人教版七年级数学下册同步精讲精练专题：与相交线有关的角度计算(原卷版+解析)

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》专题与相交线有关的角度计算题型一直接利用相交线的性质求角度题型一直接利用相交线的性质求角度【例题1】（1）写出∠AOE的余角和补角；（2）若∠BOF＝30°，求∠AOE和∠COG的度数．【变式1-1】（2022秋•江北区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOD＝88°，求∠BOD的度数．【变式1-2】（2022秋•天河区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度数．【变式1-3】（2022秋•清水县校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE＝80°，∠COF：∠AOC＝2：3，射线OE平分∠BOF，求∠BOD的度数．【变式1-4】（2022春•华阴市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：3：5．求∠EOF的度数．【变式1-5】（2022秋•永兴县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD．（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；（2）若∠DOE：∠EOC＝2：3，求∠AOC的度数．【变式1-6】（2022秋•夏邑县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠DOE的度数；（2）求∠BOF的度数．【变式1-7】（2022秋•江夏区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠BOD＝38°，求∠EOD的度数；（2）若∠EOC=45∠EOD，求∠【变式1-8】（2022秋•荣昌区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝90°，射线ON在∠BOM内部．（1）求∠AOD的度数；（2）若∠BOC＝5∠NOB，求∠MON的度数．题型二利用垂线的性质求角度题型二利用垂线的性质求角度【例题2】（2022秋•兴化市校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中与∠COE互余的角是；（把符合条件的角都写出来）（2）如果∠AOC=27∠EOF【变式2-1】（2022春•惠州期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE、OF在∠AOD内，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【变式2-2】（2022秋•绿园区期末）如图：已知直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．（1）若∠AOC＝34°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度数．【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）如图，OB⊥OD，OC平分∠AOD，∠BOC＝40°，求∠AOB的大小．【变式2-4】（2022春•长垣市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD．（1）如果∠AOC＝60°，求∠DOE的度数；（2）如图，作OF⊥OE，试说明OF平分∠BOD．【变式2-5】（2022春•道外区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC．（1）若∠DOE＝130°，求∠BOC的度数；（2）过点O作OF⊥OE，请直接写出和∠BOF互补的角．【变式2-6】（2021秋•玄武区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OM平分∠BOE，∠AOC＝50°．（1）求∠DOM的度数；（2）在∠AOM的内部画射线ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分线吗？请说明理由．【变式2-7】（2022春•蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度数．题型三通过计算说明两角的数量关系题型三通过计算说明两角的数量关系【例题3】（2022春•渭城区期中）将下面的解答过程补充完整：已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOF，∠COE＝90°．试说明：∠FOB＝2∠AOC．解：因为OE平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（）因为∠COE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因为直线AB，CD相交于点O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝（）．因为直线AB，CD相交于点O，所以（），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．【变式3-1】（2021秋•莲都区期末）如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；（2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．【变式3-2】如图，直线AB与CD相交于O．OF是∠BOD的平分线，OE⊥OF．（1）若∠BOE比∠DOF大38°，求∠DOF和∠AOC的度数；（2）试问∠COE与∠BOE之间有怎样的大小关系？请说明理由．（3）∠BOE的余角是，∠BOE的补角是．【变式3-3】直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数；（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．【变式3-4】（2022春•香坊区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM＝∠DON＝90°．（1）如图1，若∠COM＝35°，求∠BON的度数；（2）如图1，请直接写出图中所有互余的角；（3）如图2，若射线OE在∠MOB的内部，且12∠MON﹣∠BOE＝45°，请比较∠MOE与∠DOE【变式3-5】已知：如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOD，对∠EOF=12∠题型四通过计算说明两直线垂直题型四通过计算说明两直线垂直【例题4】（2022春•南昌期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．（1）判断OF与OD的位置关系，并证明；（2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数．【变式4-1】（2022秋•拱墅区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；（2）若∠1=13∠BOC，求∠【变式4-2】（2022春•墨玉县期末）如图，直线AB．CD相交于点O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．（1）求∠BOF的度数：（2）判断射线OE与OF之间的位置关系．并说明理由．【变式4-3】（2022春•香洲区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OF、OD分别是∠AOE、∠BOE的平分线．（1）若∠DOE＝28°，求∠AOD的度数；（2）请写出射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系，并说明理由．【变式4-4】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝20°，∠DOF：∠FOB＝1：7，射线OE平分∠BOF．（1）求∠EOB的度数；（2）射线OE与直线CD有什么位置关系？请说明理由．【变式4-5】（2022春•沂水县期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别是∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分线．（1）画出这个图形．（2）射线OE，OF在同一条直线上吗？为什么？（3）OE与OG有什么位置关系？说明理由．题型五与相交线有关的角度计算综合题题型五与相交线有关的角度计算综合题【例题5】（2022秋•渠县期末）若直线AB和直线ED相交于点O，OC为∠BOE内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度数？（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度数？（3）请猜想，∠EOF度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则∠EOF度数是多少？【变式5-1】（2022春•大足区期末）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．（1）求∠COE的度数；（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．【变式5-2】（2022春•潜山市月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，（1）如图1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度数（2）如图2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度数；（3）在（2）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．【变式5-3】（2022春•麒麟区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度数；②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明OC平分∠AOE．（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．【变式5-4】（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．【基础尝试】（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；【画图探究】（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．【拓展运用】（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．【变式5-5】（2021秋•罗湖区期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝90°，过点O作射线OF．（1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF＝130°，求∠BOE的度数；（2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，∠COE＝90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由；（3）若∠BOE＝20°，∠BOF＝130°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF＝90°时，求t的值．【变式5-6】如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．七年级下册数学《第五章相交线与平行线》专题与相交线有关的角度计算题型一直接利用相交线的性质求角度题型一直接利用相交线的性质求角度【例题1】（1）写出∠AOE的余角和补角；（2）若∠BOF＝30°，求∠AOE和∠COG的度数．【分析】（1）如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，由此即可判断；（2）由对顶角的性质可得∠AOE的度数，由角平分线的定义可求∠COG．【解答】解：（1）∠AOE的余角是∠AOC，∠BOD；补角是∠AOF，∠EOB；（2）∠AOE＝∠BOF＝30°；∵∠DOF＝90°，∴∠COF＝90°，∵∠BOC＝∠BOF+∠COF，∴∠BOC＝90°+30°＝120°，∵OG平分∠BOC，∴∠COG=12∠【点评】本题考查角的计算，余角，补角的概念，关键是掌握余角，补角的定义，角平分线的定义，对顶角的性质．【变式1-1】（2022秋•江北区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOD＝88°，求∠BOD的度数．【分析】根据∠EOD＝88°，求出∠EOC，根据角平分线定义得到∠AOC=12∠EOC【解答】解：∵∠EOD＝88°，∴∠EOC＝180°﹣88°＝92°，∵OA平分∠EOC，∠EOC＝92°，∴∠AOC=12∠EOC∴∠BOD＝∠AOC＝46°．【点评】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质，解决本题的关键是熟记对顶角相等．【变式1-2】（2022秋•天河区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度数．【分析】设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由邻补角的性质，求出x的值，再根据角平分线，计算出∠COE的度数，计算即可．【解答】解：设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由题意得：x+4x＝180，解得：x＝36，∴∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°，∵OE是∠BOC的平分线，∴∠BOE＝∠COE=12∠BOC【点评】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系．【变式1-3】（2022秋•清水县校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE＝80°，∠COF：∠AOC＝2：3，射线OE平分∠BOF，求∠BOD的度数．【分析】根据角平分线的定义以及对顶角、平角的定义，列方程求解即可．【解答】解：∵射线OE平分∠BOF，∴∠BOE＝∠FOE=12∠由于∠COF：∠AOC＝2：3，可设∠COF＝2α，则∠AOC＝3α，又∵∠COE＝80°，∴∠BOE＝∠FOE=12∠BOF＝80°﹣2∵∠AOF+∠BOF＝180°，∴5α+2（80°﹣2α）＝180°，解得α＝20°，∴∠BOD＝∠AOC＝3α＝60°，答：∠BOD的度数为60°．【点评】本题考查角平分线，邻补角以及对顶角，理解对顶角相等，邻补角以及角平分线的定义是正确解答的前提．【变式1-4】（2022春•华阴市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：3：5．求∠EOF的度数．【分析】根据角的比例关系以及邻补角的定义可求出∠BOC，∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠BOE，∠COE，求出∠DOF即可求出答案．【解答】解：∵∠BOC：∠AOC＝1：5．∠BOC+∠AOC＝180°，∴∠BOC＝180°×11+5=30°，∠∵OE是∠BOC的平分线，∴∠BOE＝∠COE=12∠∵∠BOC：∠DOF＝1：3，∠BOC＝30°，∴∠DOF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣15°＝75°，答：∠EOF的度数为75°．【点评】本题考查邻补角、对顶角以及角平分线，理解角平分线的定义以及邻补角、对顶角的性质是正确解答的前提．【变式1-5】（2022秋•永兴县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD．（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；（2）若∠DOE：∠EOC＝2：3，求∠AOC的度数．【分析】（1）根据平角的定义以及角平分线的意义进行计算即可；（2）根据邻补角的定义求出∠DOE，再根据角平分线的定义求出∠BOD的大小，再由对顶角相等得出答案．【解答】解：（1）∵直线AB和直线CD相交于点O，∠EOC＝110°，∴∠DOE＝180°﹣∠EOC＝70°，又∵OB平分∠EOD．∴∠BOD＝∠BOE=12∠（2）∵∠DOE：∠EOC＝2：3，∠DOE+∠EOC＝180°，∴∠DOE＝180°×25=72°，∠EOC又∵OB平分∠EOD．∴∠BOD＝∠BOE=12∠∴∠AOC＝∠BOD＝36°．【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，理解对顶角、邻补角的定义是正确计算的前提．【变式1-6】（2022秋•夏邑县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠DOE的度数；（2）求∠BOF的度数．【分析】（1）根据邻补角的和等于180°求出∠BOD的度数，然后根据角平分线的定义解答；（2）先求出∠COE的度数，再根据角平分线的定义求出∠EOF，然后根据角的和差关系即可得解．【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD=1∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE=12∠BOD（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=12∠COE∴∠BOF＝∠EOF+∠BOE＝75°﹣30°＝45°．【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质与概念是解题的关键．【变式1-7】（2022秋•江夏区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠BOD＝38°，求∠EOD的度数；（2）若∠EOC=45∠EOD，求∠【分析】（1）根据对顶角相等求出∠AOC，再根据角平分线的定义计算即可；（2）根据题意求出∠EOC＝80°，再根据角平分线的定义、对顶角相等计算即可．【解答】解：（1）∵∠BOD＝38°，∴∠AOC＝∠BOD＝38°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOE＝∠AOC＝38°，∴∠EOD＝180°﹣38°×2＝104°；（2）∵∠EOC+∠EOD＝180°，∠EOC=45∠∴∠EOC＝80°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=12∠∴∠BOD＝∠AOC＝40°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，掌握对顶角相等是解题的关键．【变式1-8】（2022秋•荣昌区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝90°，射线ON在∠BOM内部．（1）求∠AOD的度数；（2）若∠BOC＝5∠NOB，求∠MON的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC＝45°，然后根据邻补角的定义求解即可；（2）由∠BOC＝5∠NOB可求解∠NOB＝27°，结合∠BOM＝90°，利用角的和差可求解∠MON的度数．【解答】解（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，∴∠AOC=12∠AOM∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，即∠AOD的度数为135°；（2）∵∠BOC＝∠AOD＝135°，∠BOC＝5∠NOB，∴∠NOB＝27°，∵∠AOM＝90°，∴∠BOM＝90°，∴∠MON＝∠BOM﹣∠NOB＝90°﹣27°＝63°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．题型二利用垂线的性质求角度题型二利用垂线的性质求角度【例题2】（2022秋•兴化市校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中与∠COE互余的角是；（把符合条件的角都写出来）（2）如果∠AOC=27∠EOF【分析】（1）若两角之和为90°，则称这两个角“互为余角”，简称“互余”．据此进行求解；（2）根据∠AOC+∠EOF＝180°进行求解．【解答】解：（1）∵∠AOC+∠COE＝90°，∠AOC＝∠BOD，∴与∠COE互余的角是∠AOC和∠BOD．故答案为：∠AOC和∠BOD；（2）∵∠EOF+∠AOC＝∠AOE+∠AOF+∠AOC＝∠AOE+∠COF＝180°，∠AOC=27∠∴∠EOF+2∴∠EOF＝140°．【点评】本题考查了垂直的定义和余角的知识，注意结合图形进行求解．【变式2-1】（2022春•惠州期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE、OF在∠AOD内，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【分析】由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD的度数，根据OD平分∠BOE，可求出∠EOD，根据垂直的定义求出∠DOF＝90°，则∠EOF可求．【解答】解：∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD：∠AOD＝1：5．∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∵OD平分∠BOE，∴∠BOD＝∠EOD＝30°，∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∴∠EOF＝60°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟记概念并灵活运用是解题的关键，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．【变式2-2】（2022秋•绿园区期末）如图：已知直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．（1）若∠AOC＝34°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度数．【分析】（1）根据垂直定义可得∠EOC＝90°，然后利用平角定义进行计算即可解答；（2）根据平角定义和已知易得∠BOD＝36°，从而利用对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD＝36°，然后再利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵EO⊥CD，∴∠EOC＝90°，∵∠AOC＝34°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝56°，∴∠BOE的度数为56°；（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：4，∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠BOD＝180°×1∴∠AOC＝∠BOD＝36°，∵∠COE＝90°，∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝126°，∴∠AOE的度数为126°，【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）如图，OB⊥OD，OC平分∠AOD，∠BOC＝40°，求∠AOB的大小．【分析】根据垂直的定义及角的和差关系求出∠COD＝55°，再根据角平分线的定义求出∠AOB即可．【解答】解：∵OB⊥OD，∴∠BOD＝90°，又∵∠BOC＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，∵OC平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠COD＝100°，∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝100°﹣90°＝10°，即∠AOB＝10°．【点评】本题考查角平分线的定义，垂线，理解互相垂直、角平分线的定义是正确解答的前提．【变式2-4】（2022春•长垣市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD．（1）如果∠AOC＝60°，求∠DOE的度数；（2）如图，作OF⊥OE，试说明OF平分∠BOD．【分析】（1）根据平角的定义，角平分线的定义进行计算即可；（2）根据垂直的定义，平角以及角平分线的定义即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠AOC+∠AOD＝180°，∠AOC＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝∠AOE=12∠答：∠DOE的度数为60°；（2）∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，即∠DOE+∠DOF＝90°，∵∠AOE+∠EOF+∠FOB＝180°，∴∠AOE+∠FOB＝180°﹣90°＝90°，又∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝∠AOE，∴∠DOF＝∠BOF，即OF平分∠BOD．【点评】本题考查对顶角，邻补角，角平分线，理解对顶角、邻补角以及角平分线的定义是正确解答的前提．【变式2-5】（2022春•道外区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC．（1）若∠DOE＝130°，求∠BOC的度数；（2）过点O作OF⊥OE，请直接写出和∠BOF互补的角．【分析】（1）根据邻补角的定义先求出∠EOC，然后求出求出∠AOC，再根据邻补角的定义求出∠BOC即可；（2）因为OF⊥OE，所以∠FOC+∠EOC＝90°，则∠BOF+∠AOF＝90°，而∠AOF＝∠EOC，所以∠BOF＝∠FOC，根据补角的定义写出∠BOF的补角即可．【解答】解：（1）∵∠DOE＝130°，∴∠EOC＝50°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠EOC＝2×50°＝100°，∴∠BOC＝180°﹣100°＝80°；（2）∵OF⊥OE，∴∠FOC+∠EOC＝90°，∴∠BOF+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝∠EOC，∴∠BOF＝∠FOC，∴与∠BOF互补的角是∠AOF和∠DOF．【点评】本题考查角平分线的定义，对顶角，邻补角，理解邻补角、补角余角以及角平分线的定义是正确解答的前提．【变式2-6】（2021秋•玄武区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OM平分∠BOE，∠AOC＝50°．（1）求∠DOM的度数；（2）在∠AOM的内部画射线ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分线吗？请说明理由．【分析】（1）根据∠AOC与∠BOD是对顶角，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，OM平分∠BOE，解答即可；（2）根据角平分线的定义求出∠AOD的度数即可．【解答】解：（1）∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠BOD＝∠AOC＝50°，∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝90°+50°＝140°，∵OM平分∠BOE，OM平分∠BOE，∴∠BOM=1∴∠DOM＝∠BOM﹣∠BOD＝70°﹣50°＝20°；（2）ON平分∠AOD，∵∠DOM＝20°，∠MON＝45°，∴∠DON＝∠DOM+∠MON＝45°+20°＝65°，∵∠AOC＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∴∠DON=12∠∴ON平分∠AOD．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．【变式2-7】（2022春•蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度数．【分析】（1）根据角平分线的意义，得到∠COM=12∠AOC，∠CON=1（2）先求出∠MON，再根据∠MON：∠AOC＝2：7，求出∠AOC，再根据角平分线的意义得出∠AOM，进而求出答案．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°；（2）∵∠COM=12∠AOC，∠CON=1∴∠MON=12（∠AOC﹣∠BOC）=1∵∠MON：∠AOC＝2：7，∴∠AOC＝140°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠∴∠AON＝∠AOM+∠MON＝70°+40°＝110°【点评】考查角平分线的意义，理清图形中各个角之间的关系是正确解答的关键．题型三通过计算说明两角的数量关系题型三通过计算说明两角的数量关系【例题3】（2022春•渭城区期中）将下面的解答过程补充完整：已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOF，∠COE＝90°．试说明：∠FOB＝2∠AOC．解：因为OE平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（）因为∠COE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因为直线AB，CD相交于点O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝（）．因为直线AB，CD相交于点O，所以（），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．【分析】根据角平分线的定义、对顶角相等、角平分线的定义解答即可．【解答】解：因为OE平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（角平分线的定义）因为∠COE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因为直线AB，CD相交于点O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝∠FOD（等角的余角相等）．因为直线AB，CD相交于点O，所以∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，掌握对顶角相等、角平分线的定义是解题的关键．【变式3-1】（2021秋•莲都区期末）如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；（2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由BF⊥AE得∠EBF＝90°，即可计算；（2）由∠CBE＝∠ABD，∠ABF＝90°，即可解决问题．【解答】（1）解：∵BF⊥AE，∴∠EBF＝∠ABF＝90°，∵∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE，∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°；（2）∠CBE﹣∠DBF＝90°．证明：∵∠ABD﹣∠FBD＝∠ABF，∴∠ABD﹣∠FBD＝90°，∵∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE﹣∠DBF＝90°．【点评】本题考查角度的计算，关键是掌握垂直的定义，对顶角相等．【变式3-2】如图，直线AB与CD相交于O．OF是∠BOD的平分线，OE⊥OF．（1）若∠BOE比∠DOF大38°，求∠DOF和∠AOC的度数；（2）试问∠COE与∠BOE之间有怎样的大小关系？请说明理由．（3）∠BOE的余角是，∠BOE的补角是．【分析】（1）设∠BOF＝α，根据角平分线的定义得出∠DOF＝∠BOF＝α，得出方程38°+α+α＝90°，求出方程的解即可；（2）求出∠COE＝180°﹣∠DOE＝90°﹣∠DOF，根据垂直求出∠BOE＝90°﹣∠BOF，即可得出答案；（3）根据余角和补角定义求出即可．【解答】解：（1）设∠BOF＝α，∵OF是∠BOD的平分线，∴∠DOF＝∠BOF＝α，∵∠BOE比∠DOF大38°，∴∠BOE＝38°+∠DOF＝38°+α，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴38°+α+α＝90°，解得：α＝26°，∴∠DOF＝26°，∠AOC＝∠BOD＝∠DOF+∠BOF＝26°+26°＝52°；（2）∠COE＝∠BOE，理由是：∵∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣（90°+∠DOF）＝90°﹣∠DOF，∵OF是∠BOD的平分线，∴∠DOF＝∠BOF，∴∠COE＝90°﹣∠BOF，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠BOE＝90°﹣∠BOF，∴∠COE＝∠BOE；（3）∠BOE的余角是∠BOF和∠DOF，∠BOE的补角是∠AOE和∠DOE，故答案为：∠BOF和∠DOF，∠AOE和∠DOE．【点评】本题考查了余角、补角，对顶角、邻补角，角平分线定义等知识点，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键．【变式3-3】直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数；（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．【分析】（1）依据OF⊥CD，∠EOF＝54°，可得∠DOE＝90°﹣54°＝36°，再根据OE平分∠BOD，即可得出∠BOD＝2∠DOE＝72°，依据对顶角相等得到∠AOC＝72°；（2）依据OE平分∠BOD，可得∠BOE＝∠DOE，再根据OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，依据等角的余角相等，可得∠EOF＝∠AOG．【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF＝54°，∴∠DOE＝90°﹣54°＝36°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠DOE＝72°，∴∠AOC＝72°；（2）①如图所示：②∠AOG＝∠EOF；理由：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE，∵OF⊥CD，OG⊥OE，∴∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，∴∠EOF＝∠AOG．【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及余角的综合运用，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，解决问题的关键是掌握：等角的余角相等．【变式3-4】（2022春•香坊区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM＝∠DON＝90°．（1）如图1，若∠COM＝35°，求∠BON的度数；（2）如图1，请直接写出图中所有互余的角；（3）如图2，若射线OE在∠MOB的内部，且12∠MON﹣∠BOE＝45°，请比较∠MOE与∠DOE【分析】（1）先求出∠AOC，根据对顶角相等求出∠BOD，已知∠DON＝90°，可求得∠BON的度数；（2）根据互余的定义判断即可，互余的两个角和为90度；（3）可设∠MOC＝x，则∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，根据已知可得∠BOE=12x，进而得出∠MOE和∠【解答】解：（1）∵BOM＝90°，∴∠AOM＝90°，∵∠COM＝35°，∴∠AOC＝55°，∴∠BOD＝55°，∵∠DON＝90°，∴∠BON＝∠BOD+∠DON＝55°+90°＝145°；（2）∵∠AOC+∠COM＝90°，∴∠AOC与∠COM互余，∵∠AOC+∠AON＝90°，∴∠AOC与∠AON互余，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠BOD与∠COM互余，∠BOD与∠AON互余；（3）∠MOE＝∠DOE，∵∠BOM＝∠DON＝90°，∴∠MOC＝∠AON，设∠MOC＝x，则∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，∵12∠MON﹣∠BOE∴12（90°+x）﹣∠BOE∴∠BOE=12∴∠MOE＝90°−12∠DOE＝∠BOE+∠BOE＝90°﹣x+12x＝90°−∴∠MOE＝∠DOE．【点评】本题考查了对顶角和邻补角，解题的关键是根据概念会判断并灵活运用，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．【变式3-5】已知：如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOD，对∠EOF=12∠【分析】根据对顶角的性质得到∠AOC＝∠BOD，由角平分线的定义得到∠BOF=12∠BOD，等量代换得到∠BOF=12∠AOC，由垂直的定义得到∠COE＝90°，等量代换得到∠【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），∠BOF=12∠∴∠BOF=12∠∵∠AOC＝180°﹣∠BOC（平角的定义），∴∠BOF＝90°−12∠∵EO⊥CD（已知），∴∠COE＝90°（垂直的定义）∵∠BOE+∠COE＝∠BOC（两角和的定义），∴∠BOE＝∠BOC﹣∠COE．∴∠BOE＝∠BOC﹣90°（等量代换）∵∠EOF＝∠BOE+∠BOF（两角和的定义）∴∠EOF＝（∠BOC﹣90°）+（90°−12∠∴∠EOF=12∠【点评】本题考查了对顶角、邻补角、垂线以及角平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．题型四通过计算说明两直线垂直题型四通过计算说明两直线垂直【例题4】（2022春•南昌期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．（1）判断OF与OD的位置关系，并证明；（2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EOF=12∠AOE，∠EOD=1（2）根据对顶角相等、余角的概念计算即可．【解答】解：（1）OF⊥OD，理由如下：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠EOF=12∠AOE，∠EOD=1∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠EOF+∠EOD＝90°，∴OF⊥OD；（2）∵∠AOC＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°，∴∠EOD＝∠BOD＝30°，∴∠EOF＝90°﹣∠EOD＝60°．【点评】本题考查的是对顶角、角平分线的定义、邻补角的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•拱墅区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；（2）若∠1=13∠BOC，求∠【分析】（1）利用垂直的定义得出∠2+∠AOC＝90°，进而得出答案；（2）根据题意得出∠1的度数，即可得出∠BOD的度数．【解答】证明：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，∴ON⊥CD；（2）∵∠1=13∠∴∠BOM＝2∠1＝90°，解得：∠1＝45°，∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°【点评】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角、对顶角等知识，正确把握垂直的定义是解题关键．【变式4-2】（2022春•墨玉县期末）如图，直线AB．CD相交于点O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．（1）求∠BOF的度数：（2）判断射线OE与OF之间的位置关系．并说明理由．【分析】（1）根据对顶角相等和角平分线即可求出答案；（2）求出求出∠EOF的度数，根据垂直定义求出即可．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝28°，∴∠BOD＝28°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=1（2）垂直，理由如下：∵∠AOC＝28°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣28°＝152°，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD=12∠AOD∠DOF=12∠BOD∴∠EOF＝∠EOD+∠DOF＝76°+14°＝90°，∴OE⊥OF．【点评】此题考查了对顶角及邻补角的定义，熟记对顶角及邻补角的性质是解题的关键．【变式4-3】（2022春•香洲区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OF、OD分别是∠AOE、∠BOE的平分线．（1）若∠DOE＝28°，求∠AOD的度数；（2）请写出射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；（2）根据角平分线的定义、平角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵OD分别是∠BOE的平分线．∴∠BOD＝∠DOE=12∠∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣28°＝152°；（2）OD⊥OF，理由如下：∵OF、OD分别是∠AOE、∠BOE的平分线．∴∠AOF＝∠EOF=12∠AOE，∠BOD＝∠DOE=1∴∠DOF＝∠EOF+∠DOE=12（∠AOE+∠=1＝90°，即OD⊥OF．【点评】本题考查角平分线，对顶角、邻补角，掌握角平分线的定义以及邻补角是正确解答的前提．【变式4-4】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝20°，∠DOF：∠FOB＝1：7，射线OE平分∠BOF．（1）求∠EOB的度数；（2）射线OE与直线CD有什么位置关系？请说明理由．【分析】（1）根据∠AOD＝20°和∠DOF：∠FOB＝1：7，求出∠BOF等于140°，所以∠EOB等于70°；（2）利用（1）中所求，进而得出∠EOC等于90°得出答案即可．【解答】解：（1）∵OE平分∠BOF，∴∠BOE＝EOF，∵∠DOF：∠FOB＝1：7，∠AOD＝20°，∴∠DOF=18∠BOD∴∠BOF＝140°，∴∠BOE=12∠BOE=12（2）由（1）得：∠EOC＝∠BOC+∠EOB＝70°+20°＝90°，则射线OE与直线CD垂直．【点评】此题主要考查了对顶角、邻补角以及角平分线的性质，主要利用对顶角相等，邻补角的定义和角平分线的定义求解．【变式4-5】（2022春•沂水县期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别是∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分线．（1）画出这个图形．（2）射线OE，OF在同一条直线上吗？为什么？（3）OE与OG有什么位置关系？说明理由．【分析】（1）画出这个图形即可；（2）根据角平分线定义即可判断射线OE，OF在同一条直线上；（3）由OG平分∠AOD，得∠AOG＝∠DOG，再由∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，得∠AOE+∠AOG＝90°，进而即可判断OE与OG的位置关系．【解答】解：（1）如图所示，（2）射线OE、射线OF在同一条直线上．理由如下：∵直线AB、CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD，∠AOC+∠AOD＝180°，∵OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∴∠AOE=12∠AOC，∠DOF=1∴∠AOE＝∠DOF，∴∠AOE+∠DOF＝∠AOC，∴∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，∴射线OE、射线OF在同一条直线上；（3）OE⊥OG．理由如下：∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG，∵∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，∴∠AOE+∠AOG＝90°，∴OG⊥OE．【点评】本题考查了作图﹣基本作图、直线、射线、线段、角平分线的定义、对顶角、邻补角，解决本题的关键是根据语句准确画图．题型五与相交线有关的角度计算综合题题型五与相交线有关的角度计算综合题【例题5】（2022秋•渠县期末）若直线AB和直线ED相交于点O，OC为∠BOE内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度数？（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度数？（3）请猜想，∠EOF度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则∠EOF度数是多少？【分析】（1）由对顶角的性质，得到∠AOE＝58°，再由角平分线的定义即可求解；（2）由角平分线的定义，对顶角的性质得到，∠COE＝α，∠COF＝90°﹣α，从而求出∠EOF的度数；（3）由角平分线的定义推出∠EOF=12∠【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB∵∠AOE＝∠BOD＝58°，∴∠AOF＝∠AOF+∠EOF＝58°+90°＝148°，（2）∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOE，∵∠AOE＝∠BOD＝α，∴∠AOC＝2α，∴∠BOC＝180°﹣2α，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠BOC＝90°﹣∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝α+90°﹣α＝90°；（3）∠EOF的度数不变，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB【点评】本题考查角的计算，关键是掌握角平分线的定义．【变式5-1】（2022春•大足区期末）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．（1）求∠COE的度数；（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．【分析】（1）由角平分线定义，对顶角，邻补角的概念，可求．（2）分两种情况，由垂直的定义可求解，【解答】解：（1）∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=12∠∵∠BOD＝46°，∴∠AOD＝134°，∠AOC＝46°，∴∠AOE＝67°，∵∠COE＝∠AOC+∠AOE，∴∠COE＝46°+67°＝113°；（2）①当OF在AB上方时，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝23°．②当OF在AB下方时，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝157°．【点评】本题考查角平分线定义，对顶角，邻补角的概念，关键是熟练掌握有关的概念．【变式5-2】（2022春•潜山市月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，（1）如图1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度数（2）如图2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度数；（3）在（2）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的意义进行计算即可；（2）根据角平分线以及∠BOE：∠COE＝1：3，利用按比例分配进行计算即可；（3）分两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）∵∠COE+∠DOE＝180°，∠COE＝110°，∴∠DOE＝180°﹣110°＝70°，又∵OB平分∠DOE，∴∠BOD＝∠BOE=12∠（2）∵OB平分∠DOE，∴∠BOD＝∠BOE=12∠∵∠BOE：∠COE＝1：3，∴∠BOD＝180°×1∴∠AOC＝∠BOD＝36°；（3）由（2）得∠DOE＝72°，当OF在直线CD的上方时，有∠EOF＝∠FOD+∠DOE＝90°+72°＝162°，当OF在直线CD的下方时，有∠EOF＝∠FOD﹣∠DOE＝90°﹣72°＝18°，因此∠EOF的度数为18°或162°．【点评】本题考查角平分线，邻补角、对顶角，理解角平分线的定义，邻补角以及对顶角的意义是正确解答的前提．【变式5-3】（2022春•麒麟区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度数；②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明OC平分∠AOE．（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．【解答】（1）①解：∵OF⊥CD于点O，∴∠DOF＝90°，∵∠BOD＝20°，∴∠BOF＝90°﹣20°＝70°，∵∠BOE＝130°，∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝130°﹣70°＝60°；∴∠EOF的度数为60°；②证明：∵OF平分∠BOE，∴∠EOF＝∠FOB=12∠∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；（2）解：3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°，理由如下：当点E，F在直线AB的同侧时，如图，记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．【点评】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．【变式5-4】（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．【基础尝试】（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；【画图探究】（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．【拓展运用】（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．【分析】（1）由补角的定义可求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义可求∠COE的度数，再利用平角的定义可求解；（2）可分两种情况：当OF在∠BOC内部时，当OF在∠AOD内部时，利用平角的定义及角平分线的定义分别求解即可；（3）在AB⊥CD，且OF与OB重合的时候，∠EOF可以和∠DOE互补．【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠∵∠DOE+∠COE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；（2）∠EOF=12∠AOC或∠EOF＝180°−1当OF在∠BOC内部时，如图，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，∴∠BOC＝（180﹣x）°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC＝（90−∵OF⊥OC，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90−12x）°=即∠EOF=12∠当OF在∠AOD内部时，如图，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，