2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一（下）质检数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一（下）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数21+3iA.35 B.15 C.−12.已知两点A(4,1)，B(A.±(35,−45) 3.如图，在正方形ABCD中，下列命题中正确的是(

)A.AB=BC

B.AB=4.已知复数z满足z1−i−iA.−2+i B.−2−i5.在边长为1的菱形ABCD中，∠A=π3，若点P，Q满足BP=αBC，DA.12 B.3 C.138 6.在△ABC中，C=90°，点D在AB上，AA.8 B.10 C.12 D.167.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点.点P从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点Q(33,33A.9 B.10 C.11 D.128.已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4，在三角形ABC中心为圆心r(0<rA.13 B.89 C.511二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复平面内表示复数：z=m+1+(A.若z∈R，则m≠1

B.若M在复平面所在直线y=2x上，则m=3

C.若10.已知复数z1=2−i，A.z2是纯虚数 B.z1−z2对应的点位于第二象限

11.已知△ABC中，AB=1，AC=4，BC=13，D在A.BE=3

B.△ABC的面积为3

C.AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(3,4)，则与13.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足cosAa14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，bcosC四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在锐角△ABC中，已知b=23，2a−c=2b16.(本小题15分)

在复平面内复数z1、z2所对应的点为Z1、Z2，O为坐标原点，i是虚数单位．

(1)z1=1+2i，z2=3−4i，计算17.(本小题15分)

设△ABC的外接圆半径是12,A,C均为锐角，且|AC|=|AB|2+|18.(本小题17分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+3asinC−b−c=0．

(1)若a=3,2BD=DC，求A19.(本小题17分)

复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．

形如z=a+bi(a,b∈R)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，i2=−1.当b=0时，z为实数；当b≠0且a=0时，z为纯虚数.其中|z|=a2+b2，叫做复数z的模．

设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R

z1=z2⇔a=cb=d

如图，点Z(a,b)，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．

一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(c答案和解析1.【答案】D

【解析】解：21+3i=2(1−3i)(1+2.【答案】C

【解析】【分析】

解决此类问题的关键是正确表达向量与求出向量的模，并且熟悉单位向量的定义．

根据两个点的坐标写出向量的坐标表示，进而求出其模并且求出与向量同向的单位向量．

【解答】

解：因为两点A、B的坐标为A(4,1)，B(7,−3)，

所以AB=(3.【答案】D

【解析】解：正方形ABCD中，向量AB、BC方向不同，不是相等向量，A错误；

向量AB、CD大小相等，方向相反，不是相等向量，B错误；

向量AC与2AB的方向不同，不是相等向量，C错误；

|4.【答案】D

【解析】解：z1−i−i1+i=1，

∴z15.【答案】C

【解析】解：在边长为1的菱形ABCD中，∠A=π3，

则AB⋅AD=1×1×12=12，

又点P，Q满足BP=αBC，DQ=βDC，其中α，β>0且α+β6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．

选取CA，CB为基底，将【解答】

解：因为△ABC中，C=90°，点D在AB上，AD=3DB，|C7.【答案】B

【解析】解：每次跳跃的路径对应的向量为

a1=(3,4)，b1=(4,3)，c1=(5,0)，d1=(0,5)，a2=(−3,−4)，b2=(−4,−3)，c2=(−5,0)，d2=(0,−5)，

因为求跳跃次数的最小值，则只取a1=(3,4)8.【答案】A

【解析】解：建立如图所示坐标系，

则点A(−2,23),B(−2,−23),C(4,0)，

设点M(rcosθ,rsinθ)9.【答案】CD【解析】【分析】本题主要考查实数与复数，属于基础题．

根据已知条件，结合实数、纯虚数的定义，以及复数的几何意义逐项判断即可求解．【解答】

解：z=m+1+(m−1)i(m∈R)，

对于A，若z∈R，

则m−1=0，解得m=1，故A错误；

对于B，若M在复平面所在直线y=2x上，

则m−1=2(m+1)，解得10.【答案】AD【解析】【分析】

由已知分别利用复数代数形式的四则运算及复数模的求法逐一核对四个选项得答案．

本题考查复数代数形式的四则运算，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

【解答】

解：∵z1=2−i，z2=2i，

∴z2是纯虚数，故A正确；

z1−z2=(211.【答案】AB【解析】解：在三角形ABC中，由余弦定理cos∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=1+16−132×1×4=12，

∴∠BAC=60°，故S△ABC=12×AB×AC×sin60°=12×1×4×32=3，故B正确；

在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2−2AB⋅AE⋅cos∠BAC=1+4−2×1×2×12=3，

∴BE=3，故A12.【答案】(3【解析】解：∵a=(3,4)，

∴与a平行的单位向量可以为a|a|=(313.【答案】1

【解析】解：法1：cosAa+cosBb=sinCc⇒cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC=1，

而14.【答案】12【解析】解：在△ABC中，∵a=2，bcosC−ccosB=4=2a，

∴由正弦定理可得：sinBcosC−sinCcosB=2sinA=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC，整理可得：sinBcosC+3cosBsinC=0，即：sinA+2cosBs15.【答案】解：(1)由题意，2a−c=2bcosC，

根据正弦定理可得，2sinA−sinC=2sinBcosC，

则2sin(B+C)−sinC=2sinBcosC，

【解析】(1)利用正弦定理边化角，再借助三角函数和差角公式化简可解；

(216.【答案】解：(1)z1⋅z2=(1+2i)⋅(3−4i)=11+2i，

∵OZ1=(1,2)，OZ2=【解析】(1)根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出z1⋅z2=11+2i，可知OZ1=(1,217.【答案】解：(1)证明：记在△ABC中，A，B，C所对的边分别长度为a，b，c．

根据正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，所以a=sinA，b=sinB，c=sinC．

由|AC|=|AB|2+|BC|2，得b=c2+a2，有1≥sinB=sin2A+sin【解析】(1)由正弦定理，根据b=c2+a2，得到sin2C≤1−sin2A=cos18.【答案】解：(1)因为acosC+3asinC−b−c=0，

所以由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，

因为B=π−(A+C)，所以sinAcosC+3sinAsinC−sin(A+C)−sinC=0，

即sinAcosC+3sinAsinC−sinAcosC−cosAsinC−sinC=0，

所以3si【解析】(1)借助正弦定理及三角恒等变换公式可得A，借助余弦定理与正弦定理可将AD2表示为正弦型函数，借助正弦型函数的性质即可得解；

(2)借助面积公式，可得DE的最大值，设∠AC19.【答案】解：(1)z1⋅z2=r1(cosα+