2019北京某中学初二（下）期末数学试卷含答案

2019北京H~一学校初二(下)期末

数学

一、填空题(共18小题，1-17题每小题3分，第18小题第一空2分，第二空3分，共56分，)

1.(gtan73°产9x(-2tanl7°)2019+-

2.在AABC中，7sinA-O.5+13tanB-31=0,则AABC是三角形.

3.如图，已知AB〃£F//CD,若=CD=b,EF=c,则o,b,c之间等量关系式为—

4.如图，。。的半径为H,则。。的内接正六边形和其外切正六边形的面积比S内接：S外切=

5.已知AABC的三个顶点的坐标分别为A(-l,3),B(-l,-3),C(3,-3)则A4BC外接圆半径的长度为

2

6.已知tana=—,则sin2a+4sinacosa-2cos2a=.

3

7.若关于光的方程(加-1)炉+2痛+机+3=0有两个不相等的实数根，则加的取值范围是一

8.如图，AB=5,AC=3,5。边上的中线AD=2,则AABC的面积为.

9.关于x的方程f+2(a+l)x+2a+l=0有一个大于0而小于1的根，则。的取值范围是.

10.如图，O是矩形ABCD对角线瓦)的中点，AD=8,CD=6,石是4?边上的一个点.若DE=OE,则

AE=

ED

B

11.已知：如图，在AASC中，AB=AC,以他为直径作圆交BC于D,交AC于E.若NA=84。，则AE的度数

为—,

12.如图，AB,CD是OO的直径，且AB_LCD,P为CD延长线上的一点，PE切于E.BE交CD于

F.若AB=6,DP=2,贝1]3尸=.

13.在A4BC中，已知AB=2,ZB=30°,AC=应.贝U5AAsc=-

14.已知cosor+cos2a=1,贝!J2sin。a+sin4a+sin，a+sin'a=.

15.在平面直角坐标系xOy中，二次函数M:y=ax2+6x+c(a*0)的图象过点4-1,0),且顶点坐标为8(0,1)设点

/”,0)为x轴正半轴上一点，是M以尸为旋转中心的对称图形，当AT与线段AB有公共点时，f的取值范围

为—,

16.如图，已知NACB=90。，ZZMB=120°,AB=4,AD=2,则CD的取值范围是.

17.在四边形ABCD中，AB=AD=5,BC=12,ZB=ZD=90°,点M在边8C上，点N在四边形ABCD内部且

到边AB、AD的距离相等，若要使ACW是直角三角形且AAMN是等腰三角形，则MN=—.

18.(5分)如图1,分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长3C为半径画弧AC,CB,BA,我们将这

三条弧所组成的封闭图形称为莱洛三角形,

y

(1)若AB=4,则莱洛三角形的面积(即封闭图形面积)为一；

(2)如图2,将一个莱洛三角形放置于直角坐标系x轴上方，其“底端”落在原点。处，一顶点及中心M在y轴正半

轴上，如使莱洛三角形沿x轴正向滚动前进，在滚动过程中莱洛三角形每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不

断移动位置如果在莱洛三角形滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的轨迹图形按上、下放置，应大

致为下列选项中—的形状.

二、解答题(共6小题，要求写出严格的推理、论证、演算过程，共44分)

19.(6分)当0。<(/<45。时，下列关系式有且仅有一个成立：

①应sin(a+45°)=sintz+1

②亚sin(«+45°)=A/2since+—

(3)&sin(a+45°)=72sina+cosa

(4)夜sin(6r+45°)=sina+cosa

(1)如图，AABC中，AB=1,ZACB=45°,ZCAB=a,请利用这个图形证明上述选项中你认为正确的结论.

(2)利用(1)结论，计算cos75。.

cB

20.(6分)如图，已知反比例函数丁=一和一次函数y=2x-l,其中一次函数的图象经过伍乃)，(Q+1,Z;+Q两点,

2x

反比例函数和一次函数的图象交于A、8两点.

(1)求反比例函数的解析式，和AAOB的面积；

(2)结合函数图象，直接写出不等式2x>—^+7的解集为—；

2x-6

(3)在反比例函数图象上存在个点P,使得SAPAB=2SAOAB.

21.(6分)如图，在OO内，弦AB//CD,交AC延长线于。，交3c于P,垂足为

(1)证明：Z.BOP=ZQCP.

(2)证明：OP.OQ=OA2.

22.(8分)已知关于无的方程2尤2-2(m+l)x+；+wi=0

(1)证明方程总有两个实数根；

(2)设关于x的方程2x?-2(m+1)尤+g+m=0的两根是%，<x2),关于x的方程2x?-2(〃7+l)x+：+m=l的

两根是W，%(工3<%)，请直接写出玉，X2,W，匕的大小关系;

(3)当1领k3时，代数式2f-2(m+1)*+3+根的值恒为正，求机的取值范围.

23.(10分)如图，过点A(O,1)作直线P。，交抛物线于尸，。两点，点3是点A关于x轴的对称点.

4一

(1)试判断以点P为圆心，以为半径的圆与直线/:y=-l的位置关系；

(2)证明：直线和直线3尸关于y轴对称；

(3)过点P作y轴的平行线交直线/:y=-l于H点，连接AH交x轴于E,直线PE与抛物线y=:无?是否还有除

点尸之外别的交点？请说明理由.

24.(8分)如图所示，在AABC中，44C=9O。，4£>_LBC于。，NB的平分线分别与AD,AC交于E,F,

H为EF中点.

(1)求证：AH±EF；

(2)设ABH4、ABDE、广的周长分别为八%、L,试证明必乜,，U.并求出当等号成立时空的值.

138BF

B

D

E

H

参考答案

一、填空题(共18小题，1-17题每小题3分，第18小题第一空2分，第二空3分，共56分，)

1•【分析】根据互余的两个锐角的正切的乘积等于1以及负整数指数塞的公式计算即可.

【解答】解：gtan73°产9x(-2tanl7°)2019+§尸=[1tan73°x(-2tanl7°)]2019+2=(-1)2019+2=-l+2=l.

故答案为：1

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

2.【分析】直接利用非负数的性质得出sinA=0.5,tanB=l,再利用特殊角的三角函数值得出答案.

【解答】解：JsinA-0.5+|3tanB-3|=0,

/.sinA=0.5,3tanB=3,

解得：tanB=l,

故ZA=30°,ZB=45°,

,-.ZC=105°,

则AABC是钝角三角形.

故答案为：钝角.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

3.【分析】证明ADEFSAZMB,根据相似三角形的性质得到变=2生同理可得先=变，计算即可.

ABDBCDBD

【解答】解：・・・45//EF,

:.ADEF^ADAB,

.EFDF

AB-

.CD//EF,

.•.ABEFSMCD,

.EFBF

…CD-BD'

EFEFBFDFA

ABCDBDDB

111日口111

------1------=-----，即—I—=一，

ABCDEFabc

故答案为：—+—.

abc

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

4.【分析】连接。4、OB、04、OB',由正六边形的性质得出R:AB=1:1；得出

R:A'B'=OB:OB'=sin60o=43:2；因此AB:AB=6：2,根据相似多边形的面积比是相似比的平方，求得其面积

比即可.

【解答】解：连接OB、04、OB',如图所示：

则R:AB=1:1；

:.R:A'B'=OB:OB'=sin600=y/3:7.；

AB:A'B'=^:2,

-.-GO的内接正六边形s其外切正六边形，

二OO的内接正六边形和其外切正六边形的面积比S内接：邑卜切=

E'

【点评】本题考查了正多边形与圆、正六边形的性质、等边三角形的性质以及相似多边形的性质；熟练掌握正六边

形的性质是解题的关键.

5.【分析】三角形的外心是三边中垂线的交点，设AABC的外心为M；由A、B、C的坐标知：AB、3c的垂直

平分线正好经过(1,0),由此可得到M(l,0),由勾股定理即可求得GM的半径长.

【解答】解：设AABC的外心为如图：

A(-l,3),5(-1,-3),C(3,-3),

:.AB,3C的垂直平分线过(1,0),故M(l,0)；

就是0M的半径长，

由勾股定理得：M4=，2?+栗=而,

即AABC的外接圆半径为屈.

故答案为：A/13.

【点评】本题考查了三角形外心的定义和性质.能够根据三角形外心的性质来判断出AABC外心的位置是解答此题

的关键.

6.【分析】根据同角三角函数的关系化简原式得到sin%+4sinecosa-2cos2。=—+fan”2,把^11c=2代

tana+13

入即可得到结论.

sin2a+4sinacosa—2cos2a

【解答】解：sin。a+4sinacosa-2cos2a=°+勿*。_--------严sa-------="""+；tan°2

sina+cos1asina+cos2atana+1

cos2a

2

•「tan。二一，

3

...原式差|2+4x|~210

13

+1

故答案为：t

【点评】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键.

7•【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式4〉。时，方程有两个不相等的实数根，建立关于根的不等式,

然后求出租的取值范围;

【解答】解：・・・a=m—l,b=2m,c=m+3,

而方程有两个不相等的实数根,

/.△=/-4ac=4m2-4(m-l)(m+3)>0,且加一lwO，

2

3

故答案为：加〈一且7〃W1.

2

【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△XJo方程有两个不相等的实

数根；（2）△nOo方程有两个相等的实数；（3）△<0o方程没有实数根.

8.【分析】延长AD到E,使DE=AD,连接BE,如图所示，由。为3c的中点，得到CD=3D,再由一对对顶

角相等，利用SAS得出三角形ACD与三角形EDB全等，由全等三角形的对应边相等得到BE=OC=3,由

AE=2AD=4,AB=5,利用勾股定理的逆定理得到三角形ABE为直角三角形，即隹垂直于3E,利用垂直定义

得到一对直角相等，三角形ASC的面积等于三角形W与三角形ACD面积之和，求出即可.

【解答】解：延长45到E,使DE=AD,连接BE,

•。为3c的中点，

DC-BD，

•,在AWC与AEDB中，

AD=ED

<ZADC=ZEDB,

DC=BD

:.AADC=AEDB(SAS),

:.BE=AC=3,ACAD=AE,

又・.・AE=2AD=4,45=5,

:.AB2=AE2^BE2,

,\ZCAD=ZE=90°,

则“=—+5=3皿B£+；QAC=gx2x3+gx2x3=6.

故答案为：6.

【点评】此题考查了勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键.

9•【分析】通过因式分解法解方程得到玉=-1,%2=-2a-l,利用题意得到然后解不等式即可.

【解答】解：解方程/+2(Q+1)X+2Q+1=0得玉=一1,x2=-2a-1,

,方程/+2(〃+1)X+2〃+1=0有一个大于0而小于1的根，

0v~■2a—1v1

解得

2

a的取值范围是-1<。<-工.

2

故答案为T<a<-L

2

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=+fcr+c(a,b,c是常数，awO)与x轴的交

点坐标问题转化为解关于尤的一元二次方程.也考查了解一元二次方程.

10•【分析】先求出BD,进而求出8=03=04,再判断出△OOEsAADO,即可得出结论；

【解答】解：如图b连接。4,

在矩形ASCD中，CD=AB^6,AD=BC=8,ZBAD=90°,

在RtAABD中，根据勾股定理得，BD=y/AB2+AD2=A/36+64=10,

是中点，

:.OD=OB=OA=5,

,\ZOAD=ZODA,

・.OE=DE,

.\ZEOD=ZODE,

ZEOD=ZODE=ZOAD,

:.NODEstsADO,

.ODDE

而一访‘

/.DO2=DE.DA,

设=x，

DE-8—xf

25=8(8—%)

..x=—39

8

故答案为:39

T

【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明AODESAADO是本题的关键.

11.【分析】取至的中点O,连接OE,由等腰AAOE中，OA^OE,可解答.

【解答】解：取他的中点O,连接OE,

•.•AB为直径,

OA=OE,

:.ZA=ZAEO=84°f

.•.ZAO石=180。—2x84。=12。，

则AE的度数为12。,

故答案为：12。.

【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结

合思想的应用.

12.【分析】连接OE,可求得NPEF=NPFE,可得PF=PE,在RtAOPE中由勾股定理可求得PE,在RtAOBF中

由勾股定理可求得

【解答】解：如图，连接OE,

ZPEF=90°-Z.OEB=90°-Z.OBE=Z.OFB=ZEFP,

:.PF=PE,

■.■AB=6,AB,CD是OO的直径,

:.OE=OD=OC=OB=OA=3,

•.•PE切。0于E，

:.APEO=9QP,

在RtAOPE中，DP=2,

OP=3+2=5,

由勾股定理可得。尸=PE2+OE2,

:.52=PE2+32,解得PE=4,

：.PF=PE=4,OF=OP-PF=5-4=1,

;AB_LCD,

.-.ZBOF=90°,

在RtAOBF中,由勾定理可得B尸=OB2+OF2,

即BF2=32+l2=10,

FB=>Jid.

故答案为：'/10.

【点评】本题主要考查切线的性质及勾股定理，证得庄=PF是解题的关键.

13•【分析】分AABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论，然后分别解直角AABD与直角AACD,求出

AD.BD、CD的长，再根据5AAsc=g代入数值计算即可.

【解答】解：当AABC是锐角三角形时，

过点A作ADLBC于点。，

■.■AB=2,ZB=30°,

AD=-AB=1,

2

，由勾股定理可知：BD=^AB2-AD2=>/22-12=>/3,

AC=yl2,

，由勾股定理可知：CD=dAC?-AD。=，2--=1,

BC=BD+DC=4i+\,

••-5MBC=|BC.AD=1x(^/3+l)xl=^tl;

当AABC是钝角三角形时，

同理可得：BD=^>,CD=1,

BC=BD-DC=>f3-l,

•••5AABC=|BC.AD=1X(73-1)X1=^1.

故答案为：@±1或且二1.

22

【点评】本题考查了解直角三角形、三角形的面积，利用数形结合与分类讨论是解题的关键.

14.【分析】根据已知条件和同角的三角函数的关系siYaul-cos2a即可得到结论.

【解答】解：:cosa+cos2a=1,

/.cos26Z=1—coscr,1—cosa=cos2a,

,/sin2a=l—cos2a,

/.2sin2a+sin4a+sin6a+sin8a

=2(1-cos2cr)+(1-cos2a)2+(1-cos2a)3+(1-cos2cr)4

=2cosa+cos2a+cos3a+cos4a

=2cosa+1-cosa+cosa(l-cosa)+cos4a

=2cosa+1-cosa+cosa—cos2a+(1-cosa)2

=2cosa+\-cosa+cosa-cos2a+1-2cosa+cos2a

=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了同角的三角函数的关系，整式的化简，熟练掌握同角的三角函数的关系是解题的关键.

15.【分析】先根据待定系数法，可得二次函数M的解析式；再根据旋转的性质，可得抛物线“，的顶点与与玄关

于厂点对称，根据中点公式，求出用的坐标；最后根据图象过A,5点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，

可得答案.

【解答】解：由抛物线"的顶点坐标为仇0,1)可设抛物线的解析式为＞=a?+i,

将A(-l,0)代入解析式，得〃x(-+1=0,

解得a=-1,

.,.二次函数M的解析式为y=-x2+l,

设旋转后抛物线M'的顶点为与，

由旋转的性质，得：及与3(0,1)关于E(r,O)对称，

B](2Z,—1)；

•.•抛物线AT的二次项系数为1,

二.抛物线M'的解析式为y=(x-2/)2一1«>0),

.•.当抛物线经过4-1,0)时有(T-2f)2-1=0,解得?2=0；

当抛物线M'经过2(0,1)时有(-2/)2-1=1,解得t=±—；

2

当抛物线M'与线段AB有公共点时，f的取值范围0

2

故答案为：0<"注.

2

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用图象过A,B点得出点的坐标符合解析式是解题关键.

16,【分析】如图，取的中点£,连接CE,DE,过点作AT_LD石于T,连接CD.求出DE,EC,根据

DE-EC^tDDE+CE求解即可.

【解答】解：如图，取回的中点£,连接CE,DE,过点作AT，。石于T,连接CD.

D

B

•/AB=4,AD=2，AE=EB,

AD=AE=2,

・・・AT_LDE,ZDAE=120°,

:.ZDAT=ZEAT^60°,

DE=20T=2AE.sin60°=2上,

•.•NACB=90。，AE=EB,AB=4,

:.CE=-AB=2,

2

■.■DE-EC^iJDDE+CE,

2A/3-2^IJC£>2道+2.

故答案为2A-2麴JC£>273+2.

【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题.

17•【分析】首先证明点N在线段AC上，分两种情形分别求解即可.

【解答】解：如图，连接AC.•.•/8=90。，AB=5,BC=12,

AC=752+122=13,

■.■ZD=90°,AD^5,AC=13,

:.CD=7132-52=12,

:.AB^AD,BC=CD,

■.■AC=AC,

，AABC=AADC(SSS),

:.ZCAB^ZCAD,

•.•点N在四边形ABCD内部且到边M、AD的距离相等，

.,.点N在线段AC上，

①如图1中，当AN=MN,M0_L3C时，设AN=MN=x.

图1

NM//AB,

MNCN

~AB~~CA

x_13-x

5-13

②如图2中，当AN=MN,MN_LAC时，没AN=MN=y,

A/

D

图2

\ZMCN=ZACB,ZMNC=ZB=90°,

..ACMN^ACAB,

MN_CN

3J3-y

5-12

综上所述，满足条件的"N的长为巴或巴.

1817

故答案为国或竺.

1817

【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，相似三角形的判定和性质，平行线

分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.

18.【分析】(1)图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等

边三角形的面积，分别求出即可.

(2)由题意，最高点到无轴的距离是不变的，中心点/到x轴的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不

断循环，由此即可判断.

【解答】解：(1)过A作于。，

图1

♦.•AABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC=4,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

:AD_LBC,

:.BD=CD=2,AD=£BD=26,

AABC的面积为工BC.AD=473,

2

60•%d_8

扇形BAC-一通一—^万，

莱洛三角形的面积S=3x§万-2乂46=8万-8追，

3

故答案为8万-86.

(2)由题意，最高点到x轴的距离是不变的，中心点Af到x轴的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不

断循环，

故图象选3.

故选3.

【点评】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，点的运动轨迹等知识，能根据图形得出莱洛三角形的

面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键.

二、解答题(共6小题，要求写出严格的推理、论证、演算过程，共44分)

19.【分析】(1)如图，过A作AT>_L3C,交CB的延长线于D,过3作鹿_LAC于E.由三角函数定义得出

BE=AB»sin/FAB=sintz,AE=AB-cosZ.EAB=cosa.CE=BE=since,BC=\[2BE=A/2sina.在RtAABD中，

ZADB=90°,ZABD=ZCAB+ZC=a+45°,AB=\,得出AD=AB・sinNABD=sin(&+45。).由三角形面积得出

BC-AD=AC*BE,得出近sina.sin(tz+45。)=(sina+costz).sina,即可得出结论；

(2)由(1)得：72sin(30°+45°)=sin30°+cos30°=1,得出sin75°=(；+g)x*=,再由

sin275°+cos275°=1,即可得出答案.

【解答】解：(1)如图，过A作A£>_L8C,交CB的延长线于。，过3作AC于E.

•.•在RtAABE中，ZAEB=90°,ZEAB=a,AB^l,

BE=AB^sinZEAB=sina,AE=AB«cosZ.EAB=cosa.

・••在RtABCE中，NCEB=90。,NC=45。，

CE-BE=sina,BC=y[2BE=5/2sina.

・・•在RtAABD中，ZADB=90°,ZABD=ZCAB+ZC=a+45°,AB=l,

AD=AB.sinZABD=sin(a+45°).

■.S^^BC.AD^AC.BE,

二.BC・AD=AC・BE,

v2sina・sin(a+45°)=(sina+cosa)・sina,

•「sinaw0,

y/2sin(a+45°)=sin1+cosa,④正确；

(2)由(1)得：A/2sin(30°+45°)=sin30°+cos30°=1+^,

.”。A艮176+72

?.sin75o=(/+5-)x^==----------,

•.•sin275°+cos275°=1,

cos275。=1一阻也丫=函一行了

416

.4-oA/6—\/2

..cos75=-----------・

4

【点评】本题考查了解直角三角形、特殊锐角的三角函数值、同一锐角的三角函数关系等知识；通过解直角三角形

得出正确结论是解题的关键.

20.【分析】(1)把3份、(〃+11+6两点代入一次函数解析式可得3易得反比例函数的解析式，联立方程，解

方程组求得A,5的坐标，即可求得AAO5的面积；

(2)利用函数图象交点坐标和平移的规律，即可得出不等式2尤〉上+7的解集；

x+6

(3)根据同底不同高的三角形面积即可求得.

(2〃_1—A

【解答】解：(1)把(。向，3+1,6+Q两点代入一次函数解析式y=2%-1可得：〜-177

[2(〃+I)-l=b+k

解得：k=2.

故反比例函数的解析式为：y=-；

11

V=得%=1­x=——

解-x或《2，

y=i

y=2x-l。=一2

/.A(l,l),B(--,-2),

2

由一次函数解析式y=2%-l可知与y轴的交点为(0,-1),

c1一1113

•,'MOB=-xlxl+-xlx-=-；

(2)由平移的规律可知，反比例函数y=2和一次函数y=2x—1向右平移3个单位得至Uy=—和y=2x—7,

2x2x—6

•反比例函数y=&和一次函数y=2x-l的交点为,-2),

2x2

...不等式2x>—L_+7的解集为9c<3或x>4

2x-62

故答案为9Vx<3或x>4；

2

(3)有4个点尸，使得5“钻=2£。.，如图：

过。点作O£)_LAB于£),延长DO到使ZM/=28,过M点作他的平行线/交双曲线两个尸点，则

SAFAS=2sAe1AB'

作直线/关于直线AB对称直线交双曲线又有两个P点,

故有四个点尸，使得SAW=2sA加，

故答案为4.

【点评】本题主要考查了待定系数法求解析式以及求反比例函数与一次函数的交点坐标，一次函数、反比例图象与

几何变换.

21.【分析】(1)由垂径定理可得AM=N/0,由等腰三角形的性质和圆周角定理可得/BOM=NACB,可得

NBOP=NQCP；

(2)通过证明AAOPSAQOA,可得结论.

【解答】证明：(1)-.-QOLAB,

ZAOB=1ZBOM=1ZAOM,S.ZAOB=2ZACB,

:.ZBOM=ZACB,

:.ZBOP=ZQCP,

(2)■.■MQLAB,AM=BM,

:.AO=BO,AP=BP,S.OP=OP,

:.AAOP^ABOP(SSS)

;.ZPAO=NPBO,

ZBPO=ZCPQ,ZBOP=ZQCP

:.ZPBO=ZQ

ZQ=ZPAO,J3.ZAOP=ZAOQ,

.AAQPsAQQA

OAOP

一~OQ~~OA

OP.OQ=OA2.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，证明AAOPSAQCM是

本题的关键.

22•【分析】(1)利用判别式△>◊即可求解；

(2)将方程的根看作函数y=2x2-2(〃2+l)x+g+〃z,当y=0,y=1时分另U与x轴和y=1的交点，即可求解；

(3)将代数式2/-2(m+l)x+1+m的值恒为正问题转化为函数y=2/一2(m+l)x+；+加在给定范围内最小值大

于0,即可求解.

133

【解答】确军：(1)证明：,/△=4(m+1)2-4x2(—+m)=4m2+6m+3=4(m+—)2+—>0,

/.方程总有两个实数根；

(2)j=2x2—2(m+l)x+g+a=2>0

y=0时，表示二次函数与x轴的交点；

y=l时，表示二次函数与y=l的交点，

故九3々<%4；

(3)令y=2x2—2(m+T)x+g+m，

则函数的对称轴为尤="f,

2

当啜心里3时，啜加5,y有最小值为-工疗，

22

--m2>0,不符合题意；

2

当3口<］时，y有最小值g一根，

--m>0,则机<工，

22

1

2

当1>3,m>5,>有最小值以一9根，

22

QIO

-----9m>0,则机<—(舍去)；

22

综上所述，m<-时代数式2/-2(m+l)x+-+m的值恒为正.

22

【点评】本题考查一元二次方程，一元二次函数问题；能够将代数式转化为一元二次函数问题是解题的关键.

23•【分析】(1)根据两点之间距离公式和点到直线的距离可得：PA=-m2+l,点尸到直线=的距离为

4

d^-ne+l,由切线的判定定理，可知以点尸为圆心，出为半径的圆与直线/:y=-l相切；

4

(2)先证明AE4AfsAQ4N,再证明ABMPsABNQ,即可得/尸3"=NQBN,即直线2。和直线关于y轴对

称；

(3)待定系数法先求直线AH解析式，令y=0可求得石的坐标，再利用待定系数法求直线尸石解析式，根据一元

二次方程根的判别式即可判断抛物线与直线PE的交点情况.

【解答】解：(1)以点。为圆心，为半径的圆与直线/:y=-l的位置关系为相切.

设点P(m,—m2),点尸到直线/:y=-1的距离为d=—m2+1,则PA=.(m-0)2+(—m2-I)2=—m2+1,

44V44

d=—m2—(-1)=—m2+],

44

PA=d

以点。为圆心，P4为半径的圆与直线/:y=-l相切；

(2)如图，过点尸作尸"，直线/于"，作轴于M,过点。作QG，/于G,QNLy轴于N,

则：ZQGB=ZQNA=ZQNB=ZGBN=ZHBM=ZPMA=ZPHB=90°

一.四边形BGgN、BHPM均为矩形,

:.BN=QG,BM=PH

由(1)知：PA=PH,QA=QG

:.QA=BN,PA=BM

ZPAM=ZQAN

:.\PAM^\QAN

PMQN

…~PX~~QX

.PMQN

BM~BN

・；/BMP=/BNQ=90。

ABMP^ABNQ

:.ZPBM=ZQBN

/.直线BQ和直线BP关于y轴对称；

(3)除点尸之外无别的交点.

P(/77,-m2),,A(O,1)

设直线AH解析式为〉=左々+〃，贝”[;m[k';+/?'=—1，解得k'=—

7

/.直线AH解析式为y=--x+l,令y=O,=—

m