2023年河南省许昌市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年河南省许昌市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.若a=（2x,1,3）,b=（l,-2y,9）,如果a与b为共线向量，则

（）

A.A.x=1,y=1

B.

c13

C.（,—,

2.掷两颗均匀的骰子，出现的点数之和为10点的概率是（）

I

A.A.1

c.c-l

D.1'-1

正三棱锥底面边长为m,侧校与底面成60。角，那么校锥的外接圆锥的全面积为.

()

•-(A)irm2(B)~irm2

3©%(D)y-irm2

4：次函数八:一;♦的最大值为()

A.A.2B.3C.4D.5

已知底面边长为6的正三梭锥的体积为9立，则此正三棱锥的高为

A.6居B.376

5.C.2痣D.&

A.A.AB.BC.CD.D

6.在棱长为2的正方体中，M、N分别为棱的AA，和BB，中点，若。为

直线CM与D，N所成的角，则sinO=()

A.1/9

45/5

B.9

C.2/3

2层

D.~^~

2

y=-----

7.曲线,1-x的对称中心是()。

A.(-l,0)B.(0,1)C.(2,0)D.(l,0)

8.

设而=[1.3,-2],正=[3,2.-2].则就为(

A.{2,-1,-4}B.{-2,1,-4}C.{2,-1,0}D.{4,5,-4)

9.5名高中毕业生报考3所院校，每人只能报-所院校，则有()

A.P?

B.53

C.35

D.C?

直线+±=1在了轴上的截距是()

ab

(A)Ial(B)a2

10.(C)-a1(D)±a

11.若方*示两条♦线.Um的取值&A.1B.-lC.2D.-2

12.下列不等式成立的是()0

A.Iog25>log：3B.>(y)

C.5T>3一+D.log15>log|3

13.若a,b,c成等比数列,则Iga,Igb,Ige成()

A.A.等比数列

B.等差数列

C等比数列或等差数列

D.无法确定

命题甲:x>”,命题乙:*>2d则甲是乙的（）

（A）充分条件但不是必要条件（B）必要条件但不是充分条件

14（C）充分必要条件（D）不是必要条件也不是充分条件

15.不等式x>6—x的解集是()

A.[-2,3]B.(-oo,-2]U[3,+oo)C.[-3,2]D.(-oo,-3]U[2t+oo)

16.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，这2个数都是偶数的概率

为()。

2

A.io

1

B.5

1

c.io

3

D.5

17.&敢,；•1的值城姑()

A.A.(0,+oo)B.(-℃>,+oo)C.(l,+℃)D.[l,+oo)

18.已知a>b>l,贝IJ()

A.log2a>log2b

,1,1

log3->loga-

B.ab

11

C.log2alogjb

logta>logjli

D.五3

19.a在第三、四象限，sina=碧三，则m的取值范围是

A.(-l,0)B.(-1,1/2)C.(-1,3/2)D.(-U)

20.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10,则点P坐标是

()

A.A.(9,6)B.(9,±6)C.(6,9)D.(±6,9)

21.在AABC中，已知2B=A+C,b2=ac,则B-A=

A.OB.K/6C.K/4D.K/3

22.已知向量冠而・(-u)充则1=()

A.-lB.2C.-2D.1

23函数y=co«件的最小正周期是

A.A.671B.3兀C.2兀DJT/3

在RtZUSC中，已知C=90。,8=75°,e=4,则b等于)

(A)%+&(B)而-户

24.(C)2V2+2(D)2O-2

函数yuln（i—1）'+—二的定义域为

25.工一】()o

A.{x|x〈-1或x〉1}B.{x|x〈1或x〉1}C.{x|-1<x<1}D.R

26.从红、黄、蓝、黑4个球中任取3个，则这3个球中有黑球的不同取

法共有（）

A.3种B.4种C.2种D.6种

3人坐在一排8个座位上，若每人的左右两边都有空座位，则坐法共有（）

（A）6种（B）12种

27（C）18种（D）24种

28.

x>0

K等式组3-x12Tl的解集是

()

A.A.{x|0<x<2}

B.{x|0<x<2.5}

C.{x|0<X<76}

D.{x|0<x<3}

不等式IXI<1的解集为

(A){x|x>l)(B){x|x<l}

29(C){x|-1<J<1}(D){x|x<-l}

30.从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数数字和两个奇数数

字组成一个无重复数字的三位数，总共有()

A.9个B.24个C.36个D.54个

二、填空题(20题)

31.

(19)巳知球的半径为1.它的一个小圜的面根是这个球衣面机的1.财球心到这个小05所在

O

的平面的距离是__________.

32•以点(2,-3)为圆心，且与直线X+y-l=0相切的圆的方程为

33.函数f(x)=cos2x+cos2x的最大值为

34.曲线y=x2.x+l在点(0,0)处的切线方程为

35.

已知/(X)=球'(a>0.aX1).且/(10&1O)=J.则a=.

2

21.曲线y=城―^在点（-1，°）处的切线方程____________

36.…2

37若sin0,cos0=1，则tan5£号^的值等J*

38.抛物线x2=-2py（p>0）上各点与直线3x+4y-8=0的最短距离为1,则

39.椭圆4•的离心率为

40如果工>0.那么的值域是.

设离散型随机变量X的分布列为

X-2-102

P0.20.10.40.3

41.则期JMIE(X)=

42.

函数jy=sinx8sx-H/Icos：N的最小正周期等于,

43.过点（2」）且与直线y=x+1垂直的直线的方程为______•

同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年

44,1则四张贺年卡不同的分配方式有一一种.

45.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

46.一个底面直径为32em的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放人桶

中完全淹没，水面上升了9cm,则这个球的表面积是cm2.

47.一个圆柱的底面半径和高都与一个球的直径相等，则该圆柱与该球

的体积的比为

48.已知a=(6,2),b=(-4,1/2),直线i过点A(3,-1),且与向量a+2b

垂直，则直线i的一般方程为

49.

-rmlO*--------------------------*

5。.已知5EY畀且3a"'则co喝直等于

三、简答题(10题)

51.(本小题满分12分)

设一次函数f(x)满足条件2/⑴+3f(2)=3且2/(-l)-f(0)=-1,求f(x)的

解析式.

52.(本小题满分12分)

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

53.

(本小题满分12分)

已知参数方程

x=/(—+e*)cosd,

y=--(e,-e-1)sind.

(I)若，为不等于零的常量,方程表示什么曲线？

(2)若也6冉,keN.)为常量.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点•

54.

(本小题满分12分)

已知数列中・%=2.o..|=yas.

(I)求数列I。」的通项公式；

(U)若数列凡1的前n项的和S・吟，求n的值•

55.

(22)(本小题满分12分)

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列,公差为d.

(I)求4的值；

(II)在以最短边的长为首项,公差为d的等差数列中，102为第几项?

56.(本小题满分12分)

椭圆2x2+y2=98内有一点A(-5,0),在椭圆上求一点内使|AB|最大.

57.(本小题满分12分)

#&WC中,48=876.fi=45。,C=60。.求4C.BC.

58.

(24)(本小题满分12分)

在44g中,4=45。,3=60。,站=2,求4加(：的面积.(精确到0.01)

59.(本小题满分12分)

已知Fi,吊是椭圆志+&=1的两个焦点,尸为椭圆上一点，且Z.K0吊=30。,求

△PK吊的面积.

60.(本小题满分12分)

设两个二次函数的图像关于直线X=1对称，其中一个函数的表达式为

Y=x2+2x-l,求另一个函数的表达式

四、解答题(10题)

己知公比为g(qwl)的等比数列｛%｝中.a,=-1.前3项和S)=-3.

(I)求g；

61.<11)求fa.｝的通项公式.

已知参数方程

(x=e'+e'')co85,

=-y(e*-e''

(1)若，为不等于零的常量,方程表示什么曲线？

(2)若叭8#~,keN.)为常量.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点•

62.

63.已知关于x,y的方程下十y+43m4/。姐=0.

证明：

(1)无论。为何值，方程均表示半径为定长的圆；

⑵当。=兀/4时，判断该圆与直线：y=x的位置关系.

三+匕=1

64.已知椭圆169，问实数m在什么范围内，过点(0,m)存在两条

相互垂直的直线都与椭圆有公共点。

65.

巳知椭画=斜率为1的直线，与C相交，其中一个交点的坐标为

(2,々)，且C的右焦点到/的距离为I.

⑴求

(II)求C的离心率.

66.已知数列｛an｝的前n项和Sn=?r(2n2+n)/12.求证：｛an｝是等差数列，并

求公差与首项.

67.已知函数f(x)=2x3-12x+l,求f(x)的单调区间和极值.

68设函数八］)=〃—3/—97.求

(1)函数/小的导数；

(H)函数f(x)在区间口,4］的最大值与最小值

69.

如果将进货单价为8元的商品按每件io元售出时，每天可销售100件。现采取提高售

出价,减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品每件涨价i元，其角售数依就减

少10件.问将售出价定为多少时,赚得的利涧最大？

70.已知函数f(x)=(x2+ax+2)ex(x,awR).

(I)当a=0时，求函数f(x)的图象在点A(l,f(l))处的切线方程;

(H)当a=-5/2时，求函数f(x)的极小值.

五、单选题(2题)

71.若a<b<0,则下列不等式中不成立的是

A.1>4-B.c.|a|>16ID.a8>

aoa—。a

若0<8<口，则

2

(A)sin0>cos0<B)cos0<cos20

72.(C)sin0<sin20(D)sin0>sin1©

六、单选题(1题)

设甲：x=】，

乙：x2=1»

则

(A)甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

(B)甲是乙的充分必要条件

(C)甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

73⑴)甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

参考答案

l.C

因为尸(2,.1.3)・1】-2”9)共线.所以早=玄丹,

解得N=*.y=—'!■.(答案为C)

2.D

点数组合的情况共有6X6=36种,出现的点数之和为10点的情况有3种.

所求概率是磊==.(骞*为D)

3.C

4.D

/(x)—--^-J^+ZX+S——(x-2)r45./(工)_=5.(答素为D)

5.D

6.B

JUCT的中餐•为F.连怙A'F,«1MC〃A'F.弁面iL线MC马D'N所成的角与A'F马D'N所产的角相札

°I22tanf要示_4理

NA'OD，=/d•；A'N，—.J.A'NR.tan彳=厘=存*=C丁

7.D

本题考查了函数图像的平移的知识点

y=—2y=—2y=—-2

曲线’X的对称中心是原点(0,0),而曲线l-x是由曲线

2

V=

向右平移1个单位形成的，故曲线1-x的对称中心是(1,0)o

8.C

9C将院校看成元素，高中生看成位置，由重复排列的元素、位置的条

件口诀:“元素可挑剩，位置不可缺”，重复排列的种数共有“元素种，即

将元素的个数作为底数，位置的个数作为指数.即：元素(院校)的个数

为3,位置(高中生)的个数为5,共有35种.

10.C

11.A

A♦就:力号可分・为若其祈网效宜帙.则必健分•川式.我当时限方

程可分解加，•尸2)(・-y)・5表小息条直抵t-y“a0闻A♦,-0.

12.A

该小题主要考查的知识点为不等式的性质.【考试指导】由对数函数图

像的性质可知A项正确.

13.B

14.B

15.D

不等式x*-x等价于x，+x-6N0.利用因式分解法可得(x+3)(x-2)K).所以

x£3或xN2,即原不等式的解集为(-8,-3]U[2,+oo).

16.C

本题考查了概率的知识点。

这2个数都是偶数的概率为P=废―10。

17.C

(/尸>0.尸(白尸+1>1.，其值域为(I.(卷案为C)

18.A函数y=log2X在(0,+8)上为增函数，由于a>b>l,故有log2a>

log2b.

19.C

，山0＜。,所以-1＜转＜。,即

2m-3

<0,(2m-3)(m-4)>0»

2m-3转+l>0

4—m>-l

((2m—3)(m—4)>0.

，26-3+14一切)二0

4-m

(2m-3)(m-4)X).3

mD(-4)<0o-K子

因为a是第三、四象限角，-1＜°(+m

20.B

,,:

f（r-l）+y=10,

抛物线炉二4工的焦点为F（1.0）.设点P坐标是Q.y）•则有

|/=4x.

解方程组.得，=9.y=士6.即点1,坐标是（9,士6）.（答案为B）

21.A在AABC中，A+B+C=7T,A+C=K-B,①•/2B=A+C,②由①②得

2B=K-B,/.B=TI/3又b2=a2+c2—2accosB=a2+c2-2ac.cos7t/3,/.b2=a2+c2-ac,

③又*/b2=ac,(4)由③④得ac=a2+c2-ac,(a-c)2=O,a=c，.二A=C,又<B=K/3,

「.△ABC为等边三角形，则B-A=O.

22.D

J4C-XB♦-0,0+1-L1)-10.2),故有t+]=2=〉t=l.

23.A

24.A

25.B

该小题主要考查的知识点为函数的定义域.

若想函数v=InCx-D^-^-r有

X-1

意义，然满足(工一>0尺工-1/0=>工#1.即

函数的定义城为<HIl>1或工V1}.

2

26.A3个球中有黑球的取法有CI'-C3=3种.

27.D

28.C

29.C

30.D

从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一【考点指要】本题考查排

列、组合的概念，要求考生会用排列组合的数学公式，会解排列、组

合的简单应用题.个偶数数7小C种可修选出两个奇数数字”

C'种情况,由一个偶数数字和两个奇数数字组成

无重复数字的三位数.有A和情况.这是分三个

步骤完成的•故应用分步计算原理,把各步所得结

果乘起来,即共有C•A；=3X3X6=54个

三位数.

31.四？

32.

(z-2)2+(y+3)2=2

33.

34.

x+y=O

本题考查了导数的几何意义的知识点。根据导数的几何意义，曲线在

k=y=—1,

(0,0)处的切线斜率5。,则切线方程为y-0=-l-(x-

0),化简得：x+y=0o

35.

由/(k>gJ0)=aW7=&*'•a'=¥=｝，得a=20.(答案为20)

4,

21.y=-y(x+l)

36.J

37.

2

械由皿)"汉"=包巴必逮一型‘匕卫"

---a?•故玳2.

丽txxx-M

【分析】本@寸土对•同角三角函皴的底机关系坎

的掌握.

38.

色

3

39.

皂

T

_______C.后

由题可知，a=2,b=l,故。=J/-』*点,离心率'"G'T.

40.[2,+oo)

y=x+—>2•--=2(*>0),

当x=l时.上式等号成立.所以ve12.+8).

41.°-1

42.

y=sinxcosx-4"^co»,x

函数k"inrcow+Qcos*jr的Ji小正周期为当=".（答案为x）

x+y-3=0

43.

9

44.

45.

r答案】暴

a・%a._L=在儿

224

由题意如正三校锥的侧校长为孝如

...（钊:（隼・行―

U-1乂gz展__>[23

vTxTaTa=s2ia-

46.

47.

48.

2%一3»—9=0【解析】直线上任取一点P（z,

y）»则PA=（3—x,—1—»）.因为a+2b=

（一2,3）,由题知或・（a+2b）=0,即一2（3一

公十3（—1一》）=0,整理得2z—3y—9=0.

49.

s,n80，

sin200cos20.cos40.%皿°&^T1

.（答案为十）

coslO^cos<90*-80*）sin804

_/If

50.答案：V2

H意cos与的正负.

5jrVaV?n（aW第三象限角），

•••竽〈发〈去（4€第二象限角）

故cos彳VO.

又■:'cosaI=m•：・cosa=—〃/・则

a_/1+cosa_/1-m

cosy--V-2~~V2,

51.

设/U)的解析式为/(*)=ax+b.

依题童科+"2a+b)=341

依我意得［(-a+6)-6=-l,解方程组,得a=淮=

••/(工)**一/••

52.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+XX500—10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

53.

(1)因为"0,所以e'+e-'»*o,e'-e-yo.因此原方程可化为

'yr^i-cw6'①

CTC

sin。.②

le-e

这里0为参数.①3+②1,消去参数8.得

4xJ4yZ„px2y1.

(ele-[Z*)'=押'

44

所以方程表示的曲线是椭网.

(2)由"竽入N.知Z"0.sin'"0.而»为参数,原方程可化为

①1-⑻.得

练-练=«+e•八(J-e-，尸.

cos6sin6

因为2¥/'=2/=2,所以方程化简为

因此方程所表示的曲线是双曲线.

(3)证由(1)知，在椭圆方程中记"2=乜斗型.配=运二户

d4

则c'=J-炉=1,c=1，所以焦点坐标为(±1.0).

由(2)知，在双曲线方程中记J=88%,M=sinX.

'则J=a'+b'=l,c=l.所以焦点坐标为(±1,0).

因此(1)与(2)中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

54.

(I)由已知得。.《0，箸=上，

**•

所以Ia.I是以2为首项，上为公比的等比数列.

■

所以a.=2(1"j.即4=占

(11)由已知可魄=2匕卬」,所以你=你'

12分

解得n=6.

55.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

a-d,Q,a+d,其中Q>0,d>0,

贝lj(a+d)2=a2+(a-d)2.

Q=4d,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=~^~x3dx4d=6,d=l.

故三角形的三边长分别为3,4.5,

公差d=l.

(n)以3为首项,1为公差的等差数列通项为

an=3+(n-l),

3+(«-1)=102,

n=100,

故第100项为102.

56.解

设点8的坐标为(M,.力)，则

MBI=/(x,+5),+y,1①

因为点B在椭圆上.所以2娼+y「=98

y「=98-2xj②

格②代入①,得

s,

I4BI=/(x,+5)+98-2x1

=/-(«?-10*I+25)+148

=7-(x,-5)1+148

因为-(4-5)'WO.

所以当巧=5时.-5>的值最大，

故1481也最大

当孙=5时.由②.得以==4百

所以点8的坐标为(5.4万)或(5.-4吁)时1481最大

57.

由已知可用A=75,

又sin75°=MD(450+30°)=sin450cos30°+«»45<>Bin30o.......4分

在AABC中，由正弦定理得

_2»C_____«C__JA……8分

sin45°~sin75--sin6O°'

所以4C=l6.8C=87T+8.……12分

(24)解：由正弦定理可知

等T瑞，则

sinAsinC

,a

7X-

“，ABxsin45°2〜6.、

BC=­:一式。=7--=2(百-1).

8m75°R+G

-4~

SA4ac=—xBCxABxsinB

»^-x2(^-l)x2x^

=3-4

58,"27.

59.

由已知.棚园的长轴长2a=20

设IPFJ=n,由椭0(|的定义知,m+n=20①

又/=100-64=36/=6,所以3(-6.0),吊(6.0)且W禺1=12

在中.由余弦定理得mJ+nJ-2皿8630。=12'

m'+n3-^3mn-144②

m'42mn+n2=400.③

③-②，得(2+万)mn=256,mn=256(2-而

因此.△用1产,的面枳为%wwin30°=64(2-8)

60.

由已知.可设所求函数的表达式为y=(x-m)'+n.

而y=x'+2*-l可化为y=(x+l)'-2-

又如它们图像的顶点关于直线x=l对称.

所以n=-2,m=3,

故所求函数的表达式为y=(、-3)'-2,即y=7-6x+7.

61.

解：(I)由已知得a,+qq+qg'=-3.又0t=-1•故

g，+g-2=0,......4分

解得g=1(舍去)或g=-2.……8分

(II)q=%g2=……12分

解（I）因为，火），所以e'+e-'，0.e'-eT»M）.因此原方程可化为

^■^77=sine,②

这里e为参数.①1+②2,消去参数九得

（e,+e-）1”一亍，却S+e-丁（e-L、

44

所以方程表示的曲线是椭圆.

（2）由。省入N.知cd“o,sin?"。.而，为参数,原方程可化为

2x

=e'fe：①

COS^

sind

①2■•②:，得

耳-■=(e'+eT)2-3-e—)'.

cos0sW。

62因为2e'e-'=2e°=2,所以方程化筒为

cos'"sin"6

因此方程所我示的曲线是双曲线.

（3）证由（1）知.在椭圆方程中记上=（，丁）.ny二）

则cI=a,-62=l,c=l，所以焦点坐标为（=1.0）.

由（2）知，在双曲线方程中记a:=cos20,b2=sin:0.

则J=1+力=1,c=1.所以焦点坐标为（±1.0）.

因此（1）与（2）中的两方程所表示的曲线有相同的焦点•

63.

(1)证明：

化简原方程得

x1+4/sin0+4sin0+y—4ycoM+4cos?0—

4sin?G-4cos=0.

(n+2§in8)?+(y-2coM”=49

所以,无论。为何值，方程均表示半径为2

的圆.

⑵当6=1■时,该园的圆心坐标为

4

0(-72.72).

圆心O到直线y=工的距离

d='一戊二⑪'=2=r.

即当6=子时项与直线y=工相切.

64.由椭圆方程可知，当|m|S3时，存在过点(0,m)的两条互相垂直

的直线，都与椭圆有公共点。当|m|〉3时，设11,12是过(0,m)的两

条互相垂直的直线，如果他们都与椭圆的有公共点，则他们都不可能

与坐标轴平行,

设方程l\iy=kx+fnJtzy——匚工+雁，

R

Z.与椭圆有公共点的充要条件是

x2（ix+7//）2

讳十-9一=1

即（9+16A*）1,+32kmx+16m?—144=0有

实根.

即（16A，"»（9+l6^）（16mz-144）＞0.

得公》甯.

同理，与椭圆有公共点的充要条件是

1、，/-9

区与F-，

（咤要尸＜】，即！，“I45.

In

65.

（I）由已知，直线/的方程为工一y-2+原"=0.

设C的右焦点为（c.0）,其中c＞0.由已知得

Ic-2+々|=],

72

解得f=2-2々（舍去）.c=2.

所以/=从+4.（7分）

因为点（2,JZ）在椭圆上,所以

4,2[

E+F=1・

解得6=-2（舍去36=2.所以a=272.