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全等变化模型五十字模型【模型展示】证明:【正方形十字全等】如图1,证明:证明:【等边十字全等】如图2,证明:【模型解析】从变化方式的角度分析,十字模型是由三垂直和三等角模型通过平移得到的.【知识链接】同角的余角相等,三角形的外角定理【模型总结】①如图1,正方形中两条垂直的线段相等,两条相等的线段垂直;②如图2,等边三角形中两条相等的线段夹角等于60°;【模型巩固】【例5-1】(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,H分别在BC,AB上,若AE⊥DH于点O,求证:AE=DH;(2)如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH.∴∠HAO+∠OAD=90°.∵AE⊥DH,∴∠ADO+∠OAD=90°.∴∠HAO=∠ADO.在△ABE和△DAH中,∴△ABE≌△DAH(ASA),∴AE=DH;(2)解:EF=GH.理由:如图所示:将FE平移到AM处,则AM∥EF,AM=EF.将GH平移到DN处,则DN∥GH,DN=GH.∵EF⊥GH,∴AM⊥DN,根据(1)的结论得AM=DN,所以EF=GH.【例5-2】如图.已知△ABC中.∠BAC=90°.∠BCA=45°,D为线段AC上任一点,连接BD,过C点作CE∥AB且AD=CE.试说明BD和AE之间的关系,并证明.【解答】解:BD=AE,AE⊥BD;理由如下:∵AB∥CE,∠BAC=90°,∴∠ACE=90°,在△ABD和△CAE中,∴△ABD≌△CAE(SAS),∴BD=AE,∠ABD=∠CAE.∴∠ABD+∠EAB=∠CAE+∠EAB=90°∴AE⊥BD∴BD=AE,AE⊥BD;【例5-3】如图,在等边△ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且BD=CE,AD与BE相交于点P.下列结论:①AE=CD;②AP=BE;③∠PAE=∠ABE;④∠APB=120°,其中正确的结论是_____________(填序号)【解答】解:①因为AC=BC,BD=CE,所以AE=CD.故①正确,②∵△ABC是等边三角形,∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC.在△ABD与△BCE中,,∴△ABD≌△BCE(SAS);∴AD=BE.故②错误;③由②知△ABD≌△BCE,所以∠DAB=∠CBE,则∠PAE=∠ABE,故③正确;④∵由②知△ABD≌△BCE.∴∠BAD=∠EBC,∴∠BAD+∠ABP=∠ABD=60°.∵∠APE是△ABP的外角,∴∠APE=∠BAD+∠ABP=60°,∴∠APB=120°,故④正确.【模型巩固】【拓展5-1】如图,在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点P,Q,使AP=CQ,连接AQ,BP相交于点O.(1)写出图中所有的全等三角形,并选择其中一对加以证明;(2)求∠BOQ的度数;(3)连接OC,若OC⊥BP,求的值.【解答】解:(1)△ABP≌△ACQ,△ABQ≌△BCP证明△ABP≌△ACQ∵△ABC是等边三角形∴∠BAP=∠ACQ=∠ABQ,AB=AC=BC∵在△ABP和△ACQ中∴△ABP≌△ACQ(SAS)(2)∵△ABP≌△ACQ∴∠ABP=∠CAQ,∠BAQ+∠CAQ=60°∴∠BAQ+∠ABP=60°∵∠BOQ=∠BAQ+ABP∴∠BOQ=60°.(3)如图所示,过点B作BD⊥AQ交AQ于点D由(1)知△ABQ≌△BCP(SAS)∴∠BAD=∠OBC∴在△ABD和△BCO中∴△ABD≌△BCO(AAS)∴AD=BO在Rt△BOD中,∠BOD=60°,∠OBD=30°∴BO=2OD∴AD=2OD∴点O为AD的中点∴=∴=.【拓展5-2】如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是AC的中点,AF⊥BD于点E,交BC于点F,连接DF.求证:∠ADB=∠CDF.【解答】证明:如图,作AG平分∠BAC,交BD于点G∵∠BAC=90°,AE⊥BD,∴∠DAE+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°,∴∠ABG=∠CAF,∵△ABC是等腰直角三角形
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