材料力学例题及解题指导

材料力学例题及解题指导〔第二章至第六章〕第二章拉伸、压缩与剪切例2-1试画出图a直杆的轴力图解：此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力。先求AB段轴力。在段内任一截面1-1处将杆件截开，考察左段〔图2-5b〕。在截面上设出正轴力N1。

由此段的平衡方程X＝0得N1－6＝0，N1＝＋6kN图2-5N1得正号说明原先假设拉力是正确的，同时也就说明轴力是正的。AB段内任一截面的轴力都等于+6kN。

再求BC段轴力，在BC段任一截面2-2处将杆件截开，仍考察左段〔图2-5c〕，在截面上仍设正的轴力N2，由X＝0图2-5－6＋18＋N2＝0N2＝－12kNN2得负号说明原先假设拉力是不对的〔应为压力〕，同时又说明轴力N2是负的。BC段内任一截面的轴力都等于－12kN。同理得CD段内任一截面的轴力都是－4kN。画内力图，以水平轴x表示杆的截面位置，以垂直x的坐标轴表示截面的轴力，按选定的比例尺画出轴力图，如图2-5〔d〕所示。由此图可知数值最大的轴力发生在BC段内。解题指导：利用截面法求轴力时,在切开的截面上总是设出正轴力N，然后由X＝0求出轴力N，如N得正说明是正轴力〔拉力〕，如得负那么说明是负轴力〔压力〕。图2-6例2-2试求自由悬挂的直杆〔图2-6a〕由纵向均匀分布荷载q〔力／长度〕引起的应力和纵向变形。设杆长l、截面积A及弹性模量E均图2-6解：在杆上距下端为x处取一任意横截面m-m，那么该截面轴力为N(x)＝qx，根据此式可作出轴力图如图2-6b所示。m-m截面的应力为〔x〕＝N(x)/A＝qx/A。显然，悬挂端有最大轴力Nmax＝ql及最大正应力。求杆纵向变形，由于各横截面上轴力不等，不能直接应用公式(2-4)，而应从长为dx的微段出发。在x处取微段dx，其纵向伸长可写为杆件的总伸长研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时，杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力，此时单位杆长的分布力q＝A1，此处是材料单位体积的重量即容重。将q代入上式得到此处G＝Al是整个杆的重量。上式说明等直杆自重引起的总伸长等于全部重量集中于下端时伸长的一半。解题指导：对于轴力为变数的杆，利用虎克定律计算杆件轴向变形时，应分段计算变形，然后代数相加得全杆变形，当轴力是连续函数时那么需利用积分求杆变形。图2-7例2-3图2-7图2-7解：a杆：b杆：两杆应变能之比：解题指导：从本例可看出，在受力相同的情况下，刚度小的杆件应变能大。图2-8例2-4平行杆系1、2、3悬吊着刚性横梁AB如图2-8a所示。在横梁上作用着荷载G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A、l、E。试求三根杆的轴力N1、N2、N3。图2-8解：设在荷载G作用下，横梁移动到AB位置〔图2-8b〕，那么杆1的缩短量为l1，而杆2、3的伸长量为l2、l3。取横梁AB为别离体，如图2-8c，其上除荷载G外，还有轴力N1、N2、N3以及X。由于假设1杆缩短，2、3杆伸长，故应将N1设为压力，而N2、N3设为拉力。(1)平衡方程〔a〕三个平衡方程中包含四个未知力，故为一次超静定问题。(2)变形几何方程由变形关系图2-8b可看出B1B＝2C1C，即，或(b)(3)物理方程(c)将(c)式代入(b)式，然后与(a)式联立求解，可得解题指导：在解超静定问题中：假定各杆的轴力是拉力、还是压力，要以变形关系图中各杆是伸长还是缩短为依据，两者之间必须一致。经计算三杆的轴力均为正，说明正如变形关系图中所设，杆2、3伸长，而杆1缩短。例题及解题指导图3.6例2-5图3-6所示螺钉承受轴向拉力F，许可切应力[]和拉伸许可应力[]之间的关系为：[]=0.6[]，许可挤压应力[bs]和拉伸许可应力[]之间的关系为：[bs]=2[]。试建立D，d，t图3.6解：(1)螺钉的拉伸强度(2)螺帽的挤压强度(3)螺帽的剪切强度得：D:d:t=1.225:1:0.415解题指导：注意此题的剪切面、挤压面。图3.7例2-6一托板用8只铆钉铆于立柱上，如图3-7a，铆钉间距为a，F＝80kN，距离l＝3a。铆钉直径d＝20mm，许可切应力[]＝130MPa图3.7解：铆钉群的形心C位于立柱的y轴上。将力F向C点平移得到一个过C点的y向力F和一个顺时针转动的力偶Fl。通过C的力F在每个铆钉受剪面上引起的剪力相等，其值为F/8，图3-7(c)所示，图中只示出1、2、8三个铆钉沿负y方向的剪力F/8。力偶Fl在每一铆钉中也引起剪力，假设剪力方向与该铆钉中心至C的连线正交，而大小与连线长度成正比。图3-7(b)示出Fl引起的铆钉剪力；铆钉1、3、5、7的剪力都是Q1；2、4、6、8的剪力都是Q2。诸铆钉的剪力对C之矩之和等于Fl，即再利用，代入上式得铆钉2的总剪力Q2＝F/8＋F/4＝3F/8。铆钉1的总剪力是所以铆钉1、3受力最为危险，故＝115MPa<[]解题指导：在对铆钉群构成的连接件进行剪切强度计算时，要正确分析每个铆钉的受力。当外力通过铆钉群中心时，可以近似看作每个铆钉受力相同。当外力不通过铆钉形心时那么应根据实际受力情况分析铆钉受力。第三章例题和解题指导例3.1传动轴〔图4-5(a)〕的转速n＝300r/min，主动轮A输入的功率P＝400kW，三个从动轮输出的功率分别为PB＝120kW，PC＝120kW，PD＝160kW。试画轴的扭矩图。解：(1)计算作用在各轮上的扭矩m。因为A是主动轮，故mA的转向与轴的转向一致；而从动轮上的转矩是轴转动时受到的阻力，故从动轮B、C、D上的转矩方向与轴的转向相反。〔2〕求各段轴的扭矩。先求1-1截面扭矩，从该截面切开，保存右段，并在截面上设出正扭矩MT1〔图4-5〔b〕〕。由平衡条件mx＝0，有mD－mA－MT1＝0得这里MT1得负号说明该截面的扭矩是负号。在A、B轮之间所有截面的扭矩都等于－12.74kNm。仿此可得出MT2＝－8.92kNm，MT3＝－10kNm。〔3〕画扭矩图。以横坐标表示截面位置，以纵坐标表示扭矩，按选定的比例尺作出AB、BC、CD三段轴的扭矩图，因为在每一段内扭矩为常数，故扭矩图由三段水平线组成，如图4-5(c)。最大的扭矩7.64kNm发生在中间段。解题指导：求轴横截面扭矩时，在截面上总是设出正扭矩MT，再用mx＝0求此扭矩。如MT得正号说明是正扭矩，如得负号那么说明是负扭矩。假设将此例中的A、B轮对调，那么扭矩图如图4-5(d)所示，由此可知，合理布置荷载可以降低内力的最大值，提高杆件的承载能力。例3.2传动轴为钢制实心轴，最大扭矩MT＝7.64kNm，材料的许可切应力[]＝30MPa，切变模量G＝80GPa，许可扭角[]＝0.3/m，试按强度条件和刚度条件设计轴径d。解：根据强度条件式(4-6)得出：再根据刚度条件式(4-9b)得出：两个直径中应选其中较大者，即实心轴直径不应小于117mm，说明在此设计中刚度是主要的。例3.3圆轴受外力偶矩m＝2kNm，材料的许可切应力[]＝60MPa。〔1〕试设计实心圆轴的直径D1;〔2〕假设该轴改为=d/D=0.8的空心圆轴，式设计空心圆轴的内、外径d2、D2解：〔1〕扭矩MT=m=2kNm，实心圆截面直径〔2〕假设改为＝0.8的空心圆轴，设计外径内径d2=0.8×D2=0.8×66.0＝52.8mm。〔3〕比拟二者面积空心轴的截面积：实心轴的截面积：=解题指导：由此例可见使用空心圆轴比实心圆周可以节约很多材料，其主要原因是空心圆轴的材料布置离轴心较远，充分发挥了材料的承载能力。图4-6例3.4计算图4-6受扭圆轴的应变能。设d1=2d2，材料的切变模量为G图4-6解此轴扭矩是常数，MT=m，但AB和BC截面尺寸不同，因此应分段计算应变能，然后-再相加。有附录局部例题和解题指导例1求图5-5所示截面的形心C的位置。图5解：该截面具有纵对称轴，那么形心一定在此对称轴上，因此只要求出形心在高度方向的值即可确定形心。选取参考坐标系，以对称轴为y轴，x0轴选择截面的下边缘。下面用两种方法计算形心C的座标yc图5图图6解法1，将该组合截面分割为①、②、③三个矩形截面，如图5-5。它们的面积Ai和形心Ci的纵座标yci分别是于是截面形心C在参考轴xoy系内的纵坐标yc为解法2，也可将以上组合截面看作在①200×310矩形的根底上，挖去一个②180×300的矩形，挖去矩形的面积取为负值。于是矩形①、②的面积及形心坐标y’ci分别为截面形心C在参考轴xoy系内的纵坐标yc为两种解法结果完全相同。解题指导：计算形心时参考坐标轴可以任意选取，但好的选择可以使计算更容易。此题的第二种解法称为负面积法，是计算截面几何性质时常用的方法。例2试计算图5-7所示图形对水平形心轴x的的形心主惯性矩。解〔1〕求形心。建立参考坐标轴x1、y，形心显然在对称轴y上，只需求出截面形心C距参考轴x1的距离yc。将该截面分解为两个矩形，各矩形截面的面积Ai及自身水平形心轴距参考轴x1的距离yci分别为：Ac1=200×50=10000(mm)2，yc1＝150mm;Ac2=50×150=7500(mm)2，yc2＝25mm;图5-7图5-7〔2〕求形心主惯性〔略〕第四章弯曲内力例题及解题指导图6.3例4.1写出图6-3图6.3解：〔1〕分两段列Q、M方程：AC段CB段〔2〕作图：AC段剪力：剪力方程是x的一次函数，剪力图是斜直线，由两点即可确定该直线。当x=0，QA=0；当x=a，得QC=－qa。BC段剪力：剪力图是水平线，由于C点无集中力作用，C点剪力连续，Q＝QC=－qa。AC段弯矩：弯矩方程是x的二次函数，由q＝c<0，q与弯矩的关系知，弯矩图是下凸抛物线。当x=0，MA=0；当x=a，得。BC段弯矩：弯矩方程是剪力图是x的一次函数，弯矩图是斜直线。因梁上没有集中力偶，弯矩图在C点应连续，x=2a时，。作出剪力图和弯矩图如图示。图6.4例4.2试绘出图6-4图6.4解：(1)利用平衡条件求出A、B支座的支反力YA和YB。mA＝0，20×1－40＋YB×4－10×4×2＝0∴YB＝25kNmB＝0，20×5－YA×4＋10×4×2－40＝0∴YA＝35kN(2)列CA段Q、M方程：建立坐标系，以C端为x轴坐标原点，CA段距左端为x的任意截面，取左侧为对象，那么Q1＝－20，〔0＜x＜1m〕 (a)M1＝－20x，〔0≤x＜1m＝ (b)(3)列AB段Q、M方程：AB段距C端为x的任意截面，如取右侧为对象，那么Q2＝－YB＋q(5－x)＝－25＋10(5－x)〔1＜x＜5＝(c)M2＝YB(5－x)－q(5－x)(5－x)/2＝25(5－x)－5(5－x)2，〔1＜x≤5＝(d)利用(a)、(b)和(c)、(d)式可绘出CA和AB段的Q、M图〔图6-2b，c〕。(4)检查Q、M图的正确性a、利用集中力、集中力偶作用处的突变关系。梁上C、A、B三处分别有集中的力20kN(↓)、35kN(↑)、25kN(↑)，因而由左向右经过上述各处时，剪力图分别突变20kN(↓)、35kN(↑)、25kN(↑)，因C、B在梁的两端，上述突变表现为C右截面剪力为－20kN，B左截面剪力为－25kN。梁上A处有顺时针集中力偶40kNm，因而A处左截面至右截面的弯矩突变+40kNm。b、利用微分关系对于CA段，分布荷载集度q＝0，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。对于AB段，q＝－10kN/m，剪力图为斜直线，并在A右1.5m处〔D截面〕剪力为零。弯矩图为下凸的二次抛物线，并在D截面有极大值。解题指导：截面的内力既可以用截面的左半局部计算也可以用截面的右半局部计算，所得结果相同。画出内力图后利用微分关系和Q、M图的规律检查内力图的正确性，可以确保结果正确。图6.5例4-3作出图示具有中间铰链〔图6-5a图6.5解：(1)求支反力：在中间铰链处将梁拆开成两局部，其间的相互作用力以QB代替，如图6-5(b)所示。显然，拆开后连续梁可以看成一个受集中力偶的简支梁和一个梁上受均布力、自由端受集中力QB的悬臂梁。由简支梁AB很容易求出QB:(2)分别作简支梁AB和悬臂梁BC的弯矩图，如图6-5〔c〕。因单个梁的弯矩图很容易得到，作图过程在此不再赘述。注意两个梁的弯矩图应合并画在同一条水平轴线上。解题指导：(1)求解有中间铰链的连续梁问题，一般都从铰接处拆开。拆开后能独立存在的局部称为主梁，如图中的BC梁；不能独立存在的局部称为辅梁，如图中的AB梁。先从辅梁上解出铰链处的约束力，再把此约束力当作外荷载加到主梁上，这样就变成了两个简单梁，作这两个简单梁的内力图并连接到一起，即为有中间铰链梁的内力图。(2对转动，固中间铰链只能传递力不能传递力偶。因此只要铰链左右两侧没有集中力偶，其弯矩应为零。图6.6例4.4利用剪力、弯矩与荷载集度的关系作图6-6图6.6解：计算支座反力YA＝YB＝qa/4AC段剪力：q=c<0，剪力为下降的斜直线，A点剪力：QA=qa/4，C点偏左剪力：QC左=－3qa/4。AC段弯矩：q=c<0，弯矩为下凸抛物线，A点弯矩：MA=0，C点偏左弯矩：在距离A端支座为a/4的D处，剪力等于零，弯矩在此截面应有极值：BC段剪力：q=c>0，剪力为上升的斜直线，C点剪力：因C点无集中力，剪力在C点连续，C点偏右剪力：QC右=QC左=－3qa/4；B点剪力：QB=qa/4。BC段弯矩：q=c>0，弯矩为上凸抛物线，C点偏右弯矩：MC右=qa2/4，B点弯矩：MB=0。在距离B端支座为a/4的E处，剪力等于零，弯矩有极值:根据以上分析和计算，画出剪力、弯矩图如图6-6(b)、(c)所示。解题指导：熟练掌握剪力、弯矩图的规律，可以不写剪力、弯矩方程，直接绘图。对称结构承受反对称荷载时，剪力图是对称的，弯矩图是反对称的。图7-7图7-7例5.1将一根直径d＝1mm的直钢丝绕于直径D＝1m的卷筒上〔图7-7〕，钢丝的弹性模量E＝200GPa，试求钢丝由于弹性弯曲而产生的最大弯曲正应力。又材料的屈服极限s＝350MPa，求不使钢丝产生塑性变形的卷筒轴径D1应为多大。解：〔1〕最大弯曲正应力由式(7-2)，有曲率与弯矩间的关系即又〔2〕求轴径D1，那么得轴径D1＝0.571m解题指导：钢丝的直径d远小于卷筒的直径径D，因此钢丝的曲率半径可以近似为。例5.2T字形截面铸铁梁的荷载及截面尺寸如图7-8(a)示，C为T形截面的形心，惯矩Iz＝6013×104mm4，材料的许可拉应力[t]＝40MPa，许可压应力[c]＝160MPa，试校核梁的强度。图7-8解：梁弯矩图如图7-8(b)所示。绝对值最大的弯矩为负弯矩，发生于B截面上，应力分布如图7-8(c)图7-8＝36.2MPa<[t]＝78.6MPa<[c]虽然A截面弯矩的绝对值|MA|<|MB|，但MA为正弯矩，应力分布如图7-8(d)所示。最大拉应力发生于截面下边缘各点，由于y1>y2因此，全梁最大拉应力究竟发生在哪个截面上，必须经计算才能确定。A截面最大拉应力为＝39.3MPa<[t]最大压应力在B截面下边缘处，最大拉应力在A截面下边缘处，都满足强度条件。解题指导：由此例可知，对于铸铁等脆性材料，由于拉、压许可应力不等，通常制成上、下不对称截面，以充分发挥材料的承载潜力。应特别注意此种梁的弯矩有正、有负时，可能出现两个危险截面，而且两个危险点可能不在同一个截面上。例5-3矩形截面悬臂梁如图7-9示，试计算梁的最大切应力和最大正应力并比拟大小。解：梁的最大弯矩在固定端处，Mmax=Pl,剪力在梁的各截面均为常数，危险截面在固定端处。图7-9图7-9应力比：解题指导：对于细长梁，如l＝5h，那么有max＝0.05max，亦即最大切应力远小于最大正应力。这一结论适用于通常的非薄壁截面梁〔指厚壁截面梁及实心截面梁〕。一般说来，非薄壁截面细长梁横力弯曲的强度计算可以只考查正应力强度，不必考虑切应力。但对于顺纹方向抗剪强度差的材料如木制梁及切应力较大的薄壁截面梁或短梁〔跨度与梁的高度比小于5〕那么需同时进行正应力和切应力的计算。图7.10例5.4图7-10所示悬臂梁由三块胶合在一起，截面尺寸为：b=100mm，a=50mm。木材的[]＝10MPa，[]＝1MPa，胶合面的[j]＝0.34Mpa试求许可荷载[P]图7.10解：〔1〕由梁的抗拉强度确定的许可荷载P1〔a〕〔2〕由梁的剪切强度确定的许可荷载P2，〔3〕由胶合面的剪切强度确定的许可荷载P3，在三个荷载中选择最小的，得胶合梁的许可荷载[P]=3.75kN。解题指导：在上面胶合梁中假设胶合层发生破坏，那么杆的弯曲特性随之而改变，抗弯强度将会显著降低。设三个梁接触面间摩擦力甚小，每个梁可以自由弯曲，且弯曲曲率完全一样。这时，可近似认为每个梁上承当的外力等于P/3，那么每一梁的最大正应力等于与式〔a〕比拟，最大正应力增加了三倍。第六章弯曲变形例题及解题指导例6.1用积分法求图8-2所示梁挠曲线方程时，要分几段积分？将出现几个积分常数？列出确定其积分常数条件。〔弹簧刚度为k〕图8-2解：〔a〕分两段积分，1.AC段，2.CB段。4个积分常数。边界条件：vA=0，vB=RB/k(RB为B点支反力)连续条件：vC1＝vC2C1＝C2〔b〕分三段积分，1.AD段，2.DC段，3.CB段。6个积分常数。边界条件：vA=0，A=0，vB=0，连续条件：vD1＝yD2，D1＝D2，vC2＝yC3。解题指导：〔1〕在荷载突变处、中间约束处、截面变化处〔惯性矩