2021届高考数学新人教版一轮复习学案讲义：第10章 第9讲　离散型随机变量的均值 （含解析）

第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布

［考纲解读］1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，并能根

据分布列正确求出期望与方差，并能解决一些实际问题.(重点、难点)

2.借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，掌握正态曲线的

相关性质，并能进行正确求解.

［考向预测］从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点题型.预计2021年将

会考查：①与分布列相结合求期望与方差，通过设置密切贴近现实生活的情景，

考查概率思想的应用意识和创新意识；②正态分布的考查，尤其是正态总体在某

一区间内的概率.题型为解答题中的一问，试题难度不会太大，属中档题型.

基础知识过关

1.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

・・・・・・

XX1%2为

・・・・・・

PPiP2PiPn

(1)均值：称E(X)=----^龙必----^龙“三为随机变量X的均值或数

学期望，它反映了离散型随机变量取值的02平均水平.

n

(2)D(X)-Zyp,为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均

i=l

值E(阳的03平均偏离程度,其算术平方根而可为随机变量X的标准差.

2.均值与方差的性质

(1)E(aX+b)=fflr/E(X)+Z?；

(2)D(oX+b)=^2a2D(X)(a,6为常数).

3.两点分布与二项分布的均值、方差

XX服从两点分布X〜B(H,p)

E(X)02np

D(X)03.(1-u)04np(1—p)

4.正态曲线

(1)正态曲线的定义

函数9〃,(“2夕,》©(—8,+°°),其中实数〃和cr(cr>0)为参数,

称外“(X)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线仪是正态分布的期望，。是正

态分布的标准差).

(2)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，关于直线Clx=〃对称:

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当。一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿x轴平移；

⑥当〃一定时，曲线的形状由。确定，03a越小,曲线越“高瘦”，表示总体

的分布越集中；。。越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.

5.正态分布

(1)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(tz<X<Z?)=J*(pg,/x)dx(即x

=a,x=b,正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分

布，记作X~N〃，/).

(2)正态分布的三个常用数据

①尸(〃一v<XWa+Q=(g0.6826；

②PS—2a<XW“+2R=020.9544；

③尸3-3«<XW〃+3(7)=030.9974.

口诊断自测

1.概念辨析

(1)随机变量不可以是负数，随机变量所对应的概率可以是负数，随机变量的

均值不可以是负数.()

(2)正态分布中的参数〃和a完全确定了正态分布，参数〃是正态分布的期望，

。是正态分布的标准差.()

(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方

差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.()

(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果

之和，它就服从或近似服从正态分布.()

答案⑴X(2)V(3)V(4)V

2.小题热身

(1)已知随机变量X的分布列如下，

X-202

111

P

333

则E(X)与D(X)的值分别为()

A.0,2B.0,1

C.2,0D.1,0

答案B

解析E(X)=(-2)X|+0X|+2X|=0,D(X)=(-2-0)2X|+(0-0)2X|+(2

⑵设］〜5(小p),若E©=15,£>©=11.25,则"=(

A.45

C.55

答案D

E(^)=np=15,2=0.25,

解析由

刀©=/我(1—p)=U.25,n=60.

(3)(2019•凉山州模拟)已知随机变量.且。〜N"一),若P(-3<e<-l)=

P(3<f<5),则〃=()

答案C

解析依题意，P(-3<e<-l)=P(3<f<5),

又区间(-3,—1)和(3,5)关于x=l对称，

结合正态分布的知识，关于x=〃对称的区域所对应的概率相等，所以〃=1.

r7

(4)已知X的分布列为,且Y=aX-\-3,E(Y)=y

则a为(

答案B

解析先求出E(&=(-1)XT+0X；+1X^=T再由y=aX+3,得E(K)=

aE(X)+3.

J

+3.解得a=2.

经典题型冲关

题型一离散型随机变量的均值、方差多角探究

【举例说明】

。角度1离散型随机变量均值与方差的计算

问题

1.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐

个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的数学期望是()

189

AA•5B2

「36「16

C.万D.§

答案D

解析当》=左时，第左次取出的必然是红球，而前左一1次中，有且只有1次

K一1

取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故P(X=k)=/=3-,于是得到X

的分布列如下.

X234567

121452

p

2121721217

故£，(X)=2Xyr+3X^j-+4X^+5Xy^+6Xyj-+7X'|=^Y.

乙JL乙JL/乙乙JL/J

2.(2019・济南模拟)已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=0,

D(X)=1,则尸(X<1)=.

X-1012

1

Pabc

12

2

答案3

解析,：E(X)=0,D(X)=1,

〃+6+°+适=1,

/.<—lXo+OXb+lXc+24=0,

J-l)2Xa+02X/;+l2Xc+22X^=l,

1

又

乩

C引-4-c=1,P(X<1)=P(X=—l)+P(X=0)=卷

12

+--

4-

3-

。角度2二项分布的均值、方差问题

3.(2019・南阳模拟)设随机变量X〜5(2,2)，随机变量¥〜3(3,p),若尸(XN1)

=|,则。(3丫+1)=()

A.2B.3

C.6D.7

答案C

解析..•随机变量X〜3(2,p),P(X^1)=1,

P(X=0)=C2(l—/?)2=1-:-P=y

.,.D(y)=n/7(l—/?)=3x|x^l—|j=|,

：.D(3Y+1)=9D(Y)=6.

4.(2019・泉州模拟)2018年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及

视频态的信息负载力，短视频快速崛起.与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面

反映了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部

分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加.某读书App抽样调查了非

一线城市M和一线城市N各100名用户的日使用时长(单位：分)，绘制成频率分

布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”.

(1)请填写以下2X2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为用户活跃与否与

所在城市有关？

活跃用户不活跃用户总计

城市M

城市N

总计

(2)以频率估计概率，从城市M中任选2名用户，从城市N中任选1名用户，

设这3名用户中活跃用户的人数为蜃求《的分布列和数学期望；

⑶该读书App还统计了2019年4个季度的用户使用时长y(单位：百万小时),

发现y与季度(x)线性相关，得到回归直线方程为y=4x+a.已知这4个季度的用户

平均使用时长为12.3百万小时，试以此回归方程估计2020年第一季度(x=5)该读

书App用户使用时长约为多少百万小时.

n(ad—be?

附：烂=其中〃=a+)+c+d.

(a+Z?)(c+J)(6z+c)(Z?+J)?

「(片三岛)0.0250.0100.0050.001

品5.0246.6357.87910.828

解（1）由已知条件可得以下2X2列联表:

活跃用户不活跃用户总计

城市M6040100

城市N8020100

总计14060200

L、，2200X(60X20—80X40)2200

因为100X100X140X60-21^9-524>7-879>

所以有99.5%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关.

⑵由统计数据可知，城市M中活跃用户占最3城市N中活跃用户占4

设从城市M中任选的2名用户中活跃用户数为X,则X〜3（2,I）.

设从城市N中任选的1名用户中活跃用户数为y,

4

则y服从两点分布，其中尸（y=i）=亍

由题意可得，的所有可能的取值为0,123.

PC=o）=p（x=o>p（y=o）=c[m=善

（2、432128

PC=D=p（x=o）.p（y=i）+p（x=i）.p（y=o）=c9.|j『.5+c后芯=后;

234,3、157

p（片2）=P（X=1）-p（y=I）+P（X=2）-p（y=o）=c旧苏+&.g『行=正;

pe=3）=p（x=2）.p（y=i）=c]|）《=含.

所以^的分布列为

e0123

4285736

P

125125125125

4,28,57,36

£(0=0*京+1*京+2*京+3*京=2

JL乙JJL乙JJL乙Jl4J

,一]+2+3+4

(3)由已知条件得x=------4-------=25

又y=12.3,

AAAAA

代入y=4x+a,得12.3=4X2.5+a,解得a=2.3,所以y=4x+2.3.

将龙=5代入上式，得y=4X5+2.3=22.3（百万小时），

所以2020年第一季度该读书App用户使用时长约为22.3百万小时.

角度3超几何分布的均值、方差问题

5.（2019•青岛二中模拟）随着经济的发展和个人收入的提高，自2018年10月

1日起，个人所得税起征点和税率依法进行调整.其中，纳税人的工资、薪金所得,

先行以每月收入额减除费用五千元以及专项扣除和依法确定的其他扣除后的余额

为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：

个人所得税税率表（调整前）

免征额3500元

级数全月应纳税所得额税率（％）

1不超过1500元的部分3

2超过1500元至4500元的部分10

3超过4500元至9000元的部分20

・・・・・・・・・

个人所得税税率表（调整后）

免征额5000元

级数全月应纳税所得额税率（％）

1不超过3000元的部分3

2超过3000元至12000元的部分10

3超过12000元至25000元的部分20

・・・・・・・・・

（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入为7500元（无专项扣除和依法

确定的其他扣除），请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多

少？

（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同级别员

工的税前收入，并制成下面的频数分布表:

[3000,[5000,[7000,[9000,[11000,[13000,

收入/元

5000)7000)9000)11000)13000)15000]

人数304010875

先从收入在［3000,5000）及［5000,7000）的员工中按分层抽样抽取7人，再从中选

4人作为新纳税法知识宣讲员.用。表示抽到作为宣讲员的收入在［3000,5000）元的

人数，人表示抽到作为宣讲员的收入在［5000,7000）元的人数.设随机变量Z=|a—

b\,求Z的分布列、数学期望及方差.

解（1）由于小李的工资、薪金等所得税前收入为7500元，按调整前起征点应

纳个税为1500X3%+2500X10%=295（元）.

按调整后起征点应纳个税为2500X3%=75（元）.

比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税比调整前少交220元.

所以调整后小李的实际收入比调整前增加了220元.

（2）①由频数分布表可知从收入在［3000,5000）及［5000,7000）的员工中抽取7个,

其中收入在［3000,5000）内的有3人，收入在［5000,7000）内的有4人，再从这7人中

选4人，所以Z的所有可能的取值为0,2,4.

cic?18

P(Z=0)=P(a=2,b=2)=

"cT35,

P(Z=2)=P(a=l,0=3)+P(a=3,b=l)

c|ci+dc116

==35)

C3C41

P(Z=4)=P(a=0,人=4)="^=4.

所以Z的分布列如下，

Z024

18161

P

353535

数学期望E1(Z)=0x1|+2x||+4X^=||.

万、差学”）=若18X（g■36司%I+,莞16X1（2一3司6Y+,若1X（4—祈36_1504

-1225-

【据例说法】

⑴求离散型随机变量X的均值与方差的步骤

①理解X的意义，写出X的全部可能取值.

②求X取每个值的概率.

③写出X的分布列.

④由均值的定义求E(X).

⑤由方差的定义求。(&.

(2)注意性质的应用：若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX十人的

均值是aE(X)+O,方差为/D(X).

(3)如果勿〜p),则用公式E(?=〃p,D(—=〃p(l—p)求解,可大大减少计

算量.见举例说明3.

【巩固迁移】

1.(2020.南充市高三摸底)设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=

k)=ak+b,又X的数学期望为E(X)=3,则a—6=()

A.七B,0

一11

C.一记D5

答案A

解析设离散型随机变量q可能取的值为l,2,3,4.P(^=k)=ak+b(k=1,2,3,4),

.•.(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=l,即10a+4b=l,又"的数学期望

=3,则(a+0)+2(2a+0)+3(3a+6)+4(4a+0)=3,即30a+106=3,b=Q,

..a-

2.(2019・沈阳模拟)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出

不穷.为调查某款订餐软件上商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”(单

位：分)，得到茎叶图如下：

289

3244568

4I3

⑴请计算“送达时间”的平均数与方差;

⑵根据茎叶图填写下表：

送达时间35分钟以内(包括35分钟)超过35分钟

频数AB

频率CD

(3)在(2)的情况下，以频率代替概率.现有3个客户用此软件订餐，求出在35

分钟以内(包括35分钟)收到餐品的人数X的分布列，并求出数学期望.

解(1)“送达时间”的平均数为

28+29+32+34+34+35+36+38+41+43八

---------------------------------------------------------=35(分),

方差为七X[(28—35)2+Q9—35)2+(32—35)2+(34-35)2+(34—35心+(35—

35)2+(36—35)2+(38—35)2+(41—35y+(43—35月=20.6.

(2)A=6,8=4,C=0.6,£)=0.4.

(3)由题意知，在35分钟以内(包括35分钟)收到餐品的人数X的所有可能的

取值为0,1,2,3.

P(X=0)=C?X0.6°X0.43=0.064；

P(X=l)=C3X0.6X0.42=0.288；

P(X=2)=C3X0.62X0.4=0.432；

P(X=3)=CiX0.63X0.4°=0.216.

所以X的分布列如下，

X0123

P0.0640.2880.4320.216

所以E(X)=0X0.064+lX0.288+2X0.432+3X0.216=1.8(或X服从二项分

布3(3,0.6),E(X)=3X0.6=1.8).

3.(2019•漳州二模)某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长

征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.

公园甲乙丙T

获得签名人数45603015

然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从

10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星

获得一份纪念品.

(1)求此活动中各公园幸运之星的人数；

(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为学，求乙公园中恰好

2位幸运之星获得纪念品的概率；

(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李

答对的问题数为X,求X的分布列、期望及方差.

解(1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为高X10=3,哥X10

3015

=4,助*10=2,7^X10=l.

1

⑵根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为

4'

所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为C

128-

22

⑶由题意，知X的所有可能取值2,3,4,服从超几何分布，P(X=2)=警2=W

JoID

c|ci8,"=4)=等q

P(X=3)=cfT=15

题型二均值与方差在决策中的应用

【举例说明】

(2019.南昌模拟)市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使

用寿命都超过5000小时.经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如

下频率分布直方图，

频率/组距

某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新

店面需安装该品牌节能灯5只(同种型号)即可正常营业.经了解，A型20瓦和B

型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装.已知A型和B型节能灯每只的

价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时.假定该店面正常营业

一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换.(用频

率估计概率)

(1)若该商家新店面全部安装了B型节能灯，求一年内恰好更换了2只灯的概

率；

(2)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，

请说明理由.

解(1)由频率分布直方图可知，B型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为

0.0010X(3800—3600)=02用频率估计概率，得B型节能灯使用寿命超过3600小

时的概率为千

4

所以一年内一只B型节能灯在使用期间需要更换的概率为，

所以一年内5只节能灯恰好更换了2只的概率为

(2)该商家应选择A型节能灯.理由如下：

一共需要安装5只同种节能灯.

若选择A型节能灯，一年共需花费5X120+3600X5X20X0.75X10-3=

870(TG).

若选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换的只数服从二项分布

3(5,D，所以一年需更换灯的只数的数学期望为5X,=4(只).

所以一年共需花费(5+4)X25+3600X5X55X0.75X10-3=967.5(元).

因为967.3>870,所以该商家应选择A型节能灯.

【据例说法】

解离散型随机变量的期望和方差应用问题的方法

(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出

随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算.

(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的

期望与方差公式计算，则更为简单.

(3)在实际问题中，若两个随机变量却，6.有EC)=E《2)或E4i)与E(&)较为

接近时，就需要用。(&)与。(&)来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望

最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最

大)的方案作为最优方案，巩固迁移】

(2019•湖北四地七校联考)有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司

的聘用信息如下：

甲公司乙公司

职位ABCD职位ABCD

月薪/元6000700080009000月薪/元50007000900011000

获得相应获得相应

0.40.30.20.10.40.30.20.1

职位概率职位概率

⑴根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；

⑵某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿做

了统计，得到以下数据分布:

选择意愿40岁以上(含40岁以上(含40岁以40岁以

人员结构40岁)男性40岁)女性下男性下女性

选择甲公司11012014080

选择乙公/p>

若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的片的观测值为后=

5.5513,则得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并

用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？

n(ad—bcf

附：片=72=a+Z>+c+d.

(a+b)(c+J)(a+c)3+J)'

尸（心三岛）0.0500.0250.0100.005

ko3.8415.0246.6357.879

解(i)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量x,y,

则E(X)=6000X0.4+7000X0.3+8000X0.2+9000X0.1=7000,

£(7)=5000X0.4+7000X0.3+9000X0.2+11000X0.1=7000,

D(X)=(6000-7000)2X0.4+(7000—7000)2X0.3+(8000—7000)2X0.2+(9000

-7000)2X0.1=10002,

D(Y)=(5000-7000)2X0.4+(7000—7000)2X0.3+(9000—7000)2X0.2+

(11000-7000)2X0.1=20002,

则E(X)=E(D，D(X)<D(Y),

我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；

或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司.

(2)因为舟=5.5513>5.024,根据表中对应值,

得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是0.025,

由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2X2列联表如下:

选择甲公司选择乙公司总计

男250350600

女200200400

总计4505501000

21000X(250X200—350X200)22000

心

计算K~=600X400X450X5502976.734,

且片=6.734>6.635,

对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01,

由0.01V0.025,所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大.

题型三正态分布的应用多维探究

【举例说明】

1.设X〜其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形A3CD中随

机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()

(注：若X〜N@,/),则Pa—a<XW〃+<7)=68.26%,Pa—2a<XW〃+2Q=

95.44%)

y

012工

A.7539B.6038

C.7028D.6587

答案D

解析YX〜，〃=1,c=l,〃+。=2,

“(//一«XW〃+a)=68.26%,.••则P(0<XW2)=68.26%,

则P(1<XW2)=34.13%,

,阴影部分的面积为0.6587,

点落入题图中阴影部分的概率尸="胃=0.6587.

二正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计

值是6587.故选D.

条件探究若将本例中“正方形”改为“矩形”，"X〜N(1,D”变为“X〜N(—1,1),

阴影部分如图所示”，则落入阴影部分的点的个数的估计值是.

答案9547

解析对于正态分布N(—1,1),可知〃=-1,cr=l,正态曲线关于直线x=一

1对称，故P(0<XWl)=3x[P(—3<XWl)—P(—2<XW0)]=Tx[Pa—2(r<XW〃+2Q

一P〃一(7<XW〃+。)]=；X(0.9544—0.6826)=0.1359,

所以点落入题图中阴影部分的概率尸=1*3姿1359=().9547,

1AJ

投入10000个点，落入阴影部分的个数约为10000X0.9547=9547.

2.(2019・蚌埠三模)我市高三年级第二次质量检测的数学成绩X近似服从正态

分布N(82,/),且P(74<X<82)=0.42.已知我市某校有800人参加此次考试，据此

估计该校数学成绩不低于90分的人数为.

答案64

解析因为数学成绩X近似服从正态分布N(82,/),所以数学成绩X关于X

=82对称，因为P(74<X<82)=0.42.所以P(82<X<90)=0.42.P(X》90)=P(XW74)=

1-O：2X2=Q08,所以我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩

不低于90分的人数为0.08X800=64.

【据例说法】

正态分布下两类常见的概率计算

(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正

态曲线关于直线对称，曲线与x轴之间的面积为1.

(2)利用3。原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的〃，。

进行对比联系，确定它们属于%〃+(7),(JJ.—2U,〃+2(7),(//-3(7,〃+3(7)中

的哪一个.【巩固迁移】

1.设两个正态分布N51，决)(01>0)和N(〃2，向。2>0)的密度函数图象如图所

示，则有()

A.

C.

答案A

解析〃反映正态分布的平均水平，是正态曲线的对称轴，由图知〃1<〃2,

。反映正态分布的离散程度，。越大，曲线越“矮胖”，表明越分散，。越小，曲

线越''高瘦"，表明越集中，由图知内<。2.

2.(2019・九江三模)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)服从正

态分布N(90,64).现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间

(82,106)内的产品估计有(若X〜则尸3一t7<X<〃+a)勺0.6826,P3—2a<X<〃

+2赤0.9544)()

A.8185件B.6826件

C.4772件D.2718件

答案A

々…八日…0.9544-0.6826

解析依题意，〃=90,<7=8,，P(82<X<106)=0.9544----------5------

0.8185,质量在区间(82,106)内的产品估计有10000X0.8185=8185#.

课时作业

@组基础关

1.(2019•保定二模)已知随机变量1服从正态分布N(〃，/),若PC<2)=P(4>6)

=0.1,则尸(2忘34)为()

A.0.7B.0.5

C.0.4D.0.35

答案C

解析由Pe<2)=P(4>6)=0.1,可得〃=4,且尸(2W*4)=Tx(l—0.1X2)=

0.4.

2.已知随机变量X+y=8,若X〜3(10,0.6),则E(D，D(K)分别是()

A.6和2.4B.2和2.4

C.2和5.6D.6和5.6

答案B

解析由已知随机变量X+Y=8,所以y=8—X.因此，求得E(y)=8—E(X)=

8-10X0.6=2,。(¥)=(—1)2。(㈤=10*0.6义0.4=2.4.故选B.

3.(2019•湖南湘西二模)已知甲、乙两台自动车床生产同一种零件，X表示甲

车床生产1000件产品中的次品数，

y表示乙车床生产looo件产品中的次品数，经考察一段时间，x,y的分布列

分别是

Y012

P0.50.30.2

据此判断(

A.甲比乙生产的产品质量好

B.乙比甲生产的产品质量好

C.甲与乙生产的产品质量相同

D.无法判断

答案A

解析E(X)=0X0.7+lX0.1+2X0.1+3X0.1=0.6,E(y)=0X0.5+lX0.3+

2乂0.2=0.7.由于£(7)>£(田，故甲比乙生产的产品质量好.

4.(2020•浙江嘉兴适应性训练)随机变量X的分布列如下表，且E(X)=2,则

D(2X—3)=()

X02a

11

P

6P3

A.2B.3

C.4D.5

答案C

11

角

析

力p-1--

牛1-6-3=|,£1(X)=0X^+2X^+tzX^=2=>tz=3,.,.D(X)=(0—

2)2X焉+(2—2产X；+(3—2)2Xg=1.DQX—3)=22D(X)=4.

5.(2019•广州二模)从某班6名学生(其中男生4人，女生2人)中任选3人参

加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为蜃则数学期望E(0=()

4

A.gB.l

7

C.7D.2

答案B

解析因为<^=0,1,2,所以P(f=0)=^=|,P(^=l)=^^=|,PU=2)=^^

1131

=亍因此后(？=0乂5+1乂5+2*5=1.

6.(2019•浙江金丽衢十二校第一次联考)五人进行过关游戏，每人随机出现左

路和右路两种选择.若选择同一条路的人数超过2人，则他们每人得1分；若选

择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分，记小强游戏得分为则E(f)

=()

5c11

AA16B16

c.1D4

oZ

答案B

解析五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择.若选择同一

条路的人数超过2人，则他们每人得1分；若选择同一条路的人数小于3人，则

他们每人得0分,•'•P(O=1)=C崂2.$+C崂3&+C才钞,P(f=O)=l-1|

=16一皿=ix"十°x若已

7.已知抛物线ynaf+foc+aaWO)的对称轴在y轴的左侧，其中a,b,Ce{-

3,—2,—1,0,1,2,3},在这些抛物线中记随机变量<=“|a—"的取值”，贝Uq的

数学期望石(。为()

.83

A-9B5

21

C.gD.2

答案A

解析由于对称轴在y轴左侧，故一或<0，故a，匕同号，基本事件有

6义718X7

3X3X7X2=126,。的可能取值有0,1,2三种.。(片。)=而=9，P^=V>=~n6

44X721A2,S

=Q,P(f=2)=-7^T-=Q,故期望值为0X]+1XG+2X5=5，故选A.

yJ-乙UyJyyy

8.(2019・日照模拟)某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学

成绩《服从正态分布N(100,/)，已知P(80<G100)=0.40,若按成绩分层抽样的

方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为.

答案10

解析P（f>120）=|[l-2P（80<f<100）]=0.10,

所以应从120分以上的试卷中抽取100X0.10=10份.

9.（2019・绵阳模拟）一个盒子装有3个红球和2个蓝球（小球除颜色外其他均相

同），从盒子中一次性随机取出3个小球后,再将小球放回.重复50次这样的实验.记

“取出的3个小球中只有2个红球，1个蓝球”发生的次数为则。的方差是

答案12

CiCi633

解析由题意知/〜B(n,p),其中n=50,P=_^=j^=^,所以。（。=50*5

2

X-=12.

10•一个人将编号为123,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,

每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错

T,设放对的个数为蜃则4的期望值为.

答案1

解析将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有Aj种不同放法,

1

QQ「I*-

放对的个数q可取的值有0,1,2,4.其中，P（e=0）=^?=g,P（f=l）=^r3

11

1X

-

44

4丞，所以E(0=OXR+1XW+2XW+4X五=1.

—

H♦'组能力关

1.已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故

障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费用的均值为（）

A.3200B.3400C.3500D.3600

答案C

解析设检测的机器的台数为X,则X的所有可能取值为2,3,4.P（X=2）=^=

XCyAHAi_J_ClciAlcl_3所以汽必—2*工+3*且

]0，1（大一3）一飞、一]0，1（大一4）一一5,历以乜（X）—％X]0十3X10

3

+4X-=3.5,所以所需检测费用的均值为1000X3.5=3500.

2.（2019・巢湖模拟）某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，

每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的

四个选项都没有把握，最后选择题的得分为X,3学生对12个选择题中每个题的

四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，选择

题的得分为匕则D（r）—。（圆的值为（）

答案

解析设A学生答对题的个数为机，则得分X=5见分），机〜3（12,土），D（m）

=12x1jx3j~9所以。（出=25*彳9=2岸25.同理，设3学生答对题的个数为〃，则得

/iA128X200

分Y=5〃（分），12,o,D（n）=12X-X-=~,所以。（F）=可X25=『，所以

200225125

D（Y）~D（X）=---=^-.

3.（2019•梧州一模）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位数，A=

,其中A的各位数中，勾=1,恁（左=2,3,4,5）出现0的概率为今出现1的概率

为|,记乂=奥十—。5，当程序运行一次时，X的数学期望E（X）=；

方差D（X）=.

88

答案

39

oQo

解析由题意得，X〜34•••数学期望E(X)=4X,=1,方差。(X)=4X?

4.（2019•东北三省四市教研联合体模拟）某工厂有甲、乙两个车间生产同一种

产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人.为比较两个车间工人的生产

效率，采用分层抽样的方法抽取工人.甲车间抽取的工人记作第i组，乙车间抽

取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)

进行统计，按照[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]进行分组，得到下列统计图.

频率/组距

0.025

0.020