2023年黑龙江省哈尔滨十高三最后一卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.+的展开式中的常数项为()

1X)

A.-60B.240C.-80D.180

2.已知函数/(x)=ln(x+l)—G：,若曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=2x,则实数。的取值为()

A.-2B.-1C.1D.2

(»\

3.函数y=sin1一3-ln|九|图像可能是()

A.——\——~——►B.—。—►C.

J_____o.\yA\;

4.2021年某省将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政

治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响则甲同学同时选择历史和化学的概率为

111D.1

A.-B.-C.一

8462

5.已知命题%2>0,则力是()

2

A.VxeR,%<0B.3x0eR,x1<0.

2

C.3x0GR,>0D.Vx^R,x<0.

6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成,

则该几何体的体积为（）

△△

正视图州视国

他视用

Q4#）兀Q2△兀4疯r.86乃

AA.8+-------B.8+-------C.4+-------D.4+-------

3333

7.已知整数X，〉'满足x2+y2<］（）,记点用的坐标为（x,y）,则点/满足x+yN出的概率为（）

.965

A.—B.—C.—

353537

8.已知复数二满足|z|=l,则|z+2M的最大值为（）

A.2+3B.1+V5c.2+V5D.6

9.下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（）

A.正方体B.球体

C.圆锥D.长宽高互不相等的长方体

10.如图，在AABC中，点A/,N分别为C4,C8的中点，若AB=逐，CB=\,且满足3而•荻=+国之，

则而等于（）

/-28

A.2B.J5C.-D.-

33

11.在四面体P—ABC中，AABC为正三角形，边长为6,PA=6,PB=S,PC=1O,则四面体P—ABC的体

积为（）

A.8而B.8V1OC.24D.1673

（X—1）3X<1

12.已知函数,f（x）="一，若则下列不等关系正确的是（）

Inx,x>1

11

A.―：——<-：—B.ifa>>/b

tr+1b~+\

C.a2<abD.In.+1)>ln(02+1)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，，面ABCD,PA=AB=4,E,F,H分别是棱PB,BC,PD的

中点，过瓦E"的平面交棱CD于点G,则四边形跳6〃面积为.

14.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果

把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成种不

同的音序.

15.如图，在AA8C中，BC=2,AB=衣,NACB=——，点E在边AB上,且NACE=NBCE,将射线CB

3

绕着C逆时针方向旋转B，并在所得射线上取一点。，使得CD=g-1，连接。E，则ACDE的面积为.

16.函数,/'(%)=%85》+5山》在》="处的切线方程是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(12分)在直角坐标系尤作中，曲线。的标准方程为二+犬=1.以原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立

4

极坐标系，直线/的极坐标方程为恁sin］。+?J=3百.

(1)求直线/的直角坐标方程；

(2)若点p在曲线C上，点。在直线/上，求IPQI的最小值.

18.（12分）如图，在四棱锥中，PA_L平面ABC。，ADLAB,AB//CD,AB=AD=AP=-CD=2,

2

E为PC的中点.

p

（1）求证：BE1平面PCQ；

（2）求二面角A—依—C的余弦值.

19.（12分）如图，在ZVLBC中，AB>BC,ZABC=\2Q（\AB=3,N/LBC的角平分线与AC交于点。，BD=1.

（I）求sinA；

（H）求A5CD的面积.

20.（12分）已知函数〃x）=e'（x—1）—a<0.

（1）求曲线y=/（x）在点（O,/（O））处的切线方程；

（2）求函数“X）的极小值；

⑶求函数/（力的零点个数.

21.（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公

司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：

甲公司员工A：410,390,330,360,320,400,330,340,370,350

乙公司员工8：360,420,370,360,420,340,440,370,360,420

每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内（含350

件）的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.

（1）根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快件个数的平均数和众数；

（2）为了解乙公司员工8每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为自（单位：元）,

求J的分布列和数学期望;

（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.

22

22.（10分）已知椭圆C：5+/=l（a>b>0）的两个焦点是E，F2,M（夜,1）在椭圆C上，且制+|叫|=4,

。为坐标原点，直线/与直线平行，且与椭圆交于A,3两点.连接M4、A的与x轴交于点。，E.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：|加可为定值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

6（9、6

求(/_])石+2I的展开式中的常数项，可转化为求展开式中的常数项和4项，再求和即可得出答案.

X7X

【详解】

由题意，（4+2］中常数项为c；

㈤=60,

IX）

4

240二,

项为=

£

/八'6

所以(V—1)«+工I的展开式中的常数项为:

X3x240-^-1x60=180.

X

故选：D

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.

2.B

【解析】

求出函数的导数，利用切线方程通过/（0）,求解即可;

【详解】

f(x)的定义域为(-1,+00),

因为尸(X)=~---a,曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,

x+1

可得1-a=2,解得a=-1,

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力.

3.D

【解析】

先判断函数的奇偶性可排除选项4G当xf0一时，可分析函数值为正，即可判断选项.

【详解】

(

•：y=sinx-yj-ln|x|=-cosxln|x|,

-cos(—%)In|—x|=—cosxIn|x|,

即函数为偶函数，

故排除选项A,C,

当正数x越来越小，趋近于0时，-cosx<0,ln|x|<0,

所以函数丁=5祖［％—、)ln|x|>0,故排除选项8,

故选：D

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.

4.B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有C；C：=12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有熄=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率P=3=：，

124

故选B.

5.B

【解析】

根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.

【详解】

根据全称命题的否定为特称命题，可得「pT/eR,x(；<0

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.

6.A

【解析】

由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为2石底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一

个底面半径为2的半个圆锥，体积为V=1XY3X42X2G+LX1》X4X2G=8+1Z

34233

故答案为A.

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，

其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几

何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面

的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

7.D

【解析】

列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.

【详解】

因为％)'是整数，所以所有满足条件的点M(x,y)是位于圆/+y2=]0(含边界)内的整数点，满足条件x2+/<10

的整数点有(0,0),(0,±1),(0,±2),(0,±3),(±1,0),

(±2,0),(±3,0),(±1,±1),(±2,±1),(±3,±1),(±1,±2),(±2,±2),(±1,±3)37个，

7

满足的整数点有7个，则所求概率为万.

故选：D.

【点睛】

本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.

8.B

【解析】

22

设z=a+>i,a,》eR,\z+2-i\=^a+2)+(h-l)，利用复数几何意义计算.

【详解】

设2=4+例,4力€??,由已知，a2+b2=1»所以点(。,6)在单位圆上，

而|z+2—i|=|(a+2)+S-l)i|=,/(«+2)2+0-1)2，J(a+2)2+(b-1旧表示点3b)

到(-2,1)的距离，i*ift|z+2-z|<7(-2)2+l2+1=1+V5.

故选：B.

【点睛】

本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|z+2-i国z|+12-i］来解决.

9.C

【解析】

根据基本几何体的三视图确定.

【详解】

正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是

全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形.

故选：C.

【点睛】

本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

10.D

【解析】

选取丽，前为基底，其他向量都用基底表示后进行运算.

【详解】

由题意G是AABC的重心，

3AGMB=3x^AN(-^BM)=-2(BN-BA)~(BC+^A)=(BA-^BCy(BC+BA)

---212111

=BA——BC+-BABC=5——+-BABC

2222

CA+CB=(BA-BC)2+l=BA"-IBA-'BC+BC2+l=^5-2BABC+l+\，

a1-------------------------------------------------

:.—I—BA，BC-7—2BA，BC,BA,BC-1，

22

2--------21----———21----)3----——22138

：.AG.AC=-ANAC=-(-BC-BA)-(BC-BA)=-(-BC'--BCBA+BA)=-(---+5)=-,

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明

确，易于操作.

11.A

【解析】

推导出P8_L8C,分别取BC,PC的中点。,E,连结AO,AE,OE,则A。，BC,AE_LPC,OE_L8C,推导出

AELDE，从而让J_平面尸BC,进而四面体P—ABC的体积为/_"c=%TBc=g-S“Bc-AE，由此能求出结果.

【详解】

解：•••在四面体P-ABC中，AABC为等边三角形，边长为6,

B4=6,PB=8,PC=10,

PB1+BC2=PC2,

：.PBA.BC,

分别取BC,PC的中点RE,连结ARAE,DE,

则AD±BC,AE±PC,DELBC,

且4。=^^=3百，DE=4,4七=，36-25=而，

AE2+DE2=AD2>

:.AE±DE,

­■PCp\DE^E,PCu平面P8C,DEu平面P8C,

•••AKI平面P3C,

四面体尸―ABC的体积为：

^P-ABC=匕-P8C=2,S、PBC'AE

=-xlxPBxBCxAE=-xlx8x6xVH=8Vn.

3232

故答案为：8日.

【点睛】

本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.

12.B

【解析】

利用函数的单调性得到a力的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.

【详解】

•••/(X)在R上单调递增，且八

Tab的符号无法判断，故/与/与‘方的大小不确定，

对A,当时，-y1—=-^,故A错误；

对C,当a=l,b=-l时，/=l,ab=-l,故C错误；

对D,当a=l力=-1时，ln(«2+l)=ln(^2+l),故D错误；

对B,对a＞。，贝!)妫〉孤，故5正确.

故选:B.

【点睛】

本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算

求解能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.476

【解析】

设G是CD中点，由于E,F,H分别是棱PB,BC,PD的中点，所以EF//PC,EF=-PC,HG//PC,HG=-PC,

22

所以EF//HG,EF="G,所以四边形EFGH是平行四边形.由于PA_L平面ABCD，所以Q4，,而BO_LAC,

PAAAC=A,所以3。J_平面PAC,所以BOJ_PC.由于EG//BO,所以BG_LPC,也即EG_LEV,所以四

边形AFG”是矩形.

而EF==PC=2区FG=LBD=2&

22

从而SEFGH=2^3x2V2=4底.

故答案为：4\/6.

H

【点睛】

本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

14.1

【解析】

按照“角”的位置分类，分“角”在两端,在中间，以及在第二个或第四个位置上，即可求出.

【详解】

①若“角”在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有2x3x&x&=24种；

②若“角”在中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；

③若“角”在第二个或第四个位置上，则有2A；#=8种；

综上，共有24+8=32种.

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查利用排列知识解决实际问题，涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用，意在考查学生分类讨论

思想的应用和综合运用知识的能力，属于基础题.

15.3百-5

【解析】

由余弦定理求得AC=6—1,再结合正弦定理得sinNBAC=Y2,进而得5m乙4后。=5出［&+巳］=逅业^,

2（34）4

得CE=4-26,则面积可求

【详解】

由AB2=AC2+8C2-2AC8GCOSNACB,AC2+2AC-2=0,解得AC=>A-1.

,所以sinZBAC=正,71

因为———=———ZBAC=-

sinZBACsinZACB24

71兀'V6+V2

所以sinNAEC=sin(ZAC£+ABAC)-sin—+—

34；4

又因为高里=而聂’所以CE=4-26

因为NECD=NBCE+NBCD=三,所以52感=gcE-CD=36—5.

故答案为3百-5

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题

16.2x+y-7=0

【解析】

求出/(乃)和/'(乃)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

【详解】

(x)=xcosx+sinx,则/'(x)=2cosx-xsinx,.•./(〃)=一",/'(乃)=-2.

因此，函数/(x)=xcosx+sinj^x="处的切线方程是y+不=—2(x—万),

即2x+y—乃=0.

故答案为：2x+y-7r=Q.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)x+y-3行=0(2)V10

【解析】

(1)直接利用极坐标公式计算得到答案

(2)设P(2cosa,sinc),公巫亚.乎一询,根据三角函数的有界性得到答案.

V2

【详解】

(1)因为Jlpsin。+?)=3不，所以psine+pcos6-3j^=0,

因为〈.八所以直线/的直角坐标方程为x+y-3后=0.

y=0sin，，

(2)由题意可设尸(2cosa,sine),

12cosa+sina-||\/5sin(a+°)-3加|

则点P到直线/的距离”

加

因为一1领hin(a+。)1,所以JR瓶"2&5,

因为IPQI.M,故IPQI的最小值为质.

【点睛】

本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.

18.(1)见解析；(2)-且

3

【解析】

(1)取尸。的中点尸，连接AF,EF，根据中位线的方法证明四边形ABEF是平行四边形.再证明AE_LP/D与CD，

从而证明AFJ_平面PCD,从而得到BE1平面PC。即可.

(2)以AD,AB,AP所在的直线为x,%z轴建立空间直角坐标系，再求得平面CPB的法向量与平面APB的法向量进而

求得二面角A—依—C的余弦值即可.

【详解】

(1)证明：如图,取尸力的中点人连接AREE

又£为PC的中点，则EF是APCD的中位线.所以//8且EF=；CZ).

又AB//CD且A8=L8,所以瓦'//A3且防=45.所以四边形ABEF是平行四边形.

2

所以BE//AE.因为AD=AP,尸为PD的中点，所以

因为AD_LAB,AB//C。,所以仞LCD.因为24_L平面ABCD,所以B4_LCZ).

又ADcB4=4所以CD,平面Q4Z).所以C£>J_AF.

又P0cCD=所以AF，平面PCD.又BE//AF，所以BE1平面PCD.

(2)易知AD,AB,AP两两互相垂直，所以分别以AD,AB,AP所在的直线为％Xz轴建立如图所示的空间直角坐标

系：

因为AB=A。=AP=，。=2，所以点A(0,0,0),8(0,2,0),P(0,0,2),C(2,4,0).

2

则PB=(Q,2,-2),AP=(0,0,2),BC=(2,2,0).设平面CPB的法向量为〃=(x,y,z),

.\n-PB=(x,y,z)-(0,2,-2)=2y-2z=04a[z=y,

n-BC=(x,y,z)-(2,2,0)=2x+2^=0'[x=-y'

令V=1，得平面CPB的一个法向量为H=(-1,1,1)；显然平面APB的一个法向量为m=(1,0,0)；

设二面角A-PB-C的大小为。，则cos0=2二-==一坐.

|m||n|1x^33

故二面角A-PB-C的余弦值是—-.

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题，需要用到线线垂直与线面垂直的转换以

及法向量的求法等.属于中档题.

XKV2TZTTK3G

19.(IT)------;(11)------・

148

【解析】

试题分析：(I)在AABO中，由余弦定理得AO=S，由正弦定理得”=..匕，可得解；

sinAsmZABD

(II)由(I)可知cosA,进而得sinC,在ABCD中，由正弦定理得3C,所以ABCD的面积

S=-xBDxBCxsinZCBD即可得解.

2

试题解析：

（I）在AA8Q中，由余弦定理得

AD2=AB2+BD2-2ABxBDxcosZABD=9+\-2x3x\x-^7,

2

所以仞坨，由正弦定理得黑=事g、..BDxsinZABDV3721

,所以rsmA=-------------=

AD2s—14

（II）由（I）可知cosA=Jl-sin2A=?不.

在中，sinC=sin（120°+A）=立义工工±==叵~

'722s22«7

在ABCD中，由正弦定理得等=差，所以ABxsiM3

smCsinAsinC2

所以AJBCZ）的面积S=—xZ?£>xBCxsinZCSD=—xlx—x—=

22228

20.(1)y=-lt(2)极小值一1；(3)函数y=/(x)的零点个数为1.

【解析】

(1)求出了(())和r(o)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

(2)利用导数分析函数y=/(x)的单调性，进而可得出该函数的极小值；

(3)由当xWl时，/(x)<0以及〃2)>0,结合函数y=/(x)在区间(0,+8)上的单调性可得出函数y=/(x)的

零点个数.

【详解】

(1)因为/(x)=e*(x-l)-ge"£,所以/<x)=旄"—旄".

所以/(o)=-1,r(o)=o.

所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线为y=-1；

(2)因为/'(x)=xe*-xe"=x(e'—e"),令/，(x)=0,得x=0或x=a(a<0).

列表如下:

X(-M)a(a,0)0(0,+oo)

f'M+0—0+

/(x)极大值极小值

所以，函数y=/(x)的单调递增区间为(一8,。)和(0,+纪)，单调递减区间为(。,0),

所以，当x=0时，函数y=/(x)有极小值/(0)=-1；

(3)当时，/(x)<0,且〃2)=e2_2e">e2_2>0.

由⑵可知，函数y=/(x)在(0,+。)上单调递增，所以函数y=/(x)的零点个数为1.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属

于中等题.

21.(1)平均数为360,众数为330；(2)见详解；(3)甲公司：7020(元)，乙公司：7281(元)

【解析】

(1)将图中甲公司员工A的所有数据相加，再除以总的天数10,即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数.从

中发现330出现的次数最多，故为众数；

(2)由题意能求出自的可能取值为340,360,370,420,440,分别求出相对应的概率，由此能求出自的分布列和数

学期望；

(3)利用(1)(2)的结果，可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.

【详解】

解：(1)由题意知

甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为

-^(410+390+330+360+320+400+330+340+370+350)=360.

众数为330.

(2)设乙公司员工81天的投递件数为随机变量X,则

当X=340时，4=340x0.6=204,P(J=204)=丁

3

当X=360时,^=350x0.6+(360-350)x0.9=219,P©=219)=总

当X=370时，J=350x0.6+(370-350)x0.9=228,P(J=228)=-