，有多少种方法？C^,

②任取的4个球中，恰有1个红球，有多少种方法？Cl，

③任取的4个球中，无红球，有多少种方法？哈

不难看出，②和③其实就是①任取4个球所有出现的可能，所以鹰=喘+党.

【解析】本题根据组合及组合数的性质，即可推导出公式.

本题考查组合及组合数性质的应用，属于中档题.

16.【答案】解：(1)设点P(x,y),

因为«、心分别为直线P4PB的斜率且灯•0=血，

y

所以Wl.—7=m

x-l

所以y2=mx2—m,

所以—y2=TH,

所以/—g=1,

m

所以动点p的轨迹方程为/—z!=i,

m

当血>0时，轨迹为双曲线，

当TH<0时，轨迹为椭圆.

(2)当rn=—4时，轨迹r的方程为产+?=1,

4

设C01/1),D(x2,y2),

y=kx+b

联立9y2,得(4+k2)%2+2kb%+人2-4=0,

+T=1

所以％1+%2=-]^，%i%2=

4+kZ4+r

4=(2协)2-4(4+k2Xb2-4)=-16b2+64+16fc2,

点。到直线CD的距离弓-

J1+/

因为线段CD的长度为2,△COO的面积S=1,

所以SMOO=1\CD\d=1x2xd=l,

所以d=1,

网

所以厂二=1,即/=1+肥,

J1+fc

J=-16b2+64+16k2=-16(1+fc2)+64+16k2=48>0,

所以|CO|=A/1+k2d(%1+12)2—4%1%2=V1+fc2I(_f：2)2~4,

4k2b2(劭2-16)(4+卜2)4k2匕2―4去2b2_16}2+64+16々2

=V1+fc2=V1+fc2

(4+fc2)2(4+fc2)2(4+/C2)2

2—16b2+64+16必/~-■—16(1+攵2)+64+16k2_v1+k2

Vl+/c-------------卞----=V1+K22,

(4+r)z(4+/c2)2—'1

解得々=土b=±V~^，

所以直线CD的方程为y=±y/~2x±V-3-

设CQi，yi),。(%2，丫2)，

y=kx+b

y2(4+2)%2+24=0,

联立,7,得左协％+炉-

%Z——=1

m

2kbb2-4

所以汽i+x=-

27772'%i%=——2

4+fc24+fc2

4=(2助2-4(4+fc2)(h2-4)=-16b2+64+16fc2,

,_网

点。到直线CD的距离-丁=

1+k2,

因为线段C。的长度为2,△C。。的面积S=1,

所以SACOD=^\CD\d=1X2Xd=1,

所以d=1,

W_1