2022-2023学年宁夏回族自治区中卫市统招专升本数学自考真题(含答案)

2022-2023学年宁夏回族自治区中卫市统招

专升本数学自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

下列哪个式子是不正确的

A.lime-'=0

n-4<»

D.lim（1+〃）、=

已知函数/（.r）=

A.sin①B..zcos.rD.jrsinjr

下列级数中为条件收敛的级数是

B.、（一1）”访

CE（T）£

n=l〃

设函数/（x-l）=，+x+i,

则/M=（

X-x+3x+3x+3

x-3x+3x*—x—3

.幕级数+的收敛区间为

«=1

A.（0.1）B.（一8,+8）

C(-1J)D.(-UO)

6.

；.函数/(/0)=1—Jm的极大值点为()

A.(0,0)B.0C.(0,0,1)D.(1,0)

7.

设/（x）是奇函数且（p（x'）=f（了）（炉；］一,），则是:

A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.无法判断

8.

.设y=COSJ*则炉2。⑶=)

A.—COSEB.COSJTC.—siniD.sirur

9.

设f(t)=(1—a)〃C—a)•则F(.$)=L[/'(Z)]=()

A.与B.—C.—LD.I

s(s+a)(s—a)s

10.

下列级数发散的是()

A.£(一1厂(2丫B.c.£(-1/4=D.2—

11.

yd#+(2—.r)dy=0的通解为()

A..y=C(；r+2)B.y=Cr

C.y=C(.r-2)D.y=ln(x—2)

12.

.设则/的取值范围为)

A.0&/<1B.9</&1C.0&/〈手D.4-<K1

4L

；.定积分Jd、i=()

A.Sae-a2B.a一

C.0D.z!a

14.

函数/(x)=+ln(x-1)的定义域是()

V4-x2

A.(1,2)B.(-2,2)C.(l,+oo)D.(2,+co)

15.

极限lim任二=()

xfX)

A.e2B.1C.2D.e-2

16.

-JJ

.已知dCe/(J)J=edx»/(0)=0•则/Q)=()

A.e2z+e”B.e2z-exC.e2x+e~D.e2j—e'x

17.

已知函数f(G满足工/'(幻=fCr),且/(l)=e二则/(—1)=()

A.JB.-e?C.e2D.2

18.

-r—1是函数/(JT)——的()

1-e-

A,可去间断点B.趺跃间断点C.连W卖点D.第二类间断点

19.

设4+之（勺-%）=1,那么极限lima”（）

A.可能存在，也可能不存在B.不存在

C.存在，但极限值无法确定D.存在，并且极限值为1

20.

下列结论行族的是（）

A.若/（Z）在工=h0处可导，则/（X）在H=工0处连续

B.若/（!■）在7=羽处可导，则/（T）在H=判处可微分

C.若/（X）在H=久。处取极大值，则/'（工0）=0或者不存在

D.若点（羽，3。）为函数/（］）的拐点，则fg=0

21.

卜列无穷级数收敛的是（）

«V*6+（-l）"n-1

八，27=~

丁】nQn

C.52cos—D.-1）

En»-1

22.

设lim%1：+'=3,则a,b分别为（）

XTIx-1

A.1,1B.-1,—2C.-2,1D.1,-2

23.

oo

.塞级数岑的和函数s（#）为（）

n=011•

A.e~B.e-sC.LD.2e-2j

24.

设f（.r）的定义域为［-2,2）.则八3.r+l）的定义域为)

A.[-5,7)B.D.(-5,7)

25.

极限lim平区的值是()

LO+Inz

A.1B.-1C.OD.不存在

26.

直线L：吾士妥=合与平面C-Q+IO-1=0的位置关系是（）

A.L在”上B.L与TT平行但无公共点

C.L与n相交但不垂直D.L与k垂直

27.

过Ofc轴及点(3,—2,4)的平面方程是()

A.3/+2、=°

B2y+z=0

c2/+2=0

D2JC+3、y=0

28.

下列级数绝对收敛的是

B・翳

,/+2〃+3咆件Y）

29.

曲线y=立言炉的渐近线共有（只考虑水平和垂直渐近线）（）

X'+\x

A.1条B,2条C.3条D.4条

30.

2

设A是一阶可逆矩阵，且已知（24，尸=I，其中为A的转置矩阵,

则A=()。

12Ipl21313

A.C.

34422124

二、填空题（20题）

(x3--R+l)sin2j?dj?=____________

31.」t

..siirr—sinu

hm----------------

32.1x-a

34.

设随机变量X〜N(2eD,且P(2VXV4)=0.3,则P(X<0)=

35与向量（一3.4.1）平行的单位向量是

36.

向半圆0VyV72ar-x2（a>0）内任掷一点.点落在半圆内任何区域的概率均与该

区域的面积成正比.则该点与原点连线与上轴的夹角小于子的概率为

4

37点M（1.一3,5）到（h轴的距离为

./e'cLr=

若F(J)是/(a?)的一个原函数，则f(or+6)d.r=

912

甲、乙、内三人入学考试合格的概率分别为彳•.则3人中恰有2人合格的概率为

D。

定积分sin《di=

0L

曲线J在-=1处的切线方程为

)=4才

<0,①V0,

设连续随机变量X的分布函数为F(.r)=J.4r2,04wV1,则A=

1,才21,

45.

\r=2t.

两直线L：三］=三=三二和G：|y=-2/—2.的夹角为

1—41

Z=­t

46.

下列级数TGiyT，£(—1戌，次㈠尸右(寸々中，绝对收

g"1w=l'n=lJ«=0勿+1

敛的级数共有个，

47曲线y=arcsin(x+1)在x=-1处的切线方程为

莒，—1<a-<o,

设/(①)=12,0&才<1,则/(0)=.

j,-1.1V力V3,

48.

49函数/(①)=c-在点①=0.99处的近似值为_

50已知事件A.B满足P(AB)=P(R豆).且P(4)=0.4.则P(B)=

三、计算题(15题)

51.

设某产品每月产量为x吨时，总成本函数为C(X)=X2+20X+900(元)，问当月

产量为多少时，平均成本最低?

1

求不定积分

XX2,—1

52.

将函数八1）=-^―J——展开成Q+4）的幕级数.

53.2+3/+2

54.

'、，式"八

i“sm—,x<O

j*t

设f（x）=«A_n求常数A.a/的值，使/（x）在工=0处可导，并

八,JT=U,

+6,1>0,

求/（0）.

求极限lim,『一I：。.

-

55LO（1-cos.r）sinJ-

56.

设曲线y=/（.r）上任一点（3）处的切线斜率为*+*,且该曲线经过点（1，），求

函数了=/（7）.

57求曲线3'=（・，-1）竹■的凹凸区间及拐点.

58.求函数V=we」秋的极值、凹凸区间及拐点.

3

求函数之（々..y）=j'—J2+61—12y+10的极值.

59.

1

求极限

Inx

x1+x2-x3=l,

方程组（2玉+39+平=3,当a为何值时有无穷多解，并求解.

x,+ar+X=2,

61.233

62.

求函数丁=ln（l+/）的凹凸区间及拐点.

,1

求由曲线y=d,歹=±x=~,x=2所围成的平面图形的面积.

63.%2

64.

设函数2=/*,乃）+/（＞+；/）,其中函数/具有二阶连续偏导数.函数中具有二阶

连续导教,求翡

求y+2y—8y=(x+l)e"的通解.

65.

四、证明题（10题）

66.

设/'（工）在［—a,a］上连续（a〉0,为常数），证明/（x）di-=［/'（z）+/（—Z）］&{■,

—a0

并计算COSJT

J-f1+e-

67.

证明方程ln.r=-..fx/1—cos2.rd.r在区间（e.eD内仅有一个实根.

eJo

证明当①>o时，vTT7<1+£

68.N

69证明：当0<44式时txsinxT2cos2<2.

70.

设/（工）在区间［0,。［上连续，证明:f(x2)d^=2/(x2)dx.

Jo

71.

证明：当父〉0时，------->ln（1+Z）.

72.

设/（.r）在［一上连续（“>0.为常数）.证明「/（.r）d.r=

"(、r)+/(一①)[cLr,

J-Oo

.x_

TCOSTj

并计算~—dr

-f1+e'

73.

诊的敖/⑴在［0』］上连象并用杆［。/］上的任船胸搦的西效信/⑴月有

0</（。w1，证明:在［0，1］上至少有一点&使得/（f）=&

74.

设〃=xy2f(~),其中f(t)可微，谜月：xm+1，C?=3〃

ydx分

75.

设函数f（z）在闭区间［0,11上可导,且八.证明在开区间（0,1）内至少存在

一点“使得2f（e）+&■'（£）=0.

五、应用题（10题）

平面图形。由曲线；y=G，直线1y=N―2及工轴所围成.

（1）求此平面图形的面积；

“（2）求此平面图形绕工轴旋转一周而成的旋转体体积.

76.

77.

设D是曲线y=x?以及该曲线在（1,1）处的切线和y轴所围成的平面区域。求：（1）

平面区域D的面积S；（2）D绕y轴旋转而成的旋转体的体积V。

78.

求曲线段,==工・1）上一点处的切线.使该切线与直线y=0,工=1和曲线

3-=^所围成图形的面积最小.

79.

建筑一个容积为8000n?,深为6m的长方体形无盖蓄水池,池壁的造价为a元/m2,

池底的造价为2a元/m2,问蓄水池底面的边长各为多少时,总造价最低？

80.

平面图形由抛物线与该曲线在点处的法线围成.试求：

（1）该平面图形的面积；

（2）该平面图形绕.r轴旋转一周形成的旋转体体积.

。［设D此例心线j=j=2和X釉州良成物平面M城.

oi.

求：：1）平面区域D的面枳S：

（2）D烧下扫旋转一周而成的旋转体的体积V.

82.

某企业生产某种产品，其固定成本为3万元，每多生产一百件产品，成本增加2万

元；总收入R（单位：万元）是产量g（单位：百件）的函数，R（q）=5q-；/，

问：当产量为何值时，利润最大？最大利润是多少？

83.

靠一堵充分长的墙边•增加三面墙围成一矩形场地•在限定场地面积为64m。的条件

下.问增加的三面墙长各多少时，其总长最小.

84.

将长为。的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段回成圆形涧这两段铁丝长各是多

少时，正方形与圆形的面积之和最小？

85.

设一数82=（1+2户/⑴,其中/⑴在［-2,5］具有二阶导致由/（5）=0,

证明存在§5-2,5）,使尸田=0.

六、综合题（2题）

86.

设数列{2},{6,满足0Va.<百,0<A<i,cosa,-cos6.=a,,且级数工>"收

L4N=i

敛.证明:

(1)lim%=0?

13

⑵级数W会收敛.

11=11t

87.平面图形Q的面积;

参考答案

1.C

limA-\=lim--工:1———=lim=故应选C.

….广一1x-1(.r+1)(.r—1),t①+1

/‘(1)tsxntdt=.rsinj'.

2.Do

［答案］D

【精析】A项中，1沁士=1ro,发散;

L3M十1

B项中，lim6#0,发散；

4J—

c项中，级数£|收敛,则原级数绝对收敛;

D项中.级数£；发散•£（一1）"；收敛.则原级数条件收敛.

3D“=1'〃»=।11

B

4B【评注】令x-l=Z,得/«)=『+3z+3,即/(工)=*2+3x+3.

5.C

［答案1c

【精析】lim马-=lim。=1,故收敛半径K=1.收敛区间为（一1」）.

U-］n-*ooflI-乙

6.A

【精析】=---—:；—<A=--1一，'—，令/,=O./jCx.y）=0,可得z=

介+y

y—0,此时/（0.0）=1.

当1rz+y#o时./（7）<1,

故f（.r,y）的极大值点为（0.0）,故应选A.

7.A

［答案：！A

【精析】令=彳］彳~~J，

乙I1乙

、112T1

必-a=2r+1~~2=2—1—~2

_2J+1-11_.11

-214-1~2~~2』+1-7

11_、

一彳一声工广一⑺，

即0(.r)为奇函数，又/(J)为奇函数,所以夕Q)为偶函数•故选A.

/I

因为（cos.r）'"cos|.z-I--J,

8.A

则(cos.r)‘2°⑻=cos—)=cos(.r+1009r)=-cosz,故应选A.

9.D

［答案1D

【精析】因为比H=《•由拉氏变换的延迟性质可得式/⑺1==

JT

10.D

D

【评注】寸」-，由=可知该级数发散，所以选D.

r^M+1

1答案］c

【精析】分离变量得，心=，7dz，两边分别积分得In31In|2|IIn|C.

y1-L

12.B

[答案]B

【精析】因为i•所以r1二心41.故应选B.

21+x2Jo1+JT

13.C

【精析】令/(.r)=x€x'，/(­.r)=—.re-^2=—,/(,r).可知/(,r)为奇函数，故

jy(T)d.r=0.

A

14A【评注】由题意：4-，>0及x-l>0,解得l<x<2,所以，选A.

【评注】lim=lim

XT8

匚答案1B

【精析】由d[e-r/(.r)]=e*di得e-J/(x)=eJ+C.

即7(x)=e2x+CeL把/(0)=0代入得C=-1.

16.B/(W)=/—e*.故应选B.

17.B

由题设知o>•半=),解得y=Cx,

又/(l)=/,代入解得。=62,

所求特解为/(n)=e2・办所以/(-1)=-e2,故应选B.

【精析】当4f厂时，产---►+8•故lim----二_=o；

1-1L「1—g

当1►1+时，丁工一*—g,故lim-=1.

11一/1—aR

18.B故才=1为跳跃间断点.

19.D

【评注】由于级数的部分和%=4+£（4一%T）=a“T，所以由级数的和为1知，

有lim,=1，于是lima„=lima,==1,故选D.

n->«n"T8ftn-HOin

20.D

【精析】拐点可能是二阶导数为0的点，也可能是不可导点，故D项错说

21.B

【精析】£任%"=£（1一年/）,由于£十发散，士宁2收敛，则原级

数发散;limcos,#0,因此2cos,发散;由于〃f8时,”一1〜工，而X,发散，因

1

此X（e白一D发散;lim3-=』VI.因此£4收敛.

£…上e£e”

、z

22DD【评注】将D的结果代入极限式左端得

3二2=/1)2)=

。+=lim(jc+2)=3,故选D.

x-1Z1x-1XT1

23.B

［答案］B

OOoo

,=£寸.由于5

【精析】X(T)"=1,

w=0n=0”・

OO

故£(_])与e1

n=0〃・

24.B

【精析】由./（J）的定义域为［-2,2）得一243工+1V2,从而一14.r〈J,所以

_1、

f（3i+l）的定义域为一•卜故应选B.

25.A

cos.r

【精析】lim华必=lim半=而】上一=1.故应选A.

LO+in.rLO+i+ianw

x

26.D

直线的方向向量为s={3,—2,5}.平面的法向量为”={6,—4,10},由烦=

0

--7=余,知$〃”，故L与7T垂直，故选D.

一4i(J

27.D

［答案］D

【精析】设过Oz轴的平面方程为aj-+by=0,所以3a—26=0,即6=—a,^La—2,

则平面方程为2z+3_y=0,故应选D.

28.B

【精析】选项A中，级数*白为2的？级数，故发散,但原级数满足莱布尼兹定

理，所以原级数条件收敛；选项B中.级数是q=^•的等比级数.故绝对收敛;选项

C中，lim十2丁十3=1,故原级数发散;选项D中，£(工一工)=V1-V1,

—疗£犷〃七〃.七n

而£工发散,故由级数的性质可知原级数发散.故应选B.

土«

29.C

［答案］C

【精析】因为.y=/Q)=F［也=Q_2)y；4),］im/Q)=1,所以y=1

是曲线的水平渐近线=8,=8,从而H=0,1二一4是曲线的垂直

x-Ox-4

渐近线.故选C.

30.D

31.

1---^-sin2

(-x+1)sin2xdx=sin2xd:r=2sin2jrdjr(1-cos2«z)dj?

'Q

1

X-jsin2r=1-ysin2.

o

32.

sin.r-sinaCOSJ

lim----------------=lim—j-=cosa.

cosuJT-*Ux-^u

33.

3_

7

【精析】sin——sinlimisin----lim.rsin［=2----=盘.

x-»ooy)JT~*8JCx-*ooujcLZ

34.0

［答案］0.2

【精析】P(2<X<4)=^(7)-0⑹=0.3,所以叫亍)=0.8.P(X<0)=

P(^―^<—\=①(一2)=1~^1—\=1-0.8=0.2.

35.

【精析】向量的模为，（一3尸+42+y=726.

（一*，^r卷）

故与之平行的单位向量为土

36.

T+7

［答案］第

【精析】此问题为几何概型问题，半圆面积为Si=£1.

点与原点连线与才轴夹角小于片的面积为&=个/+春a2.

442

所以p=3=4+L

37.

而

［答案］局

【精析】点M到Qr轴的距离为4=，（-3>+5?=，9+25=氐.

38.

jc2eJ—2xer+2e'+C

【精析】J2erdj-=p2deT=j'2ez-21・/心、=J*2er-2j.rder

=3,—2.re，+2kd.r=3——2.rer+2er+C

39.

—F(dj-+6)+C

a

/(az+/>)&，、=—Jf(ax+A)d(ax+/?)=—F(a,r+Z>)+C

40.

13

30

【精析】设甲、乙、内三人考试合格用事件A,<=1.2.3)表示,则3人中有2人合格的

概率为P(A,A——A)+P(率——耳As)+P(—率AzA,)=-?=-X-］J-X(l-^Q)+^?-X(l--i1-)X

23J，O<5Lt

|+(1.|)X|X|=13

30,

41.

2

【精析】Isin《di=2sin\=-2cos』=—2(0—1)=2.

JoZJoL\L)Z0

42.

［答案］-y(arctan.r)24-C

【精析】a.r<Uin.-d^=arctarkzxKarctanr)

J1+k?J

-^-(arctan.r)2+C=-^"(arctana)z+C.

43.

2JC2

dv

精

而dF

dv-一=《=7,故在t=1处的切线斜率上=2,又当看=1时,M=1,

d;dx

dF

y=4,则切线方程为)-4=2(彳-1),即y=2JC+2.

44.1

【精析】由F(.r)的连续性,有limF(i)="(1).即limA/=].得八=].

z-*i

45.

71

T

【精析】Li的方向向量si={1.-4.1}.L2的方向向量为*=12.—2.-1八则加

与a的夹角余弦二,―一」•一)，＜」一=、鸟.

yi2J(-4)2II2.722I(-2)2I(-I)22

故，-y.

,2

【评注】y(-iy—发散，白一1)”」_条件收敛.

4A°E〃+1n«0n+\

4o.Z

47.

/一y+1=0

48.

2由/Q)的表达式可知，当w=0时，八0)=2.

49.

1.01

【精析】取/Q=1=—0.01.有/(-to+&r)=/(0.99)a/(.r0)+/"(4)△①=

1-1.(-0.01)=1.01.

50.0

［答案］0.6

【精析】P(.4B)=P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB).乂P(AUB)=P(A)+

P(B)-P(AB).所以P(A)+P(B)=1.所以P(B)=l-P(A)=1-0.4=0.6.

51.

解：由题意可知平均成本为e(X)=X+2O+平

故忍(x)=l-绊，令^(x)=0,得再=30,与=-30(舍去)

X

又守(x)=粤，且3(30)>0,所以x=30为e(X)的极小值点，也是最小值点,

x

即月产量为30吨时的平均成本最低.

52.

【精析】当工〉1时,令.r=sec/,-f=arccos—•

LL.r

则---'-d.r='J"'"!1=t\C=arccos—•C；

.r/P=Tsecflaw1

当.r<—1时.令.r=—〃,〃>1，利用I：述结论可得---1d.r

,r

---------1d(一〃)=---1d〃=arccos—IC=arccos—C.

-U\/u2—\U\/u2—1u~r

综I：可得---(\.r=arccos—1C.

i\/T2-1x

53.

【精析】=2,上」=(J=—vy一

x+3z+2(w+2)(£+1),r+1JT十2

1

-----1------==—L.—L—=—LvJ-(r4-4)»

又m-3+(7+4)------3..r+43£3"'

3

-2+L+4)=一呆,,r+4=一/£/(，+4”.

M+2

2

所以/。)=JQ+4)"

-«=<)/Jn=0J

=£(—一击尸+4)”，“e(-6,-2).

54.

【精析】由可导与连续的关系有

lima?sin三=lim(ax2+6)=A♦

六一厂Z广

所以

A=6=0.

又

2

JTsin——02_

/二(0)=lim--------------=0./；(0)=lim------=0.

5N—01『工一0

所以.a可以为任意常数，且，(0)=0.

55.

后4i・eJ-1一、广1，2ie‘-2xeT-1

原式=lim------------------=lim---------------=rlim——=1.

x-*0192JT-*02wx-*0、尸

-yJ■w

乙

56.

【精析】曲线上任一点(12)的切线斜率为£,即》'=2+》,这是一个一阶微分方

工

程，由公式法可知

y=J7"。①屋卜?"乜才+C)=1•：d.r+C)=z(1+C),

1/

又有该曲线过点(1，/)，代人可得C=0,故函数y=fCr)=

57.

【精析】函数的定义域是（-8,+8）,且

2(5①+1)2(5①+1)

y=++—=

9十9969.1\fx

当力=—^时•/=0•当JC2=0时不存在,故以Ji---和h=0将定义域分

Oo

成三个部分区间.并列表讨论如下:

LT)

X（T。）0(0,+8)

n

y—0+不存在+

V=八］）n有拐点U无拐点U

所以.在（一8,一!）内曲线是凸的.在（一£♦+8）内曲线是凹的.曲线的拐点

为（一卜一专旗^

58.

【精析】令/(J-)=Q,义］)=(ieT)'=e-f+ieT.4

-y-7

令fr(x)0,e+jreF•(--1)=0。葭亍-Te=>J-=2.

f'(2)=-e-1+ye-1=-y-<0,

故/（J-）的极大值为/（2）=2e-J=2.

e

-

令，（n）=0,­e^+《He-彳=0=＞e-*2==^J;=4.

44

f（JT）在（一8,4）上恒有f（才）＜0,因此f（jc）在（一oo,4）上向上凸；

/'（才）在（4,+8）上恒有f（彳）＞0,因此f（jc）在（4,+oo）上向下凹.

/（4）=4e-2=拐点为（4,尚）.

59.

【精析】由:一•解得驻点（3.2）,（3,—2）,

[3=3y2-12=0,

n的二阶偏导数为之xr=—2,之》=0,之把=63，

对于驻点（3.2）,因为

A=之百（3,2）=—2<0.B=之小（3,2）=0,C=2A（3,2）=12.

所以B2-AC=24>。.点（3,2）不是函数的极值点.

对于驻点（3.-2）,

A=(3.-2)=—2V0.B=之0(3,—2)=0,C=z»(3,-2)=—12,

于是B2-AC=-24VO,又AVO,

所以函数在点(3,—2)处取极大值?(3,-2)=35.

60.

|.—Inx-JC+1Inx

lim=Plim---------------

理(x—Dlnxi।x-1

Iar------

x

1+Irrr_1

lim

-12+Irtr'2,

1—1

1a+21

0—(a+3)(a—2)2—巴

当4=2时，&(4)=火(7)=2<3,对应的方程组有无穷多解，此时

'11-11)(10-50、

7T0141T0141-

V10

、000000,

再=5巧，

同解方程组为或3=1-4%通解.（左为任意实数）

X2

七=七，、加

62.

【精析】函数的定义域为(-8,十°°),『=5二，，'=

1+r(1+r)

令y”=0,可得i=士1,当IG(—8,—1)时,<0,函数为凸的;当］6(-1」)

时4>0,函数为凹的;当iG(1，+8)时,，'<0,函数为凸的.

且当了=-1时,y=ln2；当I=1时,)=ln2,

故函数的凸区间为(一8,—1)和(1,+8),函数的凹区间为(一1,1),拐点为(一1,

ln2)和(l,ln2).

63.

12

解:lux

2

7749

=ln2--ln2=—

24324

64.

【精析】士=乙+九♦:v+夕'•2J,

1+2+-2工•

=工厂12+fz++4之炉.

65.

【精析】原方程对应的齐次方程的特征方程为，+2厂-8=0,解得1=-4,々=2,

所以对应的齐次方程的通解为丫=Gef+Cze",

A=3,不是特征方程的根，故设原方程的特解为歹=eS(Ar+B),则

(»♦)'=e"(3Ar+3B+A),(.y*)"=e3x(9Ar-9J3+6A),

代人原方程得

小(9辰+98+6A)4-2e3i(3Ar+3B+A)-8e3x(Ar+B)=(x+l)e3S

解得A=-L故原方程的通解为

/49

3=Ge"十Cze"十叫枭一击).

66.

【证明】因/1)=+八-Z)］+:匚“幻一八一》］，

而《［/1)一/(一川是奇函数,《［/(工)+/(—1)］是偶函数,

y—/(—H)]d_r=0,

所以jf(x)da:=2fq[/(7)+/(—z)]d-r=[/(])+/(—H)]CLT；

J—aJ0Z~0

coswfTr_COSJ__|_cos(-1)-|.cosr

l+e’产二

l+e-Jo11+L十1+e*

cosicLr=sinjr

()

67.

【证明】令/(x)=hr——+I，1—COS2JC今r,显然/(i)在[ek]上连续,

/(e)=Ine-----+fA/1—cos2,rd.r=j八一cos2彳dw=2⑰>0,

eJoJo

/(e3)=Ine3—--r\—cos2、zdt=3—e2+242<6—e2<0,

eJo

由零点定理得，在(e,e3)内至少存在一个根£使得/%)=0.

又f'Q)=上一工，在(e1)内“])V0,所以f(i)在(e,