2023年江西省南昌市东湖区南昌高考数学三模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合人=国|x>0},B={xIx2-x+b=0},若AcB={3},则8=（）

A.-6B.6C.5D.-5

2.设集合A={x|x>0},5={x|log2（3x-l）<2},则（）.

A.=f0,1]B.=

c.AuB=[-,+00D.AUB=(0,+oo)

3.设全集U=R,集合/={x|x<l},N={x|x>2},则&M)cN=()

A.{x|x>2}B.C.{x[l<x<2}D.{x|x>2)

4.已知加，〃是两条不重合的直线，夕，£是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）

A.若m〃a,aH,则加〃£或mu£

B.若加〃〃，m//a,n^ta,则"〃a

C.若〃?_!_〃，mLa,nl./3,则aJ•尸

D.若m1.n,m1.a,则〃〃a

，x+y-2W0

12x-y+3>0

5.设实数0满足条件I贝h+v+/的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

6.已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，函数/(x)满足/(幻=/(X+4),且Xe(0,1]时，/(x)=log2(x+l),

则〃2018)+/(2019)=()

A.2B.-2C.1D.-1

/7

7.如图所示，正方体ABCD-43C1"的棱长为1,线段为人上有两个动点E、F且EF=注，则下列结论中错误的

是（）

A.ACA.BEB.EF//ABCD

C.三棱锥A-8EF的体积为定值D.异面直线4E,5尸所成的角为定值

22

若入为讨椭圆"）'一中心的核.

OQ•44r\.DA八/AXTrH四十1一■1TU,口JJA，耳为椭圆的焦点，贝必片A3面积的最大值为（)

16925

A.20B.30C.50D.60

[xVaxr2M匕）

9.已知函数外+：■。有三个不同的零点勺叫为（其中勺＜\?＜勺），』的值为（）

A.1B.~1C.aD・_Q

10.已知三棱锥P-ABC中，AABC是等边三角形，A3=4AQ,PA=PC=275,PA±BC,则三棱锥尸一ABC的

外接球的表面积为（）

A.254B.757rC.80乃D.100zr

11.在菱形ABC。中，AC=4,BD=2,E,尸分别为A3,的中点，则。足。尸=（）

12.执行如图所示的程序框图，若输出的值为8,则框图中①处可以填（).

A.S>7?B.S>21?C.S>28?D.5>36?

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=4,E是AD的中点，将AWE,ACDE分别沿BE,CE折起，使得

平面ABE±平面BCE,平面CDE±平面BCE,则所得几何体ABCDE的外接球的体积为,

14.函数/(力="一，7-42%-1|在(0,1)内有两个零点，则实数人的取值范围是.

15.根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问

题.现有AABC满足“勾3股4弦5”，其中“股"AB=4,D为“弦”BC上一点(不含端点)，且满足勾股定理,

则向_叫而=.

16.在各项均为正数的等比数列｛4｝中，4=2,且2%%，34成等差数列，则勺=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=ln(ox)-

(1)若函数〃(x)=e"(x)在(0,+8)上单调递增，求实数。的值;

(2)定义：若直线/：丁=履+人与曲线£：E(x,y)=O、。2：/2(匕y)=0都相切，我们称直线/为曲线G、G的公

切线，证明：曲线/(x)=ln(G：)-a,(a>0)与g(x)=ae，,(a>0)总存在公切线.

18.(12分)如图，ABC。是正方形，点P在以8c为直径的半圆弧上(尸不与8,C重合)，E为线段8c的中点,

现将正方形ABC。沿8c折起，使得平面ABC0J_平面8CP.

(1)证明：BP_L平面0cp.

(2)三棱锥。―3PC的体积最大时，求二面角8—PD—E的余弦值.

19.(12分)图1是由矩形AOE8,RtA45c和菱形8FGC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°,

将其沿A5,BC折起使得BE与8尸重合，连结OG,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面A5CJ_平面5CGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

20.(12分)如图，在三棱柱ABC—A4G中，△ABC是边长为2的等边三角形，BC±BB,,CC『丘,AC、=屈.

(1)证明：平面ABC_L平面B3CC；

(2)M,N分别是8C,4G的中点，P是线段AG上的动点，若二面角P—MN—C的平面角的大小为30。，试

确定点P的位置.

22

21.(12分)已知椭圆C：J+方=1(。＞方＞0)的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线x+y-3&=0垂直,

垂足为B,且点A是线段BF的中点.

(I)求椭圆C的方程；

(H)若M,N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线％=4交于点

Q,且丽京•而=9,求点P的坐标.

22.(10分)设函数/(x)=ox(2+cosx)—sinx,/'(x)是函数f(x)的导数.

(1)若4=1,上没有零点;

(2)在XG(O,+8)上/(x)>0恒成立，求。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

由AcB={3},得3eB,代入集合B即可得从

【详解】

•.•AcB={3},二3€3,.•.9—3+匕=0,即：b=-6,

故选：A

【点睛】

本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.

2.D

【解析】

根据题意，求出集合A,进而求出集合AU8和AA8,分析选项即可得到答案.

【详解】

根据题意，3={x|log2(3x-l)<2}=卜|；<x<g}

则AUB=(O,+8),ACB=C

故选：D

【点睛】

此题考查集合的交并集运算，属于简单题目，

3.A

【解析】

先求出6用，再与集合N求交集.

【详解】

由已知，又已={川%＞2},所以aMcN={x|无＞2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.

4.D

【解析】

根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断a,夕所成的二面角为

90°;D中有可能"ua,即得解.

【详解】

选项A：若机〃a,aH0,根据线面平行和面面平行的性质，有机〃/或mu£,故A正确；

选项B：若加〃〃，mHa,nga,由线面平行的判定定理，有〃〃a,故B正确；

选项C：若加_L〃，加，。，U/3,故a,£所成的二面角为90°,则C，，故C正确；

选项D,若/"J_〃，mX.a＞有可能〃ua,故D不正确.

故选：D

【点睛】

本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.

5.C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

z=x+y+J,即y=-x+z",z表示直线在j轴的截距加上1,

-1'

xe-T,/

根据图像知，当x+y=2时，且LJJ时，z=x+y+/有最大值为3.

故选：c.

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

6.D

【解析】

/(x)=/(x+4)说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值.

【详解】

由f(x)=/(x+4)知函数/(x)的周期为4,又是奇函数，

/(2)=/(-2),又/(—2)=—/(2),.•./(2)=0,

.•./(2018)+/(2019)=/(2)+/(3)=0+/(-1)=0-/(1)=-1.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础.

7.D

【解析】

A.通过线面的垂直关系可证真假；B.根据线面平行可证真假；C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D.根

据列举特殊情况可证真假.

【详解】

A.因为AC_L62AC，r>〃，OqnBO=。，所以AC,平面8。。的，

又因为BEu平面BDQB一所以ACL8E,故正确；

B.因为DKJ/DB,所以EF//DB,且所《平面ABC。，DBu平面ABCD,

所以斤//平面ABCD,故正确；

C.因为久/^=3*后/^8用=号为定值，A到平面8。24的距离为〃=34。=1,

所以匕­=7,S.BEF'h」为定值，故正确;

D.当AGnqR=E,ACr^BD=G,取尸为生，如下图所示:

因为BFI/EG,所以异面直线所成角为NAEG,

且tanZA£G=—==—>

GE12

当4。10与。=/，ACoBD^G,取£为A，如下图所示:

因为DF//GB,D\F=GB,所以四边形2G6尸是平行四边形，所以BF//QG,

亚

tv_AG_30

所以异面直线AE,BF所成角为ZAEG,且5乙包口一五一I一7，

3+国2

由此可知：异面直线AE,B/所成角不是定值，故错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度

较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.

8.D

【解析】

先设A点的坐标为(x，y),根据对称性可得8(-x,-y),在表示出AEAB面积，由图象遏制，当点4在椭圆的顶点时,

此时A£A8面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.

【详解】

由题意，设A点的坐标为(x,y),根据对称性可得B(-x,-y),

则△耳A8的面积为S=1x|0F|x|2y|=c|y|,

当3最大时，△耳43的面积最大，

由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大，

r2v2

又由」一+?-=1,可得椭圆的上下顶点坐标为(0,-5),(0,5),

16925

所以的面积的最大值为s=c〃=JT^^x5=60.

故选：D.

X

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化

归与转化思想的应用.

9.A

【解析】

Kx/x竺ax

令构造二，要使函数〃短=[:1+；-。有三个不同的零点勺4?七（其中勺<丫2<*3）,贝！J方程/+=0

需要有两个不同的根。，。，贝！1/=J+4a>0，解得“>0或。<-4，结合g（x）=q的图象，并分a>。，a<-4两个情况分

e

类讨论，可求出/-?1-

【详解】

XX>1-X,,

令：=/,构造g/x）=—,求导得名㈤=—,当X<■/时，g（x）>0；当x>/时，g（x）<0>

eee

故gO在（・oo,/）上单调递增，在Q,+8）上单调递减，且x<0时，gO<0,》>0时，g（x）>09g附]1ax=g（〃=-，可画

fx\2ax

出函数gX的图象（见下图），要使函数仆+.・。有三个不同的零点勺，小为（其中,<与<弋），则方程

\e]e

fat-a-0需要有两个不同的根，“2（其中。<。），则/=+4。>0,解得a>0或a<.4,且‘.

’2

(tj+t2=-a<0j

若a>0,即卜=_q<0,则f/<0y,则,<0<x2<1<x3,且g(±)=g63)=t2,

7

/-W=0-，J.-以=I-0+Q+勿力一=(/+a-a)'=1,

e7\.e/

%+%=・。＞4]2___

・9

若a＜4,即/。＞4，由于gC]11ax=g(l)=~故//+＜-V4，故。＜-4不符合题意，舍去.

解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.

10.D

【解析】

根据底面为等边三角形，取BC中点可证明8C,平面PV0,从而BC工PM,即可证明三棱锥P-ABC为

正三棱锥.取底面等边AABC的重心为O,可求得「到平面ABC的距离，画出几何关系，设球心为。，即可由球的性

质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.

【详解】

设M为8c中点，AABC是等边三角形,

所以

又因为Q4_L3C,且PAnAM=A,

所以3C_L平面则

由三线合一性质可知PB=PA=PC,

所以三棱锥P—ABC为正三棱锥，AB=45PA=PB=PC=245.

设底面等边AABC的重心为0',

可得AO，=]AM=§x6=4,po,7P储—AO?=,20-16=2,

所以三棱锥P-ABC的外接球球心在面ABC下方，设为。，如下图所示:

由球的性质可知，PO_L平面A8C,且尸,0,0在同一直线上，设球的半径为

在RfAAO。中，AO2=AO'2+OO'2>

即/?2=16+(/?-2『,

解得R=5,

所以三棱锥P-ABC的外接球表面积为S==4〃x25=100%，

故选：D.

【点睛】

本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高,

属于中档题.

11.B

【解析】

据题意以菱形对角线交点。为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出万反而，再根据坐标形式下向量的数量

积运算计算出结果.

【详解】

设AC与交于点。，以。为原点，丽的方向为x轴，瓦的方向为》轴，建立直角坐标系,

44

故选：B.

【点睛】

本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直

接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.

12.C

【解析】

根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.

【详解】

第一次循环：S=O,i=\

第二次循环：S=l,i=2

第三次循环：S=3,i=3

第四次循环：S=6,i=4

第五次循环：S=10,i=5

第六次循环：S=15,i=6

第七次循环：S=21,i=7

第八次循环：S=28,1=8

所以框图中①处填S»28?时，满足输出的值为8.

故选：C

【点睛】

此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

32

13.—71

3

【解析】

根据题意，画出空间几何体，设BE,EC,8C的中点分别为"，N,O,并连接

AM,CM,AO,DN,NO,DO,OE,利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体回COE的外接球的球

心为。，即可求得其外接球的体积.

【详解】

由题可得△ABE,ACDE,△3EC均为等腰直角三角形，如图所示，

设BE,EC,的中点分别为M,N,O,

连接CM,AO,DN,NO,DO,OE,

则OM_LBE,ONLCE.

因为平面ABE±平面BCE,平面CDE±平面BCE,

所以OMJ"平面ME,ON，平面DEC,

易得OA=OB=OC=OD=OE=2,

则几何体43CDE的外接球的球心为。，半径R=2,

432

所以几何体ABCDE的外接球的体积为V=-万/?3=-%.

33

32

故答案为：丁.

【点睛】

本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法,

属于中档题.

14.

【解析】

i(11)1111

设.二无一,，^elI,设g«)=e5+'_e5T,函数为奇函数，g，«)=/+'+/-'>0,函数单调递增,

g'(0)=2血<2«-1),画出简图，如图所示，根据2&<W<2(e—1),解得答案.

【详解】

f(x)=ex-e}-x-h\2x-\\=e'-e'-x-2bx-^、.1E1

设---ft€,则1=，+—・

22

iiii

原函数等价于函数y=I'_/一'_2硼，即=2刚有两个解.

1111

设g(f)=e理-4,则g(T)=e『_e丁=_g(f)，函数为奇函数•

g3=e%'+B>0,函数单调递增,g(0)=°,g]£|=e-1,g1

当。=0时，易知不成立；

当匕>0时，根据对称性，考虑x20时的情况，g,(0)=2^<2(e-l),

画出简图，如图所示，根据图像知：故2&<2。<2,-1),即五<b<e—1,

根据对称性知：0e(l-e,-&)U(&,e-l).

故答案为：(l-e,-&)U(Q,e-l).

本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.

144

15.——

25

【解析】

先由等面积法求得AD,利用向量几何意义求解即可.

【详解】

3x412

由等面积法可得AO=每一=不，依题意可得，AD1BC,

所以（而-可.而=而.诟=|诟卜唱.

144

故答案为：—

25

【点睛】

本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.

16.2"

【解析】

利用等差中项的性质和等比数列通项公式得到关于q的方程，解方程求出q代入等比数列通项公式即可.

【详解】

因为2%%,3%成等差数列,

所以2a3=2q+34,

由等比数列通项公式得，

a?=qq-=2q,a2=a=2q,

所以2x2q?=2x2+6g,

解得4=2或q=_,,

因为4,>0,所以4=2,

所以等比数列｛4｝的通项公式为

%=qq"T=2x2"T=2".

故答案为：2"

【点睛】

本题考查等差中项的性质和等比数列通项公式；考查运算求解能力和知识综合运用能力；熟练掌握等差中项和等比数

列通项公式是求解本题的关键；属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)a=1；(2)见解析.

【解析】

(1)求出导数，问题转化为"(x)..O在(0,+8)上恒成立，利用导数求出°(x)=ln(⑪)+的最小值即可求解；

x

(2)分别设切点横坐标为不々,利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足

'X1

ae2=—

V玉有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.

X1X2

\n(axl)-a-l=ae-ax2e

【详解】

v

(1),/h(x)=efln(ax)-a],x>09

/f(x)=e'[ln(ax)+'-Q]

x

函数h(x)在(0,+a))上单调递增等价于"(x)..0在(0,+8)上恒成立.

令0(x)=ln(ax)+L-a,得0(x)=工一-T=~2~9

xxx~x~

所以。(幻在(0,1)单调递减，在(1,行)单调递增，则以袱1nhi⑴.

因为e'>0，则"(x)..0在(0,+8)上恒成立等价于O(x)..0在(0,+00)上恒成立;

又•;9山=0,

a

。(，)=。⑴=0,

a

所以工=1,即“=1.

a

(2)设/(x)=ln(ar)-4(〃>())的切点横坐标为》=芯，则/'(玉)=一

切线方程为y-ln(aX|)+a='(x-X|)...①

设g(x)=ae\(a>())的切点横坐标为方=々，则g'(>2)=ae*，

2

切线方程为y-ae*2-ae'(x-x2)....②

*1

ae2=—

若存在与々，使①②成为同一条直线，则曲线/(X)与g(x)存在公切线，由①②得玉消

22

比仅玉)一a-1=ae'-ax2e'

去再得一X)—Cl_1—Q*"-2

2升+1

即二1=*

ax24-1尤2+1

令心)=则"幻=毛：；)2里>0

所以，函数y=«x)在区间(0,+o。)上单调递增,

⑴虫2)<0.-.Bx0e(l,2),使得f«)=0

AXG(%,+00)时总有t(X)>t(XQ)=0

又.•.JV+oo时，心)一>+00

-="(0二1在(0,+a))上总有解

ax+l

综上，函数f(x)=In(奴)-a,(a>0)与g(x)=aex,(a>0)总存在公切线.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数的几何意义，利用导数证明方程有解，属于难题.

18.(1)见解析(2)叵

5

【解析】

(1)利用面面垂直的性质定理证得CD_L平面8PC,由此证得根据圆的几何性质证得BP,PC,由此

证得BP±平面DCP.

(2)判断出三棱锥O-3PC的体积最大时P点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面和平面EPZ)的法向量,

计算出二面角3—QD—E的余弦值.

【详解】

(1)证明：因为平面A3CD_L平面8PC,A8CD是正方形，

所以£>C_L平面8PC.

因为BPu平面BPC,所以QC_L3P.

因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP_LPC.

又DCcPC=C,所以成，平面。CP.

(2)解：显然，当点P位于8c的中点时，ABCP的面积最大，三棱锥O-的体积也最大.

不妨设3c=2,记中点为G,

以£为原点，分别以E及而，的的方向为x轴、>'轴、z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,

则£(0,0,0),5(1,0,0),0(-1,0,2),P(0,1,0),BD=(-2,0,2),ED=(-1,0,2),PD=(-1,-1,2)

设平面BDP的法向量为比=(百,y,zj,

BD-m--2x,+2z,=0,,_

则〈—1'令%=1,得比=(1,1,1).

PZ).沅=_X1_y+2Z]=0,

设平面£>£尸的法向量为五=(%,%,Z2),

ED-n=-x,+2z,=0,八八/八，

则_22令々=2,得万=(2,0,1),

PS-n--x2-y2+2z2=0,

m-n2+1V15

所以COS〈泣行〉=

\fh\\n\V5x石"V

由图可知，二面角3-PD—E为锐角，故二面角3-PD-石的余弦值为史.

5

本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

19.⑴见详解；(2)30.

【解析】

(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABE。，和菱形BFGC内部的夹角，所以4D//BE,BF//CG依然成立,

又因£和尸粘在一起，所以得证.因为A3是平面BCGE垂线，所以易证.(2)在图中找到6-CG-A对应的平面角，

再求此平面角即可.于是考虑B关于GC的垂线，发现此垂足与A的连线也垂直于CG.按照此思路即证.

【详解】

(1)证：•••AO/ABE,BE//CG,又因为£和尸粘在一起.

AD//CG,A,C,G,D四点共面.

.•.A8_L平面BCGE,「ABu平面ABC,...平面ABC,平面BCGE,得证.

(2)过B作B"_LGC延长线于H,连结AH,因为AB_L平面BCGE,所以ABJ_GC

而又，GC,故GC，平面,所以AH，GC.又因为，GC所以是二面角B-CG-A的平面角,

而在ABHC中NBHC=90，又因为NFBC=60故NBCH=60,所以BH=BCsin60=6.

而在.ABH中ZABH=90,tanZBHA=—=-^==—,即二面角B-CG-A的度数为30。.

BHC3

【点睛】

很新颖的立体几何考题.首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的.再者粘合后的多面体不是

直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法.最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查

考生的空间想象能力.

(33x7?5

20.(1)证明见解析；(2)尸为线段AC上靠近G点的四等分点，且坐标为P一丁丁，彳

\/

【解析】

(1)先通过线面垂直的判定定理证明CGJ■平面ABC,再根据面面垂直的判定定理即可证明；

(2)分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角尸--。的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系,

即可计算出产的坐标从而位置可确定.

【详解】

(1)证明：因为AC=2,CC\=6,ACt=y[6,

2

所以AC+CC；=AC；,即AC，CCt.

又因为8CJ.881,BBJ/CC,,所以

ACDBC=C,所以CGJ•平面ABC.

因为CGu平面BB©C,所以平面ABC，平面BB©C.

(2)解：连接AM，因为A3=AC=2,M是8C的中点，所以4W_L3C.

由(1)知，平面ABC_L平面68℃，所以AM,平面BBCC.

以M为原点建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,

则平面6gC。的一个法向量是虎=9,0,1),A(0,0,百)，N(0,6,0),Ct(-1,72,0).

设方=//(0＜。＜1),P(x,y,z),

AP=(x,y,z-＞/3)»AC]=(-1,^2,—V3)»

代入上式得x=T,y=42t,z=V3(l-r),所以P(T,瓜6一5).

设平面MN尸的一个法向量为方=(%，x，zj,WV=(0,72,0),丽=(T,",6—J§r),

n-MN=0,何=0

由，无砺=0,得'

—tx^+\p2,ty^+yjlt(1—?)Z1=0

令Z=f,得3=(石一①,0").

因为二面角尸-MN-C的平面角的大小为30°，

t5/33

即I产r=~V解得t="

所以磊473(l-z)2+r2

所以点p为线段AG上靠近G点的四等分点，且坐标为p[T苧手

【点睛】

本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.(1)证明面面垂直，可通过先证明线面

垂直，再证明面面垂直；(2)二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.

22

21.(I)—I—=1.

42

(IDP(l,

【解析】

(I)写出AF坐标，利用直线AE与直线x+y-3夜=0垂直，得到力=c.求出B点的坐标代入x+y-3&=0,

可得到仇c的一个关系式，由此求得反c和。的值，进而求得椭圆方程.(II)设出尸点的坐标，由此写出直线的

方程，从而求得。点的坐标，代入丽•而=9,化简可求得P点的坐标.

【详解】

(I)•.•椭圆的左焦点尸(—C,0),上顶点A(0,。)，直线AF与直线x+y-3g'=()垂直

b

二直线AF的斜率Z=—=1,即/?=c①

c

又点A是线段BF的中点

...点8的坐标为B(c,4)

又点8在直线x+y-30=()上

c+2b-3y[2=0②

二由①②得：b=c=V2

a2—4

22

...椭圆C的方程为土+二=1.

42

（II）设2（毛,%），（面>°，为>°）

由（D易得顶点M、N的坐标为M（—2,0）,N（2,0）

直线M尸的方程是：y=」^（x+2）

玉）+，

y=—^—(x+2)(6y

由.%+2')得：Q4,4

x=4IM

22

又点尸在椭圆上，故工+工=1

42

、

6%%+2)+需="等"

：.MP-NQ=(x+2,y)-2,

0()*o+2,

.•.%=1或_2(舍)

•••%=等，(%>0)

.•.点P的坐标为P

【点睛】

本小题主要考查直线和圆锥曲线