2018课标版文数一轮(8)第八章-立体几何(含答案)2-第二节-空间几何体的表面积和体积

文数课标版第二节空间几何体的外表积和体积教材研读1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧=①2πrl

S圆锥侧=②

πrl

S圆台侧=③

π(r+r')l

名称几何体

表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=④

Sh

锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=⑤

Sh

台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=

(S上+S下+

)h球S=⑥4πR2

V=⑦

πR3

2.空间几何体的外表积与体积公式(1)多面体的外表积等于各个面的面积之和. (√)(2)锥体的体积等于底面积与高之积. (×)(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. (√)(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.(√)(5)正方体既有外接球又有内切球. (√)(6)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧

面积是2πS. (×)判断以下结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)1.将一个相邻边长分别为4π,8π的矩形卷成一个圆柱,那么这个圆柱的外表

积是 ()A.40π2

B.64π2C.32π2或64π2

D.32π2+8π或32π2+32π答案

D当底面周长为4π时,底面圆的半径为2,两个底面的面积之和

是8π;当底面周长为8π时,底面圆的半径为4,两个底面的面积之和为32π.

无论哪种方式,侧面积都是矩形的面积32π2.故所求的外表积是32π2+8π

或32π2+32π.2.一个球的外表积是16π,那么这个球的体积为 ()A. πB. π

C.16πD.24π答案

B设球的半径为R,那么由4πR2=16π,解得R=2,所以这个球的体积为 πR3= .3.(2016四川,12,5分)某三棱锥的三视图如下图,那么该三棱锥的体

积是

.答案

 解析在长方体(长为2 ,宽、高均为1)中作出此三棱锥,如下图,

那么VP-ABC= × ×2 ×1×1= .4.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,那么该六棱锥的侧面积为

.答案12解析设六棱锥的高为h,斜高为h0.因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形,所以底面面积为 ×2×2×sin60°×6=6 ,那么 ×6 h=2 ,得h=1,所以h0= =2,所以该六棱锥的侧面积为 ×2×2×6=12.考点一空间几何体的外表积典例1(1)(2016课标全国Ⅲ,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为

1,粗实线画出的是某多面体的三视图,那么该多面体的外表积为 ()

A.18+36 

B.54+18 C.90 D.81考点突破(2)(2016安徽江南十校3月联考)某几何体的三视图如下图,其中侧视

图的下半局部曲线为半圆弧,那么该几何体的外表积为 ()

A.4π+16+4 

B.5π+16+4 C.4π+16+2 

D.5π+16+2 答案(1)B(2)D解析(1)由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧

棱长为3 的斜四棱柱.其外表积S=2×32+2×3×3 +2×3×6=54+18 .应选B.(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三

棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为2× ×2× =2 ;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和为2× ×π×12=π,所以几何体的外表积为5π+16+2 ,应选D.方法技巧空间几何体外表积的求法(1)外表积是各个面的面积之和,求多面体的外表积,只需将它们沿着棱

剪开展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的外表积.求

旋转体的外表积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展

开后求外表积,但要弄清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中

的边长关系.(2)求不规那么几何体的外表积时,通常将所给几何体分割成根本的柱、

锥、台体,先求出这些根本的柱、锥、台体的外表积,再通过求和或作

差,求出不规那么几何体的外表积.1-1

(2016课标全国Ⅰ,7,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等

的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是

,则它的表面积是

()A.17πB.18πC.20πD.28π答案

A由三视图可知该几何体是一个球被截去

后剩下的部分,设球的半径为R,则

π=

×

πR3,解得R=2.故其表面积为

×4π×22+3×

×π×22=17π.选A.1-2

(2016课标全国Ⅱ,7,5分)以下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体

的三视图,那么该几何体的外表积为 ()

A.20πB.24πC.28πD.32π答案

C由三视图可得圆锥的母线长为 =4,∴S圆锥侧=π×2×4=8π.又S圆柱侧=2π×2×4=16π,S圆柱底=4π,∴该几何体的外表积为8π+16π+4π=

28π.应选C.考点二空间几何体的体积典例2(1)(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视

图如下图.那么该几何体的体积为 ()

A.

+

πB.

+

πC.

+

πD.1+

π(2)(2016北京,11,5分)某四棱柱的三视图如下图,那么该四棱柱的体积为

.

答案(1)C(2) 解析(1)由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱

锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的

直径2R=

,则R=

,所以半球的体积为

πR3=

π,又正四棱锥的体积为

×12×1=

,所以该几何体的体积为

+

π.故选C.(2)由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,将该几何体还

原到长方体中,如图所示,该几何体为四棱柱ABCD-A'B'C'D'.

故该四棱柱的体积V=Sh=

×(1+2)×1×1=

.方法技巧空间几何体体积的求法(1)假设所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规那么几何体,那么可直接利

用公式进行求解.其中,等体积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)假设所给定的几何体是不规那么几何体,那么将不规那么的几何体通过分割

或补形转化为规那么几何体,再利用公式求解.(3)假设以三视图的形式给出几何体,那么应先根据三视图得到几何体的直

观图,然后根据条件求解.2-1如下图,在多面体ABCDEF中,ABCD是边长为1的正方形,且

△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,那么该多面体的体积为 (

)

A. 

B. 

C. 

D. 答案

A解法一:如下图,分别过A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连

接DG,CH,那么原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,

易知三棱锥的高为 ,直三棱柱的高为1,AG= = ,取AD的中点M,连接MG,那么MG= ,∴S△AGD= ×1× = ,∴V= ×1+2× × × = .解法二:如下图,取EF的中点P,那么原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥,易知三棱锥P-AED和三棱锥P-BCF都是棱长为1的正四面体,四

棱锥P-ABCD是棱长为1的正四棱锥.

∴V=

×12×

+2×

×

×

=

.2-2某几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为 ()

A. +2πB. 

C. 

D. 答案

B由三视图可知,该几何体是由一个圆柱和半个圆锥组合而成

的几何体,其体积为π×12×2+ × π×12×1= .考点三与球有关的切、接问题命题角度一正方体的外接球典例3

(2016课标全国Ⅱ,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面

上,那么该球的外表积为 ()A.12πB. πC.8πD.4π答案

A解析设正方体的棱长为a,那么a3=8,解得a=2.设球的半径为R,那么2R= a,即R= ,所以球的外表积S=4πR2=12π.应选A.典例4(1)(2016辽宁抚顺模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都

在球O的球面上,假设AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,那么球O的半径为 (

)A. 

B.2 

C. 

D.3 (2)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.假设AB⊥BC,AB

=6,BC=8,AA1=3,那么V的最大值是 ()A.4πB. 

C.6πD. 答案(1)C(2)B解析(1)如下图,由球心作平面ABC的垂线,垂足为BC的中点M.连接

OA,AM,命题角度二直棱柱的外接与内切球

又AM=

BC=

,OM=

AA1=6,所以球O的半径R=OA=

=

.(2)易知AC=10.设底面△ABC的内切圆的半径为r,则

×6×8=

×(6+8+10)·r,所以r=2,因为2r=4>3,所以最大球的直径2R=3,即R=

.此时球的体积V=

πR3=

.故选B.典例5(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,假设该棱锥的高为4,底面边

长为2,那么该球的外表积为 ()A. 

B.16πC.9πD. (2)假设一个正四面体的外表积为S1,其内切球的外表积为S2,那么 =

.答案(1)A(2) 解析(1)如下图,设球的半径为R,底面中心为O',球心为O,由题意得AO'= .命题角度三正棱锥的外接与内切球∵PO'=4,∴OO'=4-R,在Rt△AOO'中,∵AO2=AO'2+OO'2,∴R2=( )2+(4-R)2,解得R= ,∴该球的外表积为4πR2=4π× = .(2)设正四面体内切球的半径为r,正四面体的棱长为a,那么正四面体的表面积S1=4×

·a2=

a2,其内切球的半径为正四面体高的

,即r=

×

a=

a,因此内切球的表面积S2=4πr2=

,则

=

=

.方法指导“切”“接”问题处理的本卷须知(1)“切”的处理解决与球的内切问题时要找准切点.(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在同一球面上即为球的外接问题.解决这类

问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的

半径.3-1如下图,在半径为R的半球内有一内接圆柱,那么这个圆柱的体积

的最大值是

.

答案

 πR3解析设圆柱的高为h,那么圆柱的底面半径为 ,圆柱的体积V=π(R2-h2)h=-πh3+πR2h(0<h<R),V'=-3πh2+πR2,令V'>0,得0<h< R,令V'<0,得 R<h<R,故当h=

R时,V取得最大值,最大值为

πR3.3-2三棱锥P-ABC中,PA