2023年陕西省汉中市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年陕西省汉中市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.设a,b是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，以下四个命题

中正确的命题的个数是()

①善a〃a»aLf,则ajji

②若则ajjl

③若a,则a〃a或aUa.

④若a_L6，a_La,6<Z：a,则b//a.

A.A.l个B.2个C.3个D.4个

2.不等式x2-2x<0的解集为()。

A.{x|x<0,x>2}B.{x|-2<x<0}C.{x|0<x<2}D,{x|x<-2,或x>0}

3.甲、乙、丙、丁4人排成一行，其中甲、乙必须排在两端，则不同的

排法共有()

A.4种B.2种C.8种D.24种

4.从0,1,2,3,4,5这六个数字中，每次取出三个数相乘，可以得

到不同乘积的个数是()

A.10B.11C.20D.120

(13)已知向量"力满足I4TI=4JAl=3,<a,A)=30。,则a•b等于

5(A)Q(H)63(C)6(D)12

6.若|a|=6,|b|=2,Va,b>=120。,则a*b=()

A.-6B.6C.3D.-3

7.以点(0,1)为圆心且与直线相切的圆的方程为()o

A.(X-I)24-y=1B.X24-(jr-1)1=2

C.z?+口一=4D.x2+=16

8.过点P(5,0)与圆x2+yZ4x-5=0相切的直线方程是()

A.y=5B.x=5C.y=-5D.x=-5

173

9.()

A.A.l

B.2

C.4

下列四组中的函数/(x).g(x)表示同一函数的是)

(A)〃x)=I,g(x)=x°(B)/(x)=x,g(x)=一

X

10.(C)/(x)=*'.g(x)=(7x)4(l))/(x)=X3,g(x)=07

U.一个科研小组共有8名科研人员，其中有3名女性.从中选出3人参

加学术讨论会，选出的人必须有男有女，则有不同选法0

A.56种B.45种C.10种D.6种

12.从红、黄、蓝、黑4个球中任取3个，则这3个球中有黑球的不同取

法共有0

A.3种B.4种C.2种D.6种

函数y=sin2x的最小正周期是()

(A)6ir(B)2ir

…(C)宣(D月

13.

14.若向量a=(l,1),b=(l,-1),则铲0s()

A.(l,2)B.(-l,2)C.(l,-2)D.(-l,-2)

函数y=上是

15.1()o

A.奇函数，且在(0,+8)单调递增

B.偶函数，且在(0,+8)单调递减

C.奇函数，且在(-8,0)单调递减

D.偶函数，且在(-8,0)单调递增

16.

复数L冬广的值等于

A.lB.iC.-lD.-i

17.若p:x=l;q:x2-l=0,贝IJ()

A.p既不是q的充分条件也不是q的必要条件

B.p是q的充要条件

c.p是q的必要条件但不是充分条件

D.p是q的充分条件但不是必要条件

18.不等式x>6一X的解集是()

A.[-2,3]B.(-oo,-2]U[3,+oo)C.[-3,2]D.(-oo,-3]U[2,+oo)

19.已知甲打中靶心的概率为0.8,乙打中靶心的概率为0.9,两人

各独立打靶一次，则两人都打不中靶心的概率为()

A.A.0.01B.0.02C.0.28D.0.72

20在等差数列中4之和为I。,前1。项之和等于A95B125C175

D.70

21.设f(x+l)=x(x+l),则f(2)=()o

A.lB.3C.2D.6

22.从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数数字和两个奇数

数字组成一个无重复数字的三位数，总共有()

A.9个B.24个C.36个D.54个

23.f(x)为偶函数，在(0,+oo)上为减函数，若

g=,则方程f(x)=0的根的个数是

A.2B.2或C.3D.2或3

24.已知抛物线y2=6x的焦点为F,点A(0,-1),则直线AF的斜率为

()o

3

A.2

_3

B.2

_2

C.3

2

D.3

25.甲、乙两人独立地破译一个密码，设两人能破译的概率分别为P1,

P2,则恰有一人能破译的概率为()-

A.1—(1-/>])(1—pi)B.pipi

C.(1—/>,)p2D.(1—%“2+(1-pt'ipy

26方程V+0+2=0的两根为Hi和12•若［+q=5•则m=

A.-10B.10C.-5D.5

27.

第8题3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的概

率是(

A.l/20B.l/15C.l/10D.1/5

28.下列函数中，不是周期函数

A.y=sin(x+7t)B.y=sinl/xC.y=l+cosxD.y=sin27rx

29.点(2,4)关于直线y=x的对称点的坐标为()。

A.(4,2)B.(-2,-4)C.(-2,4)D.(-4,-2)

30.在一张纸上有5个白色的点，7个红色的点，其中没有3个点在同

一条直线上，由不同颜色的两个点所连直线的条数为（）

A.A.RA-再

B.

C.1

D.卜…）

二、填空题（20题）

某射手有3发子弹,射击一次,命中率是0.8,如果命中就停止射击，否则一直射到

31.子弹用完为止，那么这个射手用子弹数的期望值是_____

计算3亍X3十一lo&io—logqA—

32.5-------------------,

33曲线＞="x；Ti在点（-1,0）处的切线方程为•

34.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，那么

这两个数为

35.各校长都为2的正四梭锥的体积为

36.

抛物线y2=6x上一点A到焦点的距离为3,则点A的坐标为

37.

若不等式|ar+1IV2的解集为|工|一/Vz•卜则a=

38.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人

送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有种.

39.已知随机变量g的分布列是:

a012345

P0.10.20.30.20.10.1

贝！IEg=_______

(18)从一批袋装食品中抽取5袋分射称重,结果(单位：。如下:

98.6,100.1,101.4,99.5,102.2,

_该样本的方差为_________________(/)(柄・到。1/).

40.

41.

在△ABC中,若co^A=号第,/C=158.BC=I.则AB=_________

42.函数f(x)=x2+bx+c的图像经过点(-1,0),(3,0),则f(x)的最小值为

43.(⑻向量明b互相垂直，且SI=1.则a•(。+»)=________

44.一束光线从点A(-3,4)发出，经x轴反射后，光线经过点B(2,6),入

射光线所在的直线方程是

已知双曲线3=I的阔心率为2,则它的两条渐近线所夹的锐角

ab

45.为•

AB4-AC4-CB-BA=

47.设黛敷(1+方)(■»♦i)的士晶和虚“相等.MH*>;

48数(i+/+i'Xl-i)的实部为.

/嗝(7+2)

49.函数27+3的定义域为

50.过点(1,-2)且与直线3x+y-l=0垂直的直线方程为

三、简答题(10题)

51.(本小题满分12分)

已知等差数列｛an｝中，al=9,«3+a8=0.

⑴求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

52.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少10件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

53.（本小题满分12分）

在△A8C中,A8=8&,B=45°.C=60°,^AC,ffC.

54.

（本小题满分13分）

已知圜的方程为/+/+ax+2y+/=0,一定点为4（1,2）.要使其过定点4（1.2）

作圆的切线有两条.求a的取值范围.

55.

（本小题满分13分）

如图，已知楠=1与双曲线G：3-丁=1(«>1).

aa

⑴设p分别是c,，G的离心率,证明v.<i；

(2)设44是G长轴的两个端点/(力,九)(1/1>a)在G上，直线犬4与G的

另一个交点为Q,直线尸4与G的另一个交点为上证明QR平行于y轴.

(25)(本小题满分13分)

已知抛物线y2=会，。为坐标原点J为抛物线的焦点.

(I)求IOQ的值；

(n)求抛物线上点P的坐标，使AOFP的面积为十.

56.

57.

(本小题满分12分)

在(a%+l)7的展开式中,%3的系数是％2的系数与％4的系数的等差中项,

若实数a>l,求a的值.

58.

(本小题满分13分)

巳知函数〃z)=

(I)求函数y=/(x)的单调区间.并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数;

(2)求函数y=/(«)在区间［0,4］上的JR大值和最小值.

59.（本小题满分12分）

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

（1）过这些点的切线与x轴平行；

⑵过这些点的切线与直线y=x平行.

60.（本小题满分13分）

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

四、解答题（10题）

6L（22）（本小题看分12分）

已知等比数列的各项都是正数.。严2.前3H和为1&

（1）求的通厘公式；

（U）设log,。・・求数列16.1的痈20鹏的和.

62.在边长为a的正方形中作一矩形，使矩形的顶点分别在正方形的四

条边上，而它的边与正方形的对角线平行，问如何作法才能使这个矩

形的面积最大？

已知函数♦(3-6o)*-120-4{owR}.

(1)证明：曲线y=/U)在*•。处的切线过点(2,2);

(2)若〃G在工=。处取得极小值•(1,3),求。的取值范陶

63.

6尔(23)(本小・清分12分)

如图,已知正三依侵尸-48C中,△/M8为等边三角形.£/分别为PA,PB的中点.

(I)求述PCJ.EFi

(11)求三棱傩P-EFC与三梭值P-ABC体积的比{ft.

65.已知J(H)=2cos2H+2QsinHCOSj：+a(aWR,a为常数).(I)若x《R,求f(x)的

最小正周(n)若人工)在［一号号］上的最大值与最小值之和为3,求a的值.

66.

已知函数人力=仝5&/+>0)有极值,极大值为4.极小仅为0.

C［)求a、b的值$

(n)求函数/(工)的范漏递增区间.

67.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每

次抽取1只，用自表示抽到次品的次数.

(1)求自的分布列；

(11)求自的期望E《)

68.

已知等差数列匕/中必=9.3+姓=0,

（I）求数列{4＞的通项公式；

《II）当”为何值时，数列＜4）的前n项和S.取得最大值，并求出该最大值.

已知函数/（工）=30#—5»，+伙。＞0）有极值,极大值为4.极小值为0.

C［）求a.b的值；

69.

已知△X8C中，4=30。，BC=\,AB=AC.

（1）求48；

701【，求八48。的面积.

五、单选题（2题）

71.设全集I={a,b,c,d,e},集合M={a,b,d},N={b},则集合"UN是（）

A.{b}B.{b,d}C.{a,b,d}D.{b,c,e}

已知底面边长为6的正三校锥的体积为90,则此正三棱锥的高为

A.6店B.3而

72.C.2病D.＞/6

A.A.AB.BC.CD.D

六、单选题（1题）

i为虚数单位，则（2-3i）（3+2i）=（

（A）12-13i（B）-5i

731C।12+5,:D）i2-51

参考答案

l.C

只有①不正确.(答案为C)

2.C

本题考查了一元二次不等式的解集的知识点。

x2—2x<C0=>x(x•-2)V0=>0VnV

2,故解集为｛z|0V①<2).

3.A甲乙必须排在两端的排法有C/A22=4种.

4.B

5.B

6.A

求两个向量的数量A*b=|a|*|b|cos<a,b>=6*2*cosl20°=12*(-l/2)=-6.

7.C

该小题主要考查的知识点为圆的方程.【考试指导】

由题素_,0-1-3|=

44)2+(―])2

2,则圆的方程为彳+0一])2=4.

8.B将圆的一般方程配方得出圆的标准方程.x2+y2-4x-5=0^(x-

2)2+y2=9=32,则点P(5,0)在圆上只有一条切线(如图)，即x=5.

9.C

利用三角函数的诱导公式、二角差的正弦公式及二倍角的正弦公式进

行计算求值.

1Gsin8O--V3SinlO*2（彳一号sinlO

丽一-------^而^=-----MnlO^coslO*

《疝\（80“一60'）=43成0・

(答案为C)

10.D

ll.B

由题意，共有3女5男，按要求可选的情况有：1女2男，2女1男，

故内种）.本题是组合应用题.考生应分清本题无顺序要求，两

种情况的计算结果用加法（分类用加法）.

12.A3个球中有黑球的取法有种.

13.C

14.B

如・D・（T2）

15.C

该小题主要考查的知识点为函数的奇偶性及单调性.【考试指导】

/《一工）=——=—/（X）,f（x）,

当iVO或才>0时/（J-）<0.故^=」-是奇函

X

区•且在（-8,0）和（0.+8）上单调递减.

16.C

17.DX=1=>X2-1=0,而X2-1=0=>X=1或X=-1,故p是q的充分但不必要

条件.

18.D

不等式x*-x,等价于x，+x-6K）.利用因式分解法可得（x+3）（x-2）K）.所以

x&3或它2,即原不等式的解集为（心，-3]U[2,+◎.

19.B

甲打中靶心的概率为0.8,打不中靶心的概率为1-O.8=0.2.乙打中

靶心的概率为0.9,打不中靶心的概率为1-0.9=0.1.两人都打不中靶

心的概率是0.2x0.1=0.02.（答案为B）

20.A

,4d_a

A斛析：由巳如"("「8)x5•区学也"让然

---二1014"//

21.C该小题主要考查的知识点为函数.【考试指导】f(2)=f(1+1)=lx

(1+1)=2.

22.D

从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一【考点指要】本题考查排

列、组合的概念，要求考生会用排列组合的数学公式，会解排列、组

合的简单应用题.个偶数数7外(种可能'选出两个奇数数字有

C种情况.由个偶数数学和两个奇数数了组成

无重复数字的三位数.有N肿情况.这是分三个

步骤完成的•故应用分步计算原理,把各步所用结

果乘起来,即共有C•C•A：=3X3X6=54个

三位数.

23.A

由已知f(x)为偶函数，所以f(x)关于y轴对称

-f>>0,

/(>/3)=/(—>/3K0.

由函数连接性知・工由-V3变化到一■，图数值

由负变为正•工由十变化到J5■•雷数值由正更为

负.故方程/(•!•)=0的根的个数是2(用田表示，

如下国).

24.D

本题考查了抛物线的焦点的知识点。

3

抛物线：y2=6x的焦点为F(三，0),则直线AF的斜率为

2-03

2„

25.D

该小题主要考查的知识点为相互独立事件.【考试指导】

设事件A为甲破译密码，事件B为乙破

译密码，且A与8相互独立，则事件疝+拈为恰有一

人能破译密码,P(®+AB)=p(疝)+p(AB)=

P(A)P而)+P(A)P(B)=A<1-A)+A<1-/h).

26.A

(由达定理)知+4=-，2m=2.所以

由一元二次方程根与系数的关系±++=.=可-厘得*T0.本题

主要考查一元二次方程根与系数的关系及考生的运算能力.

27.C

28.B

A是周期函数，B不是周期函数，C是周期函数，D是周期函数.

29.A该小题主要考查的知识点为点关于直线对称.【考试指导】点(2,4)关

于直线y=x对称的点为(4,2).

30.C

31.56

32.

7

【解析】该小题主要考查的知识点为对数函数与指数函数的计算.

51Q

3TX3T-log410-log4卷=3?一

(log<10+log4-1-)=9-log,16=9-2=7.

【考试指导】

y=-4-(*+1)

33.

34.

35.

36.

19.(y.±3)

37.

【答案】2

【解析】该小题主要考查的知识点为不等式的解集•

【考试指导】

|ar4-l|<2=>-2<ar+l<2=>

---)<工<2"，由题意知a=2.

aa

38.

39.

40.(18)1.7

41.

△ABC中,0<A<180*.sinA>0,sinA,=JIT

一/丝也立

由正弦定理r可-知AAh8=』BCsin-C---l-X-s—jnl=50不"=~2看.4《U答案为号)和、

10

42.-4

由于函数开口向上，故其在对称轴处取得最小值，又函数过点(-1,

-1*3

0),(3,0),故其对称轴为x=fmin(l)=l+b+C,而f(-l)由1-

b+c=0,f(3)=9+3b+c=0,得b=-2,c=-3,故fmin(l)=l-2-3=-4.

43.（18）1

44.答案：2x+y+2=0

20题答案图

作8点关于工轴对•林的点B'(2.-6).连接

AB'.AB'即为入射光铁所在直域,由两点式知

45.

46.

【答案】3AB

AB+AC+CB-HA

>-AB+XB-BA

=2AB+AB=3XB.

47.

-3Mfr:事复鼓时・产力(・-2)叮幡e

48.

49.

【答案】5-2〈I4-1,且—一"|"

“明.《1+2>20

工》-2

J+2>O-

3

121+3#0

=>-2V*&-1•且1#—不

所以函数y~的定义域是

(上|-2v上&-T.JL.r关—3).

50.x-3y-7=0

解析：本题考查了直线方程的知识点。

因为所求直线与直线3x+y-l=0垂直，故可设所求直线方程为x-

3y+a=0；又直线经过点(1,-2),故l-3x(-2)+a=0,则a=-7,即所求直

线方程为x-3y-7=0o

51.

(I)设等差数列10.1的公差为(由已知,=0,得

2a,+9rf=0.又已知5=9.所以d=-2.

散列la.|的通项公式为a.=9-2(n-1).即a”=H~2n.

(2)数列la.l的前n项和

S.=3(9+l-2n)=-“'+10n=—(n-5)3+25.

当。=5时取得最大值25.

52.

利润=惜售总价-进货总价

设期件提价工元(*才0).利润为y元,则每天售出(100-10M)件,销传总价

为(10+G-(l00-10x)x

进货总价为8(100-1。*)元(0WXW10)

依题意有：》=(10+*)•(100-lOx)-8(100-10*)

=(2+x)(100-10x)

=-1OxJ+8O*+2OO

八-20x+80,令力0得M=4

所以当*=4即售出价定为14元一件时,噬得利润最大，最大利润为360元

53.

由已知可得A=7*.

又sin750=sin(45°+30°)=sin45°cos300+«»45oMn30o=^-J-♦.......4分

在△〃?(：中，由正弦定理得

ACBC8而8分

sin45°-sin750sin600'

所以4c=16.8C=86+8・……12分

54.

1

方程/+/+OX+2y+1=0表示园的充要条件是1+4-4a>0.

即/".所以-圣信VaV^j"百

4(1.2)在91外,应满足：l+21+a+4+a3>0

即J+a+9>0.所以aeR

综上,。的取值范围是(-苧，莘)•

55.证明:(1)由已知得

-1：/a2+11/a-I4/,JTJ

eg-......二—=—

又a>l,可得O<(L)，<1,所以.ejtfj<L

a

(2)设Q5,)，做巧.力),由题设，

将①两边平方.化简得

(与+a)y=(<1+a)2y».

由(2X3)分别得y：=』(x：-oJ).y：=1(1-M)，

aa

代人④整理得

口=士:，即

。，七XQ4a*

同理可得*,=£.

所以处=x,~0,所以。肚平行于，轴.

(25)解：(I)由已知得F(4-,0),

O

所以I0F1=1.

O

(D)设P点的横坐标为3(#>0)

则P点的纵坐标为容或-照，

△。尸。的面积为

)1/T1

28V24'

解得*=32,

56.故P点坐标为(32,4)或(32.-4).

由于(3+1)'=(1+<«)7.

可见.展开式中的系数分别为C；a‘.Cia1,Cia4.

由巳知,2C；a'=C>：+C。'.

...皿，7x6x57x67x6x533in一

Xa>1,则2x[x)>a=)+---a,5<a-10a+3-0.

57.

(1)八£)令〃*)=0,解得x=l.当xe(b.l),/(力<0;

当“(1.+8)/(">0.

故函数/(外在(0/)是减函数.在(1.+8)是增函数.

(2)当*=1时4外取得极小值.

X/(0)=0,/(l)=-l.X4)«0.

故函数八%)在区间［0,4］上的最大值为0.最小值为-1.

59.

(1)设所求点为(q..。)..

=-6父+2,'=-6xo+Z

>••0

由于*轴所在直线的斜率为。.则-3。+2=0,与=/.

因此r«=-3,(y)1+2•3~+4=y-

又点分,号)不在.轴上,故为所求.

(2)设所求为点

由(l).y'=-6x0+2.

由于,=幺的斜率为I,则-6必+2=1.q=1.

O

因此，0=-3•4+2•春.+4=芋.

又点(高，¥)不在直线y=,上.故为所求.

60.

设三角形三边分别为a,，c且。+&=10,则6=10

方程2^-3x-2=0可化为(2*+l)G-2)=0.所以。产-y,x2=2.

因为a、b的夹角为九且1«»创W1,所以cosS=-y.

由余弦定理，得

c*=aJ+(10—a)1—2a(10—a)x(——)

=2a?♦100—20a+10a-a1=a?-10。+100

=(a-5)J+75.

因为(a-5)\0,

所以当a-5=0,即a=5叫c的值最小,其值为衣=5B

又因为a+〃=10,所以c取得最小值,a+b+e也取得最小值.

因此所求为10+5百.

61.

（22）本小题常分12分.

解：《【）设等比数列EI的公比为g.射2=14.

即

所以的・2.的・・3（含去）.

4分

通反公式为a.-2\

6分

（D）Sa■log}a,■lagl2*an,

设7>。瓦+4

■162♦•••420

10分

•yx2Ox(2O*l)>210.

12分

62.ABCD是边长为a的正方形，EFGH是要作的矩形

D

设HD=x,(0<x<a)则AH=a-x由已知EH〃

BD,HG〃AC,所以^AEH与aDHG都是等腰三角形

于是HG=&工、HE=&储一工）,

用）表示矩形的面枳.

则y=戊工•\f2（a-x）=-2x2+2ax

0-2（工—+号，

V0<x<a,

**•当工=号■时，yau=号・

可知正方形各边中点连得的矩形（即正方形）的

面枳最大•其值为冬

63.

■(1).f(i)»1»-1-6o

南人。)-12.-4/(0)=3-&存施3，£只・)在，«0抵用纱微方程力t

<3-6U),一,»4-12«

由此知曲线，・/(・：齐，=。及附切线二点(22)

(2)ijy(*》一o*，'・2«・i-，・a

①才-丹-iw・05-i时盘有极小值：

3J«f«>41或。<-q-i时，由/(・)・。喝

»i--a-、，《*.2cr.r7♦•t//♦2a-I,

Aft->j-口M设知I<-a♦v/j*2«-1<1

当。>互1叽不等式I<…，32・-l<3无”

当a<-八-1时.一不等式1<-•♦/・'+2a-IV1it-；<,<-<7-I.

煤含④②得。的取值icaa是1).

64.

(23)本小图海分12分.

解：(I)取成中点D.atgPD,CD.……2分

因为△4瓦△他是等边三角机所以31.PO.

必，点.可弼必，¥面血.所以匕，府又由已知

3J»EF//ABMPC1EF.••…6分

(0)因为△/>£/的面根是△碗的面枳的:.又三校

^C-PEF与三■健C■府的高相同,可知它的的体

枳的比为1：4.所以三般健P-EFC与三梭健P-ABC

的体枳的比值为;.12分

65.

【，考答案】/(1)—I十cos2i+