塑性增量本构理论

第四章塑性增量本构理论§4.1

全量理论与增量理论一、全量塑性理论所建立的本构关系为与之间的关系，称为全量理论。由于塑性本构关系与应力或应变路径有关，应力和应变之间不存在唯一的对应关系，因此，对一般的复杂加载历史和应力路径不可能建立起全量本构关系。当规定了具体的应力或应变路径之后，就可以沿应力或应变路径积分，建立相应的全量型本构关系。如果假设：①比例加载，即保证应力各分量之间按一定比例增加；②体积变化是弹性的；③与同轴；④q

与之间存在确定的关系，即单一曲线。

这时就有可能建立起全量型的塑性应力与应变关系。

1§4.1

全量理论与增量理论二、塑性增量本构理论从以上的简单介绍可知，建立全量型本构关系的条件是非常苛刻的，对于岩土类材料来说是不现实的。因此全量理论一般不适于岩土类材料。岩土类材料主要应用增量型塑性本构理论。追踪应力路径建立应力增量与应变增量之间的增量本构关系，就称为塑性增量理论。塑性增量理论主要包括以下几个方面的内容与概念。

1.屈服准则—前章内容；2.加载准则—判定材料状态；

3.流动法则—塑性应变方向与屈服函数的关系；

4.硬化规律—硬化材料所遵从的规律。2§4.2

加载条件与加载准则一、概述保证产生新的塑性变形的条件，或说使应力继续保持在屈服面或相继屈服面上的条件，称为加载条件。对于理想塑性材料，加载条件就是屈服条件，即：对于应变硬化材料，加载条件为：

Ha称为应变硬化参量，它与塑性变形或加载历史有关。实现上述加载条件中应力（或应变）变化的条件，称为加载准则；满足加载准则叫加载，不满足时称卸载或中性变载。3§4.2

加载条件与加载准则一、概述对于单向拉、压的简单应力状态，应力增减就是加卸载：理想塑性：硬化塑性：

4§4.2

加载条件与加载准则二、理想塑性材料的加载准则

1.正则屈服面上的加载准则当屈服函数处处可微时，相应的屈服面称正则屈服面。对于对于理想塑性材料，如果以f(

ij)＝0表示屈服面，应力位于极限曲面之内，材料处于弹性状态；应力位于极限曲面之上，则塑性变形将可无限发展；而应力点不能达到屈服之外。因此，保证应力不脱离屈服面就是加载准则：

f(

ij)＝05§4.2

加载条件与加载准则二、理想塑性材料的加载准则

1.正则屈服面上的加载准则因为，表示屈服面f在

ij点的梯度方向，也就是

ij点的外法线方向。所以，表示d

ij方向与正交。而表示d

ij方向与方向夹角大于90º，见下图。故，加载准则亦可表示为：

f(

ij)＝06§4.2

加载条件与加载准则二、理想塑性材料的加载准则

1.非正则屈服面上的加载准则屈服函数有不可微点（即屈服面上有棱角）时称非正则屈服面。在正则点上同上，在非正则点上，因为有两个梯度方向，如图所示，加载准则为：

f1(

ij)＝0f2(

ij)＝07§4.2

加载条件与加载准则三、硬化材料的加载准则

1.正则屈服面上的加载准则加载条件：，则由于也是由d

ij产生的，故加载准则仍可由应力变化是否离开加载面来反映。8§4.2

加载条件与加载准则三、硬化材料的加载准则

2.非正则屈服面上的加载准则与理想塑性材料类似，硬化材料在正则点上同上，在非正则点上，加载准则如下：9§4.3

塑性共设一、Drucker公设

1.稳定材料与不稳定材料若，称为稳定材料；若，称不稳定材料。显然，硬化材料和理想塑性材料为稳定材料，软化材料属于不稳定材料。10§4.3

塑性共设一、Drucker公设

2.公设的涵义德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材料的质点(试件)，借助于一个外部作用，在其原有应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。

即：

(1)

(a=0.5~1.0)(1)式说明塑性功不可逆，它被塑性变形吸收。11一、Drucker公设

2.公设的涵义由式(1)可导出两个重要不等式。当时，由于d

ij是无穷小量可以忽略，则得:

当时，有：（3）12二、Drucker公设的推论

1.屈服面处处外凸参见左图，式(2)可写成，由于永远在T切线的垂直方向，要使该式成立，A点必须在T的另一侧，因为该式要求AB和的夹角。即加载面φ必须外凸。如果加载面内凹，如右图，则会使。13二、Drucker公设的推论

2.d

p

的正交性参见下图（反证法）：如果不与重合，就一定可以找到一点A，使得，故而必为的梯度方向，即与加载面正交。可用下式表示：称为塑性因子，它反映的绝对值大小，是个标量。14二、Drucker公设的推论

3.d

p

与d

ij的线性相关性式（4）说明，塑性应变各分量之间的比例或大小与d

有关。而或d

的大小又是由应力增量d

ij而产生的。所以，可以假设，则：式中，h为硬化模量或硬化函数，取决于

ij

、

ij在加载面

上的位置，而与d

ij无关。（5）式说明d

p

与d

ij的线性相关。15三、伊留辛（Ильющин）塑性公设

德鲁克公设只适用稳定材料，而伊留辛提出的“塑性公设”可同时适用于稳定和不稳定材料。伊留辛公设可陈述为：在弹塑性材料的一个应变循环内，外部作用做功是非负的，如果做功是正的，表示有塑性变形，如果做功为零，只有弹性变形发生。写成公式为：同德鲁克公设类似，有：16§4.4

流动法则

与弹性理论不同，塑性应变增量方向一般与应力增量方向不一致。因此，塑性增量理论的一个重要内容就是如何确定塑性应变增量方向或塑性流动方向。由前述可知，的方向为φ的梯度方向，但这不是唯一确定方向的。一、塑性位势理论

1928年，米赛斯将弹性势概念推广到塑性理论中，假设对于塑性流动状态，也存在着类同弹性势函数的某种塑性势函数Q(

ij)，其塑性流动方向与塑性势函数Q的梯度或外法线方向一致，这就是传统塑性位势理论。17一、塑性位势理论米赛斯认为，Q是应力或应力不变量的函数，即：

设塑性流动方向即是塑性势函数Q的梯度方向，有：按照这种塑性流动方向的理论，称为正交流动法则。若Q＝

，由此所得的塑性应力－应变关系通常称为与加载条件相关联的流动法则。由于屈服面与塑性应变增量正交，也称正交流动法则。如果Q

，即屈服面与塑性应变增量不正交，则其相应的塑性应力－应变关系称为非关联流动法则。18二、流动法则的分解塑性应变增量可分解为与，因而流动法则也可相应分解成两部分。设Q与无关，即：而故19二、流动法则的分解由于而所以式（1）和（2）表明，塑性应变增量可分解为体积塑性应变增量和剪切塑性应变增量。若Q与无关，类似的可得：20三、相关联流动法则的具体分解

1.与D-P准则相关联的流动法则

则这说明与D-P准则相关联流动时将产生塑性体积应变，负号表示剪胀。21三、相关联流动法则的具体分解

2.与C-M准则相关联的流动法则

则实际应用中，没有这么大，故对C-M准则采用不相关联流动法则，即，一般认为Q与f形式相似，仅将改为，称剪胀角，。只要适当调整的大小，即可满足实测结果。22§4.5

硬化规律

硬化材料在加载过程中，随着加载应力及加载路径的变化，加载面的形状、大小、加载面中心的位置以及加载面的主方向都可能发生变化。加载面在应力空间中的位置、大小、形状的变化规律称为硬化规律。而把确定加载面依据哪些具体的硬化参量而产生硬化的规律称为硬化定律。对于复杂应力状态来说，目前的实验资料还不足以完整地确定加载面的变化规律，因而需要对加载面的运动与变化规律做一些假设，所以也把硬化规律称为硬化模型。23§4.5

硬化规律一、常用的硬化规律为了使问题简化，一般假设加载面在主应力空间内不发生转动，即主应力方向保持不变；同时还假设加载面的形状保持不变。

1.等向硬化——加载面在应力空间内只做形状相似的扩大(硬化)或缩小(软化)，也称各向同性硬化或软化。

H为硬化系数。

模型简单，没有包氏效应。24§4.5

硬化规律一、常用的硬化规律

2.运动硬化——加载面在应力空间内作形状与大小不变的平移运动，也称为随动硬化。

H0为硬化常量，为移动应力张量。

适用于周期性加载条件下的动力塑性模型，考虑了包氏效应，但有所夸大。25§4.5

硬化规律一、常用的硬化规律

3.混合硬化——加载面在应力空间同时发生形状相似的大小变化与平移运动。

H0为硬化系数，为移动应力张量。

适用于周期性及随机动力加载情况，应用范围较广。26§4.5

硬化规律二、硬化模量与硬化定律从广义上来说，硬化定律是确定给定的应力增量条件下会引起多大塑性应变的一条准则，也是确定从某个屈服面如何进入后继屈服面的一条准则。也就是说，它是如何来确定塑性因子d

值的一条准则。在德鲁克公设中我们已经假设：则：式中：h和A都称硬化模量，两者呈倒数关系。

27二、硬化模量与硬化定律当已知加载面时，求d

值的关键问题是建立h或A的表达式，这种表达式与硬化参量有关，通常就把引用何种硬化参量来建立h或A表达式，称为某硬化参量的硬化定律。我们研究一般情况，设混合硬化的加载函数为：当应力增加d

ij之后，加载面扩大，相应的加载函数为由于加载d

ij之后，应力点仍保持在扩大后的加载面上，因此得到硬化(或软化)材料的相容性条件或一致性条件：28二、硬化模量与硬化定律一般假设，都是的函数，即