2022-2023学年辽宁省铁岭市六校高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省铁岭市六校高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.命题'勺x()eN,靖。一沏一1W0”的否定是()

xx

A.3x0GN,e°—x0—1>0B.VxeN,e—x—1>0

C.VxeW,ez—x—1<0D.ex—x—1<0

2.已知数列-6,66,-666,6666,-66666,则该数列的第2024项为()

A.-1(1O2024-1)B.|(1。2°24_1)c._|(102024_1)D.|(1。2°24_1)

3.函数/@)=笺的导数/(久)=()

A.xsinx-cosxB.—xsinx-cosxC.xsinx+cosxD.—xsinx+cosx

4.若公比为-3的等比数列的前2项和为10,则该等比数列的第3项为()

A.15B.-15C.45D.-45

5.已知函数/(%)=%+1,g(x)=x2+1,则如图对应的函数

解析式可能是()

A.y=/(x)+g(%)

B.y=-g。)

c.y=Lf(x)]25(x)

D.y嗡

6.设7；是数列｛an｝的前n项积，则“”=3"”是“｛%｝是等差数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.若存在直线y=kx+b,使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足

F(x)>kx+b>G(x),则称此直线y=kx+b为F(x)和G(x)的“隔离直线”.己知函数

fM=x2,5(x)=alnx[a>0),若/Q)和g(x)存在唯一的“隔离直线”，则a=()

A.B.2/7C.eD.2e

8.已知数列｛询｝满足的=1,2册+1=5•设砥=(M-3n-2)即，若对于任意的neN*,

42%.恒成立，则实数；I的取值范围是()

1

A.q，+8)B.[2,+oo)C.[5,+oo)D.[6,+oo)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.设数列{an},{%}都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是()

A.{。九+bn}B.1bn}C.{man}(mGR)D.

-01

10.已知a=sin4,b=log215—log25,c=2,则()

A.b>cB.a>cC.c>aD.c>b

11.已知函数/(x)=e*—ax,则()

A.当aWO时，/(x)为增函数B.3ae(0,+oo),f(x)max=a

C.当a=l时，f(x)的极值点为0D.3aG(0,+oo),/(x)min=a

12.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x+2)为偶函数，/(x)+g(x)=g(2-x),且

当xe[0,1)时，f(x)=x,则()

A./(x)为偶函数B./(x)的图象关于点(1,0)对称

C.比肾/(£)=1D.8是函数/"(%)的一个周期

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知集合"={x|x>—1},N={x|x2-x-6<0},则MCN=.

14.若数列{「％是首项为1,公比为2的等比数列，则C5=.

15.已知函数/'(%)=七宗—I-3sinx+2,若f(a)=1,贝疗(一a)=.

16.已知％>0,y>0,且(久+1)(V+1)=2x+2y+4,贝ky的最小值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

71

记等差数列{aj的前项和为%，已知的=—5,3a3+a5=0.

(1)求{册}的通项公式；

(2)求％以及%的最小值.

18.(本小题12。分)

已知函数/'(x)=a/—3x2+6(a>0).

(1)若x=1是/(x)的极值点，求a；

(2)当a>2时，/。)>0在区间［一1,1］上恒成立，求a的取值范围.

19.(本小题12.0分)

已知函数/(x),g(x)满足/'(2%-1)+g(x+1)=4x2-2x-1.

(1)求f(3)+g(3)的值;

(2)若g(x)=2x,求/'(x)的解析式与最小值.

20.(本小题12.0分)

X

已知/(X)是定义在R上的奇函数，且当x<0时,/(%)=log2(-x)-2.

(1)求/(0)-/(2)；

(2)解不等式f(%2+1)>/(10).

21.(本小题12.0分)

已知公差为—2的等差数列｛a,｝的前n项和为工,且S5=-5.

(1)求｛时｝的通项公式；

(2)若数列｛7^一｝的前n项和为7；,证明：〃一白-为定值.

anan+l£an+l

22.(本小题12.0分)

已知函数/(X)=|%2—%—xlnx.

(1)求f(x)的图象在点(1J(1))处的切线方程；

(2)证明：/(%)4-cosx-1>0.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：命题"3%0€N,_Xo_1<o”是存在量词命题，其否定是全称量词命题,

所以命题'勺殉6N,一出一1W0”的否定是：VxeN,ex-x-l>0.

故选:B.

根据存在量词命题的否定求解作答.

本题主要考查了存在量词命题的否定，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解:-6,66,一666,6666,一66666,...的通项公式为(一1)“义1(IO71-1),

故该数列的第2024项为-|(1。2。24_1).

故选：C.

由已知数列的规律先求出通项公式，进而可求.

本题主要考查了由数列的项的规律求解数列通项公式，属于基础

3.【答案】B

【解析】解：由/。)=等，

zg、_(cosx)'x-x'cosx_—xsinx-cosx

付/f(X)—^2=^2.

故选：B.

根据函数的求导公式即可求解.

本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：由题意得a1+a?=%-3al=10,

2

所以的=—5,a3=-5x(―3)=-45.

故该等比数列的第3项为-45.

故选：D.

由已知结合等比数列的通项公式即可求解.

本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：对于4函数/'(X)=x+；在(1,+8)上单调递增，而g(x)=X?+1在(1,+8)上单调

递增，

因此函数y=/(x)+g(x)在(1,+8)上单调递增，不符合题意，A不是；

对于B,因为/(I)=2,g(l)=2,因此x=1是函数y=/(x)-g(x)的零点，不符合题意，B不是；

对于C,[/(乃]2=/+・+2,显然函数y=[f(x)]2是偶函数，而函数y=g(x)是偶函数，

因此函数y=丁(乃]2g(X)是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，C不是；

对于D,/(%)=日里，因此丫=黑=9，定义域为(-8,0)11(0,+8),

且在(-8,0),(0,+8)上单调递减，并且是奇函数，图象在第一、三象限，符合题意，D是.

故选：D.

根据给定的函数，借助对勾函数的单调性、取特值判断48；利用奇偶函数性质判断C：推理判断D

作答.

本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题.

6.【答案】A

【解析】解：若〃=3",则%=3；当n22时，即=J彳=£，=3,

所以，对任意的neN*,an=3,则即+1-即=0,此时，数列｛斯｝是等差数列，

故""=3n”能得出“｛一｝是等差数列”，

若“｛即｝是等差数列”，不妨设册=九，则7nM3%

un，)

即“｛即｝是等差数列”不能得出Tn=3,

所以"〃=3"'是"｛即｝是等差数列”的充分不必要条件.

故选：A.

由7；=3"求出加的表达式，结合等差数列的定义可判断充分条件；举特例可判断必要条件，综合

可得结论.

本题主要考查了等差数列的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：当/（吟=/与gQ）=alnx相切时,只有唯一的“隔离直线”,

且“隔离直线”为公切线.设切点为（沏,%）,

a

f(%o)=g'(X0)nn2%o=

则比,所以看=\T~^,=2e.

/(a)=g(珀’'CL

=alnx0

故选：D.

设出切点坐标，由公切线列出等量关系，求解即可.

本题考查公切线问题，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：由数列｛即｝满足％=1，2斯+1=即,得｛即｝是首项为1,公比为我等比数列,册=去,

于是勾=中要，(n+l)2-3(n+l)-2n2-3n-2_n(n-5)

勾+i_b=

n2时1=

当1工九<5时，bn+1>bn9当且仅当n=5时取等号，当n>6时，bn+1<&n,

因此当nV5时,数列｛匕｝单调递增,当n>6时,数列｛%｝单调递减,

则当九=5或71=6时，，（6n）max=p而任意的九€N*,AN跖恒成立，贝以日,

所以实数2的取值范围是百,+8）.

故选：A.

根据给定条件，求出数列｛即｝,｛%｝的通项，再求出数列｛b｝的最大项作答.

本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】BD

【解析】解：根据题意,数列｛斯｝，｛匕｝都是等比数列,设｛即｝的公比为生,｛匕｝的公比为Q2,

依次分析选项：

对于4当an+bn=0时，数列｛册+%｝不是等比数列，不符合题意；

对于B,数列｛%｝,｛b｝都是等比数列,anbn*0,同时有一%=勺1勺2的-15_1，则数列｛即小｝一

定是等比数列，符合题意；

对于C,当=0时，man=0,数列｛man｝不是等比数列，不符合题意；

对于D,对于数歹喘｝,就力0且黑=言*比，数列焉｝一定是等比数列，符合题意.

故选：BD.

根据题意，由等比数列的定义依次分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查等比数列的判定，注意等比数列的性质，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：显然7T<4<2兀，则(1=sin4<0,

-01

b=log2=log23>log22=1>0<c=2<2°=1,

所以a<c<b,A正确，8错误，C正确，。错误.

故选：AC.

利用三角函数的符号法则判断a的正负，利用对数运算法则及对数函数性质比较b与1的大小，再

比较正数c与1的大小作答.

本题考查函数值的大小比较，注意运用三角函数、指数函数和对数函数的性质，考查转化思想和

运算能力，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：当a40时，由/'(%)=e*-ax,得/'(x)=e*—a>0,所以/(x)为增函数，所以A

正确；

当a=1时，由/''(X)=e*—1=0,得x—0,

当x<0时，f，(x)<0,当x>0时，f'(x)>。，

所以/(无)的极小值点为0,所以C正确；

当a>0时，/'(X)=ex—a,当x<Ina时，/'(x)<0,当x>，na时，/z(x)>0,

所以f(x)在(一8,Ina)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增，

所以/QOmE=/(/na)-a-alna,

当a=l时，=a,所以8错误，。正确.

故选:ACD.

对于4,对函数求导后判断，对于BD,利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最值，

对于C,直接求解函数的极值点即可.

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：依题意，WxeR，/(x)+g(x)=g(2-x),即有/(2-x)+g(2-x)=g(x),

两式相加整理得/(乃+/(2-％)=0,因此/(x)的图象关于点(1,0)对称，B正确;

由/Q+2)为偶函数，得/(一％+2)=/(%+2),于是f(x+2)=-/(%),

有/(x+4)=-/(x+2)=/(x),因此函数的周期为4,8是函数的一个周期，力正确；

由/(乃+/(2—x)=0，得/(一©+/(2+为=0，而/(x+2)=

因此f(—x)=f(x),f(x)为偶函数,A正确；

由当％6[0,1)时,f(x)=X,得/(4)=/(0)=0,而f(l)=0,/(2)=-/(0)=0,/(3)=-/(I)=0,

即有/(I)+/Q)+/(3)+/(4)=0,酒f(k)=505/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(I)+

/(2)+/(3)=0,C错误.

故选：ABD.

根据给定等式推理可得f(%)+/2-x)=0,结合/(x+2)为偶函数，再逐项判断作答.

本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】(-L3)

【解析】解:解不等式/—%—6<0,得—2<x<3,即N={x|—2<x<3},而”={x\x>-1},

所以MCN=(-1,3).

故答案为：(—1,3).

解一元二次不等式化简集合N,再利用交集的定义求解作答.

本题考查了一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.

14.【答案】256

【解析】解；依题意可得“=2"T,则，=23即cs=28=256.

故答案为:256.

利用等比数列通项公式求解即可.

本题主要考查等比数列的性质，属于基础题.

15.【答案】3

【解析】解：因为/(%)=------F3sinx4-2,

CC

所以f(一工)+/(%)=2——3sinx+2+——F3sinx+2=4,

若f⑷=1，则f(一。)=4—/(a)=3.

故答案为：3.

由已知先求出f(%)+/(-x)=4,结合f(a)=1即可求解/(-a).

本题主要考查了函数奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题.

16.【答案】9

【解析】解：由(％+l)(y+1)=2%+2y+4,x>0,y>0,得xy=x+y+3Z2jxy+3,

当且仅当尤=y时取等号，

因此(Jxy)2—2Jxy—32O解得Jxy。3,BPxy>9,

由｛:)3%+旷+3，而％>0,y>0,解得％=y=3,

所以当％=y=311寸，xy取得最小值9.

故答案为：9.

变形给定等式，再利用均值不等式求解作答.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

17.【答案】解：(1)设等差数列｛an｝的公差为d,

由的=—5,3a3+%=0，得3(—5+2d)+(—5+4d)=0,

解得d=2,于是an=%+(ri—l)d=2n—7,

所以数列｛即｝的通项公式是Qn=2n-7.

(2)由(1)知，Sn=色券-n=5+(｝7),n=n2_6n)

显然%=5-3)2-92-9,当且仅当n=3时取等号，

所以S”=n2-6n,S.的最小值为—9.

【解析】(1)根据给定条件，求出公差d,再求出通项作答.

(2)由(1)结合等差数列前n项和公式求解作答.

本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

18.【答案】解：(1)已知/(X)=Q%3—3/+6,函数定义域为R,

所以r(%)=3ax2—6x,

若x=1是/(x)的极值点，

此时((1)=3Q—6=0,

解得Q=2,

当Q=2时，ff(x)=6/-6%=6x(%—1),

当％<0时，f(%)>0,/(%)单调递增;

当0<x<1时，f(x)<0,/(%)单调递减;

当%>1时，f(x)>。，f(%)单调递增，

则％=1是/(%)的极小值点，

综上，a=2；

(2)易知尸(%)=3a%2-6%,

当％<0时，f(x)>0,/(%)单调递增；

当0<x<5时，/(X)<0,f(x)单调递减；

当时，f(x)>0,/Q)单调递增，

当a>2时，0<|<1,

所以函数/'(X)在(-1,0)上单调递增，在(0,$上单调递减，

在。,1)上单调递增，

因为f(x)>0在区间[一1国上恒成立，

r/(-l)=-a+3>0

所以1,24，

[f/('=一滔+6>0

解得?<a<3，

又a>2,

所以2<a<3,

综上，a的取值范围为(2,3).

【解析】(1)由题意，对函数/(x)进行求导，因为x=l是/(x)的极值点，可得((1)=0,代入即

可求出a的值，将a的值代入函数解析式中对其进行检验，进而即可得到答案；

(2)对函数/(x)进行求导，利用导数得到/(%)的单调性，将/(x)>0在区间上恒成立，转化

'f(-l)=-a+3>0

成结合a>2,即可求解.

"$=一白+6>。

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力.

19.【答案】解：(1)因为函数/(x),g(x)满足f(2x-1)4-g(x+1)=4x2-2x-1,

所以当x=2时，f(3)+g(3)=4x22-2x2-1=11.

(2)由g(x)=2x,得g(x+l)=2%+2,于是/'(2x-1)+2x+2=4/-2x-1,

222-

即/(2x-1)=4x-4x-3=(2x—l)—4.因此/'(x)=%—4,当x=0时,f(x)mtn=4,

所以f(x)的解析式是f(x)=X2-4,最小值为—4.

【解析】(1)根据给定条件，取x=2代入计算作答.

(2)求出/(2乂-1)的解析式，再利用配凑法求出/(x)的解析式，并求出最小值作答.

本题主要考查了函数值及函数解析式的求解，属于基础题.

20.【答案】解：(1)因为/(x)是定义在R上的奇函数，

所以〃0)=0,

X

因为当x<0时,/(x)=log2(-x)-2,

所以/(—2)=脸2-2-2=本

故f⑵=-*,/0)一汽2)=*

(2)因为当％<0时,/(x)=log2(-x)-2”单调递减，

x

故当%>0时，-%<0,/(-%)=log2x-(1)=-/(%)，

故/(x)=-log2x+6产单调递减，

由+1)>/(10)可得/+1<10,

解得—3<x<3,

故不等式的解集为(-3,3).

【解析】(1)由已知结合奇函数的性质先求出/(0)，结合奇函数及已知x<0时函数解析式可求

/(-2),进而可求f(2),代入即可求解；

(2)结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式.

本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求

解中的应用，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由题意得S5=5%+半x(—2)=-5,

解得%=3,

故a九=3—2(n—1)=-2n+5.

(2)证明：因为0n0n+i=(-2n+5)(-2n+3)=(2n-5)(2n-3)=2(2/-5-2九-3%

设勾=

anan+l

所以〃=瓦4-b2+/+,',+%

即〃为定值一1

物+16

【解析】(1)根据等差数列的求和公式求出的,再用等差数列的通项公式即可；

(2)根据(1)知.=曰通泊砌=(2^(2~3?利用裂项相消法求出7n即可证明，

本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与运算能力,

属于中档题.

22.【答案】解：(1)因为/(x)=|/—x-