专题08 难点探究专题：数轴上的动点问题压轴题六种模型全攻略(解析版)

专题08难点探究专题：数轴上的动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一数轴上的动点中求运动的时间问题】 1【考点二数轴上的动点中求定值问题】 7【考点三数轴上的动点中找点的位置问题】 14【考点四数轴上的动点中几何意义最值问题】 18【考点五数轴上的动点规律探究问题】 23【考点六数轴上的动点新定义型问题】 27【典型例题】【考点一数轴上的动点中求运动的时间问题】例题：（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）综合与实践：A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．(1)数轴上点A表示的数为，点B表示的数为；(2)动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒；①求数轴上点P，Q表示的数（用含t的式子表示）；②t为何值时，P，Q两点重合；③请直接写出t为何值时，P，Q两点相距5个单位长度．【答案】(1)；(2)①；；②；③或【分析】（1）先根据点C表示的数为6，BC＝4，表示出点，然后根据AB＝12，表示出点A即可；（2）①求出，，根据A、表示的数求出、表示的数即可；②根据在时间t内，P运动的长度-Q运动的长度=AC的长，列出方程，解方程即可；③利用“点，相距5个单位长度”列出关于的方程，并解答即可．【详解】（1）点对应的数为6，，点表示的数是，，点表示的数是，故答案是：-10；2．（2）①由题意得：，，如图所示：在数轴上点表示的数是，在数轴上点表示的数是；②当点，重合时，，解得：；③当点，相距6个单位长度，Ｐ在Ｑ的左侧时：，解得，Ｐ在Ｑ的右侧时：，解得，综上分析可知，当或时，点，相距5个单位长度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．（1）数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________．（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？【答案】（1）−4，1；（2）①当点P运动5秒时，点P追上点Q；②当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB−OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，所以可得出点P所表示的数为6−4t，当点P运动到的中点时，它的运动时间t＝5÷4＝1.25秒，即可求出点P所表示的数是1；（2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则4t＝10＋2t，然后解方程得到t＝5；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10＋2a−4a＝8；超过Q，则10＋2a＋8＝4a；由此求解即可．【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA＝6，则OB＝AB−OA＝4，∵点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为−4；点P运动t秒的长度为4t，∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6−4t，当点P运动到的中点时，它的运动时间为t＝5÷4＝1.25秒，∴它所表示的数是6−4t＝6−4×1.25＝1；故答案为：−4，1；（2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得4t＝10＋2t，解得t＝5，答：当点P运动5秒时，点P追上点Q；②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，当P不超过Q，则10＋2a−4a＝8，解得a＝1；当P超过Q，则10＋2a＋8＝4a，解得a＝9；答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键．2．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴，上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒．(1)当秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？(2)当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．(3)若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．【答案】(1)M，N两点在数轴上相距16个单位长度(2)(3)或【分析】（1）先计算出，的长度，再计算出经过4秒，点M和点N运动的路程，即可求解；（2）根据相遇时，两点的路程和等于总路程，即可求解；（3）根据题意，进行分类讨论即可．【详解】（1）解：根据题意可得：，，当秒时，点M的运动路程：，点N的运动路程：，∴经过4秒，点M在上，点N和点B重合，∴点M表示的数为：，点N表示的数为：，∴M、N两点距离为：．∴M，N两点在数轴上相距16个单位长度．（2）由（1）可得：，，∴点M到点O需要时间：秒，点N到点B需要时间：秒，当相遇时：，解得：．（3）∵P与O，B两点相距的长度相等，∴点P为表示的数为6，∴点A与点P距离为，点C与点P距离为，∵M，N与点P相距的长度之和等于6，∴点M和点N都在上，①当点M在上，点N在上时：∵，，∴，解得：，②当点M在上，点N在上时：∵，，∴，解得：；综上：或．【点睛】本题主要考查了数轴上数轴以及一元一次方程，解题的关键在正确理解题意，找出等量关系并列出方程求解．3．（2022秋·江苏·七年级专题练习）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；（3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），即得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1．【详解】（1）∵A表示的数为−2，点B表示的数为13，∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；．（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t．②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．（3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A，返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数．【考点二数轴上的动点中求定值问题】例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校考期末）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15．(1)点B在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是；(2)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？(3)若线段、线段分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点P从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．【答案】(1)，(2)或(3)的值会发生变化，理由见解析【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数；（2）分两种情况，点P在点Q的左侧或点P在点Q的右侧，按追及问题的数量关系列方程求出t的值即可；（3）分别表示，的值，然后代入求解即可．【详解】（1）解：因为点A表示的数是，点B在点A右侧，且，所以，所以点B表示的数是；因为点D表示的数是，点C在点D的左侧，且，所以，所以点C表示的数是，故答案为：，；（2）点B与点C的距离是（单位长度），所以线段的长为个单位长度，若点B在点C的左侧，则，解得；若点B在点C的右侧，则，解得，答：当或时，点B与点C之间的距离为1个单位长度；（3）的值会发生变化，理由如下：根据题意运动秒后移动到，点移动到，点移动到，∵，∴点始终在点的左侧，点始终在点的左侧，∴，∵，∴，∴的值会发生变化．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，将此题抽象成行程问题列方程求解是关键．【变式训练】1．（2022秋·七年级课时练习）已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位到达A点，再从A点向右移动12个单位到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点．(1)点C表示的数是；(2)若点A以每秒2个单位的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒，①点C表示的数是（用含有t的代数式表示）；②当t=2秒时，求CB-AC的值；③试探索：CB-AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】(1)-1(2)①−1＋t；②0；③CB−AC的值不随着时间t的变化而改变，CB−AC的值为0．【分析】（1）根据题意可以求得点C表示的数；（2）①根据题意可以用代数式表示点C运动时间t时表示的数；②根据题意可以求得当t＝2秒时，CB−AC的值；③先判断是否变化，然后求出CB−AC的值即可解答本题．(1)解：由题意可得，AC＝12×＝6，∴点C表示的数为：0−7＋6＝−1，故答案为：−1；(2)解：①由题意可得，点C移动t秒时表示的数为：−1＋t，故答案为：−1＋t；②当t＝2时，CB−AC＝[（0−7＋12＋4t）−（−1＋t）]−[（−1＋t）−（0−7−2t）]＝（5＋4t＋1−t）−（−1＋t＋7＋2t）＝6＋3t−6−3t＝0；③CB−AC的值不随着时间t的变化而改变，∵CB−AC＝[（0−7＋12＋4t）−（−1＋t）]−[（−1＋t）−（0−7−2t）]＝（5＋4t＋1−t）−（−1＋t＋7＋2t）＝6＋3t−6−3t＝0，∴CB−AC的值不随着时间t的变化而改变，CB−AC的值为0．【点睛】点评：本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2022秋·河北·七年级校联考期末）如图，点对应的有理数为，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且，点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点．(1)___________，___________；(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数；(3)若点从点开始以个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间秒，则的值是否随着的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】(1)，(2)(3)不会随着的变化而改变，该值是【分析】（1），点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点，根据点的移动即可求解；（2）根据（1）可知点与点对应的有理数，根据折叠的性质即可求解；（3）根据各点运动的情况可以用含的式子表示出，，对应的有理数，根据两点之间的距离，分别表示出，，由此即可求解．【详解】（1）解：，点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点，∴，，故答案为：，．（2）解：点对应的有理数是，点对应的有理数是，若将数轴折叠，使得点与点重合，∴折叠点对应的有理数为，且点对应的有理数是，∴点到折叠点的距离为，∴与点重合的点表示的数为．（3）解：的值不会随着的变化而改变．∵点从点开始以每秒个单位长度的速度向左运动，∴运动后对应的点为，∵点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，∴运动后对应的点为，∵点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，∴运动后对应的点为，∴，，∴，∴的值不会随着的变化而改变，该值是．【点睛】本题主要考查数轴上动点的问题，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法，点与点之间的有理数表示方法是解题的关键．3．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图：在数轴上，点A表示a,点B表示b,点C表示c,b是最大的负整数，且a,c满足________，_________，_____________若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数____________表示的点重合；点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，①请问:的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．②探究:若点向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）-3，-1,5；（2）3；（3）①的值不随着时间的变化而改变，值为14；②当时，的值随着时间的变化而改变；当时，的值不随着时间的变化而改变，值为26．【分析】(1)根据非负数的性质即可得到结论；（2）先求出对称点，即可得出答案；(3)①t秒后，，，代入计算即可得到答案；②先求出，再分当时和当时，讨论求解即可.【详解】解:∵，∴a+3=0，c−5=0，解得a=−3，c=5，∵b是最大的负整数，∴b=-1故答案为：−3，-1，5．(2)点A与点C的中点对应的数为：，点B到1的距离为2，所以与点B重合的数是：1+2=3．故答案为：3．①t秒后，，，．故的值不随着时间的变化而改变；②．，．当时，原式的值随着时间的变化而改变；当时，原式的值不随着时间的变化而改变．【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．4．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为、3．(1)填空：线段的长度______；(2)若点A是的中点，点D在点A的右侧，且，点P在线段上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，的值随着点P的运动而没有发生变化？(3)若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是、的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．【答案】(1)(2)P点在线段上时，的值没有发生变化(3)在运动过程中，的值不发生变化，理由见解析【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离求解即可；（2）根据题意得出D点对应的数为4，设P点对应的数为x，根据题意分三种情况分析：①P点在射线上时，②P点在线段上时，③P点在射线上时，结合图形，建立方程求解即可（3）设运动时间为t分钟．则，，，根据线段中点得出，，，然后求解即可．【详解】（1）解：线段AB的长度为，故答案为：4；（2）存在A、B两点对应的数分别为、3，∴，∵点A是BC的中点，∴∴，∴C点对应的数为又∵，点D在点A的右侧，∴D点对应的数为4设P点对应的数为x①P点在射线上时，，∴的值随着点P的运动而发生变化；②P点在线段上时，，∴的值随着点P的运动没有发生变化；③P点在射线上时，，∴的值随着点P的运动而发生变化∴P点在线段上时，的值没有发生变化；（3）设运动时间为t分钟．则，，∴∵M、N分别是、的中点，∴，∴，∴∴在运动过程中，的值不发生变化．【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离，线段中点的计算及动点问题，一元一次方程的应用，理解题意，根据题意列出方程是解题关键．【考点三数轴上的动点中找点的位置问题】例题：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数的点重合；(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：①表示数9的点与表示数的点重合；②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．【答案】(1)-4(2)①-5；②A、B两点表示的数分别是-3，7；③x的值为-4或8．【分析】（1）先求出中心点，再求出对应的数即可；（2）①求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；②求出中心点是表示2的点，求出A、B到表示2的点的距离是5，即可求出答案；③根据点P在数轴上的位置，分类讨论，当点P在点A的左侧时，当点P在点A、B之间时，当点P在点A的右侧时，根据各种情形求解即可．【详解】（1）解：∵折叠纸面，使数字1表示的点与-1表示的点重合，可确定中心点是表示0的点，∴4表示的点与-4表示的点重合，故答案为∶-4；（2）解：①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，可确定中心点是表示2的点，∴表示数9的点与表示数-5的点重合；故答案为∶-5；②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），∴A、B两点距离中心点的距离为10÷2=5，∵中心点是表示2的点，∴A、B两点表示的数分别是-3，7；③当点P在点A的左侧时，∵PA+PB＝12，∴-3-x+7-x=12，解得x=-4；当点P在点A、B之间时，此时PA+PB=12不成立，故不存在点P在点A、B之间的情形；当点P在点A的右侧时，∵PA+PB＝12，∴x-(-3)+x-7=12，解得x=8，综上x的值为-4或8．【点睛】本题考查了数轴的应用，能求出折叠后的中心点的位置是解此题的关键．【变式训练】1．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．【答案】(1)见解析；(2)①秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②P对应数-6或0．【分析】（1）画出数轴，找出A、B所对应的点即可；（2）①根据两点间距离表示出MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6，计算即可；②根据点P是【B，A】的三倍点，可得PB=3PA．分情况讨论：当点P在A点左侧时，求出点P对应数-6；当点P在A、B之间时，求出点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：①MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6∴t+2=6－5t，得：t=；或t+2=5t－6，得：t=2．即秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②∵点P是【B，A】的三倍点，∴PB=3PA．当点P在A点左侧时，AB=2PA=8，∴PA=4，点P对应数-6；当点P在A、B之间时，AB=4PA=8，∴PA=2，点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0．【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的三要素及画法，数轴上两点之间的距离，注意对于动点问题需要进行分情况讨论．2．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）如图，已知A，为数轴上的两个点，点A表示的数是，点表示的数是30．(1)直接写出线段的中点对应的数；(2)若点在数轴上，且，直接写出点对应的数；(3)若李明从点A出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时王聪从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点处相遇，求点对应的数；(4)若李明从点A出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时王聪从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求李明所在位置点对应的数．【答案】(1)(2)或80(3)(4)或【分析】（1）直接根据数轴上线段中点位置计算即可；（2）分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，根据数轴上两点之间的距离求解即可；（3）设相遇时间为，根据题意列出方程求解即可；（4）分两种情况：①追及前相距20，②追及后相距20，根据题意，列出方程求解即可．【详解】（1）解：线段的中点对应的数为，答：线段的中点对应的数为；（2）当点在点的左侧时，点所对应的数为：，当点在点的右侧时，点所对应的数为：，答：点对应的数为或80；（3）设相遇时间为，由题意得，，解得，点对应的数为；（4）①追及前相距20，设行驶的时间为，由题意得，，解得，此时李明所在位置点对应的数为；②追及后相距20，设行驶的时间为，由题意得，，解得，此时李明所在位置点对应的数为；答：李明所在位置点对应的数为或．【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及一元一次方程的应用，理解题意，进行分情况讨论分析是解题关键．【考点四数轴上的动点中几何意义最值问题】例题：（2023春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．(1)探究问题：如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x．

填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，而当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以的最小值是______；(2)解决问题：①直接写出式子的最小值为_______；②直接写出不等式的解集为_______；③当a为_______时，代数式的最小值是2．（直接写出结果）【答案】(1)3(2)①6；②或；③或【分析】（1）根据题意即可求解；（2）①把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示4与的点之间的距离最小值，进而问题可求解；②根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；③根据原式的最小值为2，得到表示3的点的左边和右边，且到3距离为2的点即可．【详解】（1）解：当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以的最小值是3；故答案为：3；（2）解：①，表示到与到的距离之和，

点在线段上，，当点在点的左侧或点的右侧时，，∴的最小值是6；故答案为：6；②如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，

当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，则范围为或；故答案为：或；③当为或时，代数式为或，∵数轴上表示数1的点到表示数3的点的距离为，数轴上表示数5的点到表示数3的点的距离也为，因此当为或时，原式的最小值是．故答案为：或．【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为，当、两点中有一点在原点时，不妨设在原点，如图1，，当、两点都不在原点时，①如图2，点、都在原点的右边；②如图3，点、都在原点的左边，③如图4，点、在原点的两边，；综上，数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______．（2）若表示一个有理数，则当在什么范围内时，有最小值？请写出的范围及的最小值．（3）若表示一个有理数，则当在什么范围内时，有最小值？请写出的范围及的最小值．图1图2图3图4【答案】（1）；；或；（2）；；（3）；．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值，算出即可；（2）|x+1|+|x-3|的最小值，意思是x到-1的距离与到3的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上．（3）参考阅读材料，写出代数式表示的意义即可.【详解】（1）数轴上表示和两点之间的距离为数轴上表示和的两点和之间的距离为，，故或，或．（2）代数式表示数轴上一点到，两点的距离的和，可知有最小值为．（3）代数式表示到，两点的距离，可知取值范围，有最小值为．【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．【考点五数轴上的动点规律探究问题】例题：（2022秋·北京朝阳·九年级校考阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（）A．159 B．-156 C．158 D．1【答案】A【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数．【详解】解：设向右为正，向左为负，则表示的数为+1，表示的数为+3表示的数为0表示的数为-4表示的数为+1……由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为．则第157次向右移动157个单位长度，；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以．故在数轴上表示的数为159．故选A．【点睛】本题考查了数轴上点的运动规律，正确理解题意，找出点在数轴上的运动次数与对应点所表示的数的规律是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点表示数现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，…，按照这种移动规律进行下去，第次移动到点，那么点所表示的数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】从A的序号为奇数的情形中，寻找解题规律求解即可.【详解】∵A表示的数为1，∴=1+（-3）×1=-2，∴=-2+（-3）×（-2）=4，∴=4+（-3）×3=-5=-2+（-3），∴=-5+（-3）×（-4）=7，∴=7+（-3）×（-5）=-8=-2+（-3）×2，∴=，故选B.【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键.2．（2022秋·七年级课时练习）一组数0，2，4，8，12，18，…中的奇数项和偶数项分别用代数式，表示，如第1个数为，第2个数为，第3个数为，…，则第8个数的值是，数轴上现有一点从原点出发，依次以此组数中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时，点在原点，记为；第2秒点向左跳2个单位，记为，此时点表示的数为-2；第3秒点向右跳4个单位，记为，点表示的数为2；…按此规律跳跃，点表示的数为．【答案】3230【分析】第8个数为偶数项，代入偶数项的公式即可得出答案；根据数的规律写出前11个数的值，再结合点的跳跃规律即可得出答案.【详解】∵第8个数为偶数项∴第8个数为：；由题可知，第4秒点向左跳8个单位，记为，点表示的数为-6；第5秒点向右跳12个单位，记为，点表示的数为6；…第11秒点向右跳60个单位，记为，点表示的数为30;故答案为32，30.【点睛】本题考查的是找规律，难度较高，找出两种规律并巧妙结合是解决本题的关键.3．（2022秋·广东惠州·七年级阶段练习）已知A、B两点相距54米，小乌龟从A点出发前往B点，第一次它前进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米，…，按此规律行进，如果A点在数轴上表示的数为﹣17，数轴上每个单位长度表示1米（从A点向B点方向行进记为前进）（1）求出B点在数轴上表示的数；（2）若B点在原点的右侧，经过第五次行进后小乌龟到达M点，第六次行进后到达N点，M点到A点的距离与N点到A点的距离相等吗？说明理由；（3）若B点在原点的左侧，那么经过10次行进后，小乌龟到达的点与B点之间的距离是多少？【答案】（1）B点在数轴上表示的数为37或-71；（2）M点到A点的距离与N点到A点的距离相等．理由见解析；（3）经过10次行进后，小乌龟到达的点与B点之间的距离是59米．【分析】（1）根据A、B两点的距离及点A表示的数即可求点B表示的数；（2）根据小乌龟的行进规律即可得结论；（3）根据（2）的规律即可得到小乌龟行进10次后在点A的右侧，距点A5米，依次即可计算与点B的距离．【详解】（1）∵A点在数轴上表示的数为﹣17，A、B两点相距54米，﹣17+54＝37或-17-54=-71答：B点在数轴上表示的数为37或-71；（2）M点到A点的距离与N点到A点的距离相等．理由如下：根据题意，得前进第一次与点A距离1米，前进第二次与点A距离2米，后退第一次与点A距离1米，后退第二次与点A距离2米，…第六次行进（即前进3次，后退3次）后，点N到A的距离为3米，点M到A的距离为3米，答：M点到A点的距离与N点到A点的距离相等．（3）∵B点在原点的左侧∴B点在点A的左侧经过10次行进后，小乌龟在点A的右侧且与点A的距离是5米，小乌龟到达的点与B点之间的距离是54+5＝59（米）；答：经过10次行进后，小乌龟到达的点与B点之间的距离是59米．【点睛】此题考查有理数的计算，正确理解点与点间的位置关系是解题的关键，（1）中注意点B可能在两侧的情况；（2）中找到乌龟爬行的规律为（3）做基础.【考点六数轴上的动点新定义型问题】例题：（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是；写出【N，M】美好点H所表示的数是．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？【答案】(1)G；－4或－16(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，故答案是：G．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．故答案为：－4或－16；（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒；第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒；第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒；第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒；第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，第八种情况，N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．【点睛】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式训练】1．（2022秋·山东德州·七年级校考阶段练习）对于平面内的两点M、N，若直线MN上存在点P，使得MP=NP成立，则称点P为点M、N的“和谐点”，但点P不是点N、M的“和谐点”.(1)如图1，点A、B在直线l上，点C、D是线段AB的三等分点，则是点A、B的“和谐点”（填“点C或“点D”）；(2)如图2，已知点E、F、G在数轴上，点E表示数－2，点F表示数1，且点F是点E、G的“和谐点”，求点G表示的数；(3)如图3，数轴上的点P表示数5，点M从原点O出发，以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点P出发，以每秒10个单位的速度向左运动，点M、N同时出发.在M、N、P三点中，若点M是另两个点的“和谐点”，则OM=.【答案】(1)点C(2)-5或7(3)45或或【分析】（1）点C、D是线