深圳市重点中学2024届毕业升学考试模拟卷数学卷含解析

深圳市重点中学2024届毕业升学考试模拟卷数学卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣2﹣） B．（﹣4，﹣2+） C．（﹣2，﹣2+） D．（﹣2，﹣2﹣）2．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m3．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＜o D．a÷b＞04．设0＜k＜2，关于x的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y的最小值是（）A．2k-2B．k-1C．kD．k+15．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是()A．14°B．15°C．16°D．17°6．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%7．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（）A．10° B．15° C．20° D．25°8．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图像上一点，过点做轴于点，若的面积为2，则的值是()A．-2 B．2 C．-4 D．49．如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，E为AB上一点，AC与DE相交于点F，S△AEF=3，则S△FCD为（）A．6 B．9 C．12 D．2710．我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：几个人合伙买一件物品，每人出8元，则余3元；若每人出7元，则少4元，问几人合买？这件物品多少钱？若设有x人合买，这件物品y元，则根据题意列出的二元一次方程组为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：x2－9＝_▲．12．计算（﹣a2b）3=__．13．如图，在Rt△AOB中，直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后，得到△A′O′B，且反比例函数y＝的图象恰好经过斜边A′B的中点C，若SABO＝4，tan∠BAO＝2，则k＝_____．14．因式分解：2m2﹣8n2=．15．如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=CD，∠ADC=90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为_____．16．将多项式因式分解的结果是．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：x218．（8分）如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）请你补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角的度数；（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学担任生活监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点.已知点C的坐标是（6，-1），D（n，3）.求m的值和点D的坐标.求的值.根据图象直接写出：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？20．（8分）元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．（1）求小明选择去白鹿原游玩的概率；（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率．21．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，EA⊥AB，EC⊥BC，且EA=EC．求证：AD=CD．22．（10分）如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，-2（1）求抛物线的表达式．（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;②当S取54（3）在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；（2）求证：（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．24．请根据图中提供的信息，回答下列问题：一个水瓶与一个水杯分别是多少元？甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖．若某单位想要买5个水瓶和n（n＞10，且n为整数）个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．（必须在同一家购买）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解析】解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°后所得△A1BC1，如图所示．∵AC=2，∠ABC=10°，∴BC=4，∴AB=2，∴AD===，∴BD===1．∵点B坐标为（1，0），∴A点的坐标为（4，）．∵BD=1，∴BD1=1，∴D1坐标为（﹣2，0），∴A1坐标为（﹣2，﹣）．∵再向下平移2个单位，∴A′的坐标为（﹣2，﹣﹣2）．故选D．点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的性质是解答此题的关键．2、B【解析】

因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．【详解】解：∵sin∠CAB＝∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝，解得：B′C′＝3．故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．3、C【解析】

利用数轴先判断出a、b的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可．【详解】解：由a、b在数轴上的位置可知：a＜1，b＞1，且|a|＞|b|，∴a+b＜1，ab＜1，a﹣b＜1，a÷b＜1．故选：C．4、A【解析】

先根据0＜k＜1判断出k-1的符号，进而判断出函数的增减性，根据1≤x≤1即可得出结论．【详解】∵0＜k＜1，∴k-1＜0，∴此函数是减函数，∵1≤x≤1，∴当x=1时，y最小=1（k-1）+1=1k-1．故选A．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．5、C【解析】

依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=16°．【详解】如图，∵∠ABC=60°，∠2=44°，∴∠EBC=16°，∵BE∥CD，∴∠1=∠EBC=16°，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．6、D【解析】设第一季度的原产值为a，则第二季度的产值为，第三季度的产值为，则则第三季度的产值比第一季度的产值增长了故选D.7、A【解析】

先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．【详解】由图可得,∠CDE=40°,∠C=90°，∴∠CED=50°，又∵DE∥AF，∴∠CAF=50°，∵∠BAC=60°，∴∠BAF=60°−50°=10°，故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.8、C【解析】

根据反比例函数k的几何意义，求出k的值即可解决问题【详解】解：∵过点P作PQ⊥x轴于点Q，△OPQ的面积为2，

∴||=2，

∵k＜0，

∴k=-1．

故选：C．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9、D【解析】

先根据AE：EB=1：2得出AE：CD=1：3，再由相似三角形的判定定理得出△AEF∽△CDF，由相似三角形的性质即可得出结论.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AE：EB=1：2，∴AE：CD=1：3，∵AB∥CD，∴∠EAF=∠DCF，∵∠DFC=∠AFE，∴△AEF∽△CDF，∵S△AEF=3，∴＝＝()2，解得S△FCD=1．故选D.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.10、D【解析】

根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．【详解】由题意可得：，故选D．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、(x＋3)(x－3)【解析】

x2-9=（x+3）（x-3），故答案为（x+3）（x-3）.12、−a6b3【解析】

根据积的乘方和幂的乘方法则计算即可．【详解】原式=（﹣a2b）3=−a6b3，故答案为−a6b3.【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方，关键是掌握运算法则.13、1【解析】设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D，∵tan∠BAO=2，∴=2，∵S△ABO=•AO•BO=4，∴AO=2，BO=4，∵△ABO≌△A'O'B，∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，∴CD=A′O′=1，BD=BO′=2，∴x=BO﹣CD=4﹣1=3，y=BD=2，∴k=x·y=3×2=1．故答案为1．14、2（m+2n）（m﹣2n）．【解析】试题分析：根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数2，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．解：2m2﹣8n2，=2（m2﹣4n2），=2（m+2n）（m﹣2n）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．15、5【解析】

作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM＝a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG＝DH＝MG＝作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设CM＝a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH（AAS），可得DG＝DH＝MG＝，AG＝CH＝a＋，根据AM＝AG＋MG，列方程可得结论．，AG＝CH＝a＋，根据AM＝AG＋MG，列方程可得结论．【详解】解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，设CM＝a，∵AB＝AC，∴BC＝2CM＝2a，∵tan∠ACB＝2，∴＝2，∴AM＝2a，由勾股定理得：AC＝a，S△BDC＝BC•DH＝10，•2a•DH＝10，DH＝，∵∠DHM＝∠HMG＝∠MGD＝90°，∴四边形DHMG为矩形，∴∠HDG＝90°＝∠HDC＋∠CDG，DG＝HM，DH＝MG，∵∠ADC＝90°＝∠ADG＋∠CDG，∴∠ADG＝∠CDH，在△ADG和△CDH中，∵，∴△ADG≌△CDH（AAS），∴DG＝DH＝MG＝，AG＝CH＝a＋，∴AM＝AG＋MG，即2a＝a＋＋，a2＝20，在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，∵AD＝CD，∴2AD2＝5a2＝100，∴AD＝5或−5（舍），故答案为5．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AG＝CH是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题．16、m（m+n）（m﹣n）．【解析】试题分析：原式==m（m+n）（m﹣n）．故答案为：m（m+n）（m﹣n）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．三、解答题（共8题，共72分）17、12【解析】

这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先化简，然后再代入求值．【详解】解：原式=•﹣=﹣=﹣=，当x=1时，原式==．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.18、（1）详见解析；（2）72°；（3）3【解析】

（1）由B类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出C类型人数，即可补全条形图；（2）用360°乘以C类别人数所占比例即可得；（3）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一男一女的结果数，根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）∵抽查的总人数为：20÷40%=50（人）∴C类人数为：50-5-20-15=10（人）补全条形统计图如下：（2）“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为：10（3）设男生为A1、A2，女生为B1、B画树状图得：∴恰好抽到一男一女的情况共有12种，分别是A∴P（恰好抽到一男一女）=12【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19、（1）m=-6，点D的坐标为（-2,3）；（2）；（3）当或时，一次函数的值大于反比例函数的值.【解析】

（1）将点C的坐标（6，-1）代入即可求出m，再把D（n，3）代入反比例函数解析式求出n即可.（2）根据C（6，-1）、D（-2,3）得出直线CD的解析式，再求出直线CD与x轴和y轴的交点即可，得出OA、OB的长，再根据锐角三角函数的定义即可求得；（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．【详解】⑴把C（6，-1）代入，得.则反比例函数的解析式为，把代入，得，∴点D的坐标为（-2,3）.⑵将C（6，-1）、D（-2,3）代入，得，解得.∴一次函数的解析式为，∴点B的坐标为（0,2），点A的坐标为（4,0）.∴，在在中，∴.⑶根据函数图象可知，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有解直角三角形，待定系数法求解析式，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．20、（1）；（2）【解析】

（1）利用概率公式直接计算即可；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一个地方游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵小明准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，∴小明选择去白鹿原游玩的概率＝；（2）画树状图分析如下：两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，所以小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率＝．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．21、证明见解析【解析】

根据垂直的定义和直角三角形的全等判定，再利用全等三角形的性质解答即可．【详解】∵EA⊥AB，EC⊥BC，∴∠EAB=∠ECB=90°，在Rt△EAB与Rt△ECB中，∴Rt△EAB≌Rt△ECB，∴AB=CB，∠ABE=∠CBE，∵BD=BD，在△ABD与△CBD中，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据垂直的定义和直角三角形的全等判定是解题的关键．22、（1）抛物线的解析式为：y=1（2）①S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;②存在.R点的坐标是（3,﹣32（3）M的坐标为（1,﹣83【解析】试题分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;（2）①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标;（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．试题解析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,∵正方形的边长2,∴B的坐标（2,﹣2）A点的坐标是（0,﹣2）,把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣23）代入得：c=-2解得a=16,b=﹣1∴抛物线的解析式为：y=1答：抛物线的解析式为：y=1（2）①由图象知：PB=2﹣2t,BQ=t,∴S=PQ2=PB2+BQ2,=（2﹣2t）2+t2,即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）,∴当S=54时,5t2﹣8t+4=54,得20t解得t=12,t=11此时点P的坐标为（1,﹣2）,Q点的坐标为（2,﹣32若R点存在,分情况讨论：（i）假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB,则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣32即R（3,﹣32代入y=1∴这时存在R（3,﹣32（ii）假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB,则R（1,﹣32）代入,y=左右不相等,∴R不在抛物线上．（1分）综上所述,存点一点R（3,﹣32答：存在,R点的坐标是（3,﹣32（3）如图,M′B=M′A,∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,理由是：∵MA=MB,若M不为L与DB的交点,则三点B、M、D构成三角形,∴|MB|﹣|MD|＜|DB|,即M到D、A的距离之差为|DB|时,差值最大,设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得：,解得：k=23,b=﹣10∴y=23x﹣10抛物线y=1把x=1代入得：y=﹣8∴M的坐标为（1,﹣83答：M的坐标为（1,﹣83考点：二次函数综合题．23、（1）∠CBD与∠CEB相等，证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan∠CDF=．【解析】试题分析：（1）由AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，可得∠ADB=∠ABC=90°，由此可得∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，从而可得∠A=∠CBD，结合∠A=∠CEB即可得到∠CBD=∠CEB；（2）由∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，可得∠EBC=∠BDC，从而可得△EBC