7.5多边形的内角和与外角和(讲+练)（解析版）

7.5多边形的内角和与外角和三角形的内角和三角形内角和是180°.（常见的推导方法有：①度量法；②切割法；③折叠法）多边形的对角线从n边形的一个顶点出发，可以作（n－3）条对角线；n边形总共有n(n-3)2多边形的内角和n多边形的外角和多边形的外角和等于360°.三角形内外角角平分线的模型模型1：在△ABC中，内角∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，则有：∠BPC=90°+12∠模型2：在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点P，则有∠BPC=90°-12∠模型3：在△ABC中，内角∠ABC和外角∠ACD的平分线所在直线交于点P，则有∠BPC=12∠题型1：多边形的对角线1．从七边形的一个顶点出发，可连出的对角线的条数为4．【分析】根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是（n﹣3）进行计算即可．【解答】解：从六边形的一个顶点出发，引对角线的数量为：7﹣3＝4（条），故答案为：4．【变式1-1】一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则m+n＝11．【分析】根据从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，可以把n边形分成（n﹣2）个三角形，即可解答．【解答】解：一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，∴m＝5，n＝6，∴m+n＝5+6＝11，故答案为：11．【变式1-2】每一个多边形都可以分割为若干个三角形．如图，按照这种分法，从多边形的一个顶点出发的对角线可以把n边形分割成（n﹣2）个三角形．【分析】过n边形的同一个顶点作对角线，可以把n边形分成（n﹣2）个三角形．【解答】解：按如图所示的方法，n边形能分割成（n﹣2）个三角形．故答案为：（n﹣2）．【变式1-3】连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：①如图2，多边形A1A2A3A4A5…An．中，过顶点A1可以画（n﹣3）条对角线，过顶点A2可以画（n﹣3）条对角线，过顶点A3可以画（n﹣3）条对角线（用含n的代数式表示）②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？有重复③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？n(n-3)2（用含n【分析】根据多边形的对角线的定义找出规律即可求出答案．【解答】解：故答案为：（1）（n﹣3）；（n﹣3）；（n﹣3）（2）有重复（3）n(n-3)题型2：三角形的内角和2.△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形．【分析】根据三角形内角和为180度，结合已知条件求出∠A，∠B，∠C的度数即可得到答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴可设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴6x＝180°，∴x＝30°，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直角．【变式2-1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B＝70°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为15°．【分析】由三角形内角和定理，结合题干信息，运用合理的逻辑推理即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，∴∠BAC＝70°，∵AD是BC边上的高，∴∠CAD＝50°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=12∠BAC＝∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝15°．故答案为：15°．【变式2-2】当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为15°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为135°．【分析】根据半角三角形的定义得出β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可．【解答】解：∵α＝15°，∴β＝2α＝30°，∴最大内角的度数＝180°﹣15°﹣30°＝135°．故答案为：135°．【变式2-3】如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝45°（点A，B，P是网格线交点）．【分析】根据图形，可知∠CPA＝45°，∠CPA＝∠PAB+∠PBA，从而可以得到∠PAB+∠PBA的值．【解答】解：延长BP，点C为BP延长线上一点，如右图所示，∵∠CPA＝45°，∠CPA＝∠PAB+∠PBA，∴∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45．题型3：多边形的内角和3.n边形内角和度数为1080°，则该n边形的边数是8．【分析】由多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数），即可计算．【解答】解：由题意得：（n﹣2）×180°＝1080°，∴n＝8．故答案为：8．【变式3-1】如图，在五边形ABCDE中，∠A＝35°，去掉∠A后得到一个六边形BCDENM，则∠1+∠2的度数为215°．【分析】由三角形的外角性质，即可求解．【解答】解：∵∠1＝∠A+∠AMN，∠2＝∠A+∠ANM，∴∠1+∠2＝∠A+∠AMN+∠ANM+∠A，∴∠1+∠2＝180°+35°＝215°，故答案为：215°．【变式3-2】如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360度．【分析】根据三角形外角的性质得∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，则这几个角是一个四边形的四个内角，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案为：360．【变式3-3】如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，∠1＝48°，则∠2＝120°．【分析】过点B作直线BF∥l1，可得BF∥l2∥l1，利用平行线的性质可得∠1＝∠ABF＝48°，∠2+∠CBF＝180°，根据正多边形内角和求出∠ABC，进而求出∠CBF，∠2的度数．【解答】解：如图，过点B作直线BF∥l1，∵l1∥l2，BF∥l1，∴BF∥l2，∴∠1＝∠ABF＝48°，∠2+∠CBF＝180°，∵五边形ABCDE是正五边形，∴五边形ABCDE的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，∴∠ABC=∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝108°﹣48°＝60°，∴∠2＝180°﹣∠CBF＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．【变式3-4】如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，∠C＝80°，按如图方式沿着MN折叠，使FN∥CD，此时量得∠FMN＝40°，则∠B的度数是100°．【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵FN∥DC，∴∠BNF＝∠C＝80°，∵△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠BMN＝∠FMN＝40°，∠BNM=12∠BNF=12在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（40°+40°）＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100°．题型4：多边形的外角4.一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为10．【分析】根据任意多边形的外交和等于360°，多边形的每一个外角都等于36°，多边形边数＝360÷外角度数，代入数值计算即可．【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于36°，∴这个多边形的边数＝360÷36＝10．故答案为：10．【变式4-1】若一个多边形的外角和是其内角和的25，则这个多边形是七【分析】根据多边形的外角和为360°及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形的边数．【解答】解：∵一个多边形的外角和是内角和的25倍，且外角和为360∴这个多边形的内角和为360°÷25设这个多边形的边数是n，则180°（n﹣2）＝900°∴n＝7，故这个多边形是七边形，故答案为：七．【变式4-2】如图，小明操场上从A点出发，沿直线前进15米后向左转45°，再沿直线前进150米后，又向左转45°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了120米．【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360÷45求出正多边形的边数，然后再乘以15即可．【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进15m后左转45°，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了15×8＝120m．故答案为：120．【变式4-3】如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝240°，则∠1+∠2+∠3＝240°．【分析】延长EA、AB构造外角∠4、∠5，根据一个顶点上的外角和内角的关系与多边形的外角和，计算得结论．【解答】解：如图，延长EA、AB．∵∠EAB+∠4+∠ABC+∠5＝360°，又∵∠EAB+∠ABC＝240°，∴∠4+∠5＝120°．∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝240°．故答案为：240°．题型5：内外角的角平分线运用5.如图，△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O．则∠BOC＝115°．【分析】利用三角形内角和定理先求出∠ABC+∠ACB的度数，再利用角平分线的定义即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ABO＝∠OBC=12∠ABC，∠ACO＝∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣65°＝115°，故答案为：115°．【变式5-1】已知△ABC中，∠A＝α．在图1中∠B、∠C的平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C＝90°+12α；在图2中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3，则∠BO3C＝60°+2【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，再由三等分角线可得∠CBO3+∠BCO3=23（∠ABC+∠ACB）＝120°-23α，由三角形内角和定理即可求得∠【解答】解：∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3，∴∠CBO3+∠BCO3=23（∠ABC+∠ACB）＝120°-∴∠BO3C＝180°﹣（∠CBO3+∠BCO3）＝60°+23故答案为：60°+23【变式5-2】如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ACD是其外角，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；则∠A2＝14α…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线交于点A2022，则∠A2022＝1【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，然后整理得到∠A1=12∠A，同理可得∠A2=1【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=1∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即12∠ACD＝∠A1+12∴∠A1=12（∠ACD﹣∠∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=12∠A=∠A2=12∠A1=12以此类推，∠An=12n∠∴∠A2022=1故答案为：14α，题型6：“密铺”问题6.边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是②（请填序号）．①正方形与正三角形②正五边形与正三角形③正六边形与正三角形④正八边形与正方形【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判断．【解答】解：①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，能能作平面镶嵌；②正三角形的每个内角是60°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，60m+108n＝360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能作平面镶嵌；③正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°＝360°，能能作平面镶嵌；④正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°+90°＝360°，能能作平面镶嵌．故答案为：②．【变式6-1】用正三角形和正六边形作平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m，n满足的关系式是m+2n＝6．【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．【解答】解：正多边形的平面镶嵌，每一个顶点处的几个角之和应为360度，而正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，根据题意可知60°×m+120°×n＝360°，化简得到m+2n＝6．故答案为：m+2n＝6．【变式6-2】如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第1个图案用了4块灰色的瓷砖，第2个图案用了6块灰色的瓷砖，第3个图案用了8块灰色的瓷砖，…，第n个图案中灰色瓷砖块数为2n+2．【分析】本题可分别写出n＝1，2，3，…，时的黑色瓷砖的块数，然后依此类推找出规律即可解决问题．【解答】解：n＝1时，黑瓷砖的块数为：4；n＝2时，黑瓷砖的块数为：6；n＝3时，黑瓷砖的块数为：8；…；当n＝n时，黑瓷砖的块数为：2n+2．故答案为2n+2．【变式6-3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，…，依此递推，则第6层中含有正三角形个数是66，第n层中含有正三角形个数是12n﹣6．【分析】分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．【解答】解：第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，…，每一层比上一层多12个，故第6层中含有正三角形的个数是6+12×5＝66（个），第n层中含有正三角形个数是6+12（n﹣1）＝12n﹣6，故答案为：66，12n﹣6．一．选择题（共8小题）1．若一个正n边形的内角和为1080°，则它的每个外角度数是（）A．36° B．45° C．72° D．60°【分析】根据多边形内角和公式列出方程，求出n的值，即可求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是360°，利用360°除以边数可得外角度数．【解答】解：根据题意，可得（n﹣2）×180°＝1080°，解得n＝8，所以，外角的度数为360°÷8＝45°．故选：B．2．下列说法正确的是（）A．平角的度数是360° B．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短” C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用的数学原理是“两点确定一条直线” D．过某个多边形一个顶点最多有5条对角线，则这个多边形是八边形【分析】由线段的性质，直线的性质，平角的概念，多边形的对角线的概念，即可判断．【解答】解：A、平角的的度数是180°，故A不符合题意；B、用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”，故B不符合题意；C、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用的数学原理是“两点之间，线段最短”，故C不符合题意；D、过某个个多边形一个顶点最多有5条对角线，则这个多边形是八边，正确，故D符合题意．故选：D．3．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．72° B．85° C．65° D．80°【分析】根据三角形内角和得出∠C＝60°，再利用角平分线得出∠DBC＝35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，∴∠C＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC＝∴∠BDC＝180°﹣60°﹣35°＝85°．故选：B．4．一个多边形从一个顶点最多能引出四条对角线，这个多边形是（）A．四角形 B．五边形 C．六边形 D．七边形【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解．【解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引四条对角线，设多边形边数为n，∴n﹣3＝4，解得n＝7，即这个多边形是七边形．故选：D．5．一副三角板按如图所示放置，∠E＝45°，∠C＝30°，求∠EDC等于（）度．A．70° B．75° C．80° D．85°【分析】已条件可以求出∠EAB，∠CBA的度数，由三角形内角和定理，求出∠BDA，即可得到∠EDC的度数．【解答】解∵△ABE是等腰直角三角形，∴∠EAB＝∠E＝45°，∵∠C＝30°，∴∠DBA＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADB＝180°﹣∠DBA﹣∠DAB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠EDC＝∠ADB＝75°．故选：B．6．△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形【分析】根据在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可求出∠C的度数，进而得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：C．7．△ABC中，给出下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝2∠B＝3∠C，④点D是边AB的中点，且CD=12其中能判定△ABC是直角三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据三角形内角和定理求出最大的内角，即可判断①②③，然后根据点D是边AB的中点，且CD=12AB．求出∠A+∠B＝90°，即可判断【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝180°×31+2+3∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+12∠A+13∠∴∠A＝（10811所以△ABC不是直角三角形；④∵点D是边AB的中点，且CD=12∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠DCA，∠B＝∠DCB，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴2∠A+2∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，综上所述：能判断△ABC是直角三角形的有3个．故选：C．8．如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②∠D=90°-12∠A；③DH∥AB；④∠H=1A．①②③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【分析】①根据BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，可得∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，再由邻补角的性质，可得①正确；②根据BD和CD是△ABC两个外角的平分线，可得∠D=180°-12(180°-∠ABC)-12(180°-∠ACB)，可得②正确；③根据∠A＝∠ABC，可得∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，可得∠BCD＝∠ABC，可得③正确；④根据∠D=90°-12∠A，∠DBH=90°，可得④正确；⑤根据∠ABC+∠CBE＝180【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°，∴DB⊥BH，故①正确；②∵BD和CD是△ABC两个外角的平分线，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°-=180°-=1=1=90°-12③∵∠A＝∠ABC，∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，∵CD是∠BCF的平分线，∴∠BCD=∴DH∥AB，故③正确；④∵∠D=90∴∠H=90°-∠D=⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，∴∠CBD=∵∠A＝∠ABC，∴∠CBD=90∵∠D=90∴∠CBD＝∠D，故⑤正确．综上所述，正确的有①②③④⑤．故选：D．二．填空题（共9小题）9．如图所示，从八边形ABCDEFGH的顶点A出发，最多可以作出5条对角线．【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得答案．【解答】解：从八边边形的一个顶点出发，最多可以引出该八边形的对角线的条数是8﹣3＝5，故答案为：5．10．如图，在四边形ABCD中，∠D＝60°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝240°．【分析】根据三角形的内外角之间的关系可得∠1+∠2＝240°．【解答】解：∵三角形的内角和等于180°，∠D＝60°，∴∠1＝∠D+∠DFE，∠2＝∠D+∠DEF，∵∠DEF+∠DFE+∠D＝180°，∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE+∠D+∠D＝180°+60°＝240°．故答案为：240°．11．如图，∠ACD是△ABC的外角，且∠ACD＝65°，∠A＝35°，则∠B＝30度．【分析】根据三角形的内角与外角之间的关系解答即可．【解答】解：∵∠ACD＝65°，∠A＝35°，∴∠B＝∠ACD﹣∠A，＝65°﹣35°＝30°．故答案为：30．12．如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝∠D＝40°，则∠BCD的度数是130°．【分析】根据题意滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，得出∠D＝40°，再利用四边形内角和定理求出∠BCD＝360°﹣150°﹣40°﹣40°，即可得出答案．【解答】解：∵一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠D＝∠B＝40°，∴∠BCD＝360°﹣150°﹣40°﹣40°＝130°．故答案为：130．13．如图，若∠A＝∠B＝∠C＝35°，则∠CDB＝105°．【分析】延长BD交AC于D，由三角形的外角的性质即可求解．【解答】解：延长BD交AC于D，∵∠BDC＝∠DEC+∠C，∠DEC＝∠A+∠B，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C，∴∠CDB＝35°+35°+35°＝105°，故答案为：105．14．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，则∠1+∠2的度数为100°．【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再求出∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC即可解决问题．【解答】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=1∵∠BA'C＝115°，∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣115°＝65°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠BAC＝180°﹣130°＝50°，∵沿DE折叠，∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×50°＝100°，故答案为：100°．15．如图，将一副三角尺的两个锐角（30°角和45°角）的顶点P叠放在一起，没有重叠的部分分别记作∠1和∠2，若∠1与∠2的和为61°，则∠APC的度数是68°．【分析】先求30°和45°重合部分的角的度数，再加上∠1与∠2的和即可得到答案．【解答】解：三角板重合部分的角的度数＝（30+45﹣61）÷2＝7°，∴∠APC＝7°+∠1+∠2＝7°+61°＝68°．故答案为：68°．16．如图所示，△ABC中∠C＝80°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A′BD，此时A′D∥BC，则∠ABC＝75度．【分析】设∠A＝∠ABD＝x，根据翻折得，∠A＝∠DBA′＝∠A′＝∠ABD＝x，由A′D∥BC，∠A′＝∠CBA′＝x，所以∠CBA＝∠CBA′+∠A′BD+∠ABD＝3x，由三角形内角和定理求得即可．【解答】解：设∠A＝∠ABD＝x，∵△ABC沿BD翻折得△A′BD，∴∠A＝∠DBA′＝∠A′＝∠ABD＝x，∵A′D∥BC，∴∠A′＝∠CBA′＝x，∴∠CBA＝∠CBA′+∠A′BD+∠ABD＝3x，由三角形内角和定理得，∠A+∠ABC+∠C＝180°，x+3x+80°＝180°，x＝25°，∴3x＝3×25°＝75°，故答案为：75．17．如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝65°．【分析】根据题意可得：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，由三角形的内角和定理可求解∠4的度数，结合平角的定义可求解．【解答】解：如图，由题意知：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，∵∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠4＝50°，∵∠2+∠4+∠β＝180°，∴∠β＝65°，故答案为：65．三．解答题（共9小题）18．求如图中x的值．【分析】（1）由三角形的外角的性质，可得x+（x+5）＝x+85，即可求解；（2）由四边形的内角和是360°，可得x+（x+40）+（x+20）+90＝360，即可求解．【解答】解：（1）∵x+（x+5）＝x+85，∴x＝80；（2）∵x+（x+40）+（x+20）+90＝360，∴x＝70．19．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠ABD的度数．【分析】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得∠A的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABD的度数．【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°．又∵BD是AC边上的高，则∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°．20．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求：（1）∠ACD的度数；（2）∠AEC的度数．【分析】（1）利用三角形的外角的性质求解即可．（2）求出∠ECD，∠D，利用三角形的外角的性质求解即可．【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∠B＝25°，∠BAC＝31°，∴∠ACD＝25°+31°＝56°．（2）∵AD⊥BD，∴∠D＝90°，∵∠ACD＝56°，CE平分∠ACD，∴∠ECD=12∠ACD＝∴∠AEC＝∠ECD+∠D＝28°+90°＝118°．21．已知，如图三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD．试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系并说明理由．【分析】由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到∠BDC＝∠1+∠BED，∠BED＝∠A+∠2，于是可以得到结论．【解答】解：∠BDC＝∠1+∠2+∠A，理由如下：延长CD交AB于E，∵∠BDC＝∠1+∠BED，∠BED＝∠A+∠2，∴∠BDC＝∠1+∠2+∠A．22．如图是一个凹多边形，∠A＝90°，∠C＝106°，∠D＝116°，∠E＝100°；求∠1+∠2的值．【分析】连接BF，由∠A＝90°，得∠AFB+∠ABF＝90°，根据五边形内角和公式可得∠1+∠2+90°+106°+116°+100°＝540°，故∠1+∠2＝128°．【解答】解：连接BF，如图：∵∠A＝90°，∴∠AFB+∠ABF＝90°，∵五边形BCDEF的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠AFB+∠ABF+∠C+∠D+∠E＝540°，∴∠1+∠2+90°+106°+116°+100°＝540°，∴∠1+∠2＝128°．23．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度数．【分析】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．【解答】解：∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝60°又∵AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∴∠ABF=12∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝5°，∵BF是∠ABC的角平分线∴∠ABO＝30°∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．24．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与∠COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．性质理解：（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与∠COD中，则∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝110°．性质应用：（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．拓展提高：（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A＝α，直接写出∠P的度数（用含α的式子表示∠P）．【分析】（1）利用对顶三角形的性质求解即可；（2）利用对顶三角形的性质，结合图形进行分析即可求解；（3）由题意得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，再由角平分线的定义可求得：∠ABE+∠ACD=12【解答】解：（1）在“对顶三角形”△AOB与∠COD中，则∠AOB＝70°，∴∠C+∠D＝∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝110°，故答案为：110；（2）在△ABC中，∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°．∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠FBA+∴∠ADE+∠BED＝60°．又∵∠ADE﹣∠BED＝6°，∴∠ADE＝33°，∠BED＝27°；（3）在△ABC中，∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α．∵BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABE=∠CBE=∴∠ABE+∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴∠CEP=12∵∠CEP+∠ACD＝∠CDP+∠P，∴∠P=即∠P=4525．如图，△AOB与△COD中的∠AOB与∠COD是对顶角．（1）如图1，证明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，AP，DP分别是∠BAO，∠CDO的平分线，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，∠BAO与∠CDO的相邻补角平分线交于点P，探索∠P，∠B和∠C之间的数量关系并加以证明．【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，根据对顶角相等∠AOB＝∠CDO，即可得证；（2）根据角平分线的定义得出∠BAP＝∠PAC=12∠BAO，∠BDP＝∠PDC=12∠CD