【练习】新高中数学必修1-14

1.4空间向量的应用

1.4.1用空间向量研究直线'平面的位置关系

基础过关练

题组一空间中点'直线和平面的向量表示

1.已知0(0,0,0),坟5,-1,2)。(4,2,-1),若就=荏,则点B的坐标为()

A.(-l,3,-3)B.(9,l,l)

C.(l,-3,3)D.(-9,-l,-l)

2.(2020北京一O一中学高二上期中)若A(-l,0,2),B(l,4,10)在直线1上,则直线1的一

个方向向量为()

A.(l,2,4)B.(1,4,2)

C.(2,l,4)D.(4,2,l)

3.已知A,B,C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与

点A,B,C一定共面的是()

A^OM^OA+OB+OC

B^OM^OA-^-OB+-OC

236

C^0M=0A-h-0B+l0C

23

D.0M=201-0B-0C

4.已知空间三点坐标分别为A(l』,l),B(0,3,0),C(-2,-l,4),点P(-3,x,3)在平面ABC内，

则实数x的值为()

A.lB.-2C.OD.-1

题组二平面的法向量

5.已知向量荏=(2,4,x),平面a的一个法向量n=(l,y,3),若AB，5则()

A.x=6,y=2B.x=2,y=6

C.3x+4y+2=0D.4x+3y+2=0

6.若已知两个向量方=(1,2,3),近=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为()

A.(-l,2,-l)B.(l,2,l)

C.(l,2,-1)D.(-1,2,1)

7.已知直线1的一个方向向量d=(2,3,5),平面a的一个法向量u=(-4,m,n),若l_La，则

m+n=.

题组三空间中直线,平面的平行问题

8.若直线1的方向向量为m,平面a的法向量为n,则可能使l//a的是()

A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)

B.m=(l,3,5),n=(L(),l)

C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)

D.m=(11,3),n=(0,3,1)

9.已知两个不重合的平面a与平面ABC,若平面a的法向量为m=(2,-3,l)晌量

费=(1,0,-2),前=(1,1,1),则()

A.平面a〃平面ABC

B.平面平面ABC

C.平面a、平面ABC相交但不垂直

D.以上均有可能

10.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线kb的方向向量，若11〃卜,则()

A.x=6,y=15B.x=3,y=15

「810c(15

C.x=-9y=-^-D.x=6,y)

题组四空间中直线、平面的垂直问题

11.设直线h,12的方向向量分别为a=(l,2,-2),b=(-2,3,m),若则实数m等于

()

A.lB.2C.3D.4

12.设u=(-2,2,t),v=(6,-4,5)分别是平面a,p的法向量，若aJ_p,则实数t的值是()

A.3B.4C.5D.6

13.(2019吉林长山二中高二期中)已知直线1与平面a垂直，直线1的一个方向向量

为u=(l,-3,z),向量v=(3,-2,l)与平面a平行,则实数z等于()

A.3B.6C.-9D.9

14.已知点A(0,l,0),B(-l,(),-l),C(2/,l),P(x,0,z),x,zeR,若PA_L平面ABC,则点P的

坐标为()

A.(l,0,-2)B.(l,0,2)

C.(-1,0,2)D.(2,0,-l)

15.(2020山东青岛高三上联考)如图，在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩

形,4APB是以NAPB为直角的等腰直角三角形，平面PABL平面ABCD.

证明:平面PADJ_平面PBC.

P

能力提升练

题组一用空间向量研究平行问题

1.（*?）如图所示，在正方体AiB.CiDrABCD中,棱长为a,M,N分别为AiB,AC上的

点,AiM=AN=与，则MN与平面BBiJC的位置关系是（）

A.斜交

B.平行

C.垂直

D.MN在平面BBiCiC内

2.（2020山东聊城高二期中,*?）如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂

直,AB=&,AF=1,M在EF上，且AM〃平面BDE,则点M的坐标为（）

铮\

BV21)

31,一7

C铮

V21

D亍

作

V21

"_

3.（2020河南郑州第一中学高三联考,*：）在长方体ABCD-ABGD1

中,AD=DDi=l,AB=b,E,F,G分别是棱AB,BC,CCi的中点,P是底面ABCD（不含边

界）内的动点,若直线DP与平面EFG平行，求aBBiP的面积的最小值.

4.（2020河南八市重点高中联盟高三联考,*）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面

PA"平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PA±PD,AD±CD,ZBAD=60°,M,N分别为

AD,PA的中点，证明:平面BMN〃平面PCD.

p

N/\\

R

5.（2020黑龙江佳木斯第一中学高二上期中,"）如图，在多面体ABCDEF中，平面

ADEFL平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形，且

AD〃BC,aABD是边长为1的等边三角形,BC=3.问:线段BD上是否存在点N（不

包括端点），使得直线CE〃平面AFN?若存在，求出罂的值;若不存在,请说明理由.

DU

析

题组二用空间向量研究垂直问题

6.（2020天津一中高二月考,出）如图，已知正方体ABCD-ABCQi的棱长为4,P是

AAi的中点，点M在侧面AAFiB（含边界）内，若DiMLCP,则ABCM面积的最小值

为（）

A.8B.4C.8V2D.警

7.（2019河北辛集中学高二期末，的）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行

四边形，且AB=l,BC=2,NABC=6（）o,PAL平面ABCD,AE±PC于E.给出下列四个

结论:①ABLAC;②ABL平面PAC;③PC,平面ABE;④PC,BE,其中正确的个数

是（）

占,

RC

A.lB.2C.3D.4

8.（多选）（*）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，若丽=（2,-1,-

4）,而=（4,2,0）,而=（-1,2,-1）,则下列结论正确的有（）

A.AP1AB

B.AP1AD

C.而是平面ABCD的一个法向量

DAP//~BD

9.(*)如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中,NBAC=9()o,AB=AC=a,AAi=b“^E,F分别

在BB,,CCi上，且BE4BBI,GF=JCCI.设T.若平面AEFJL平面AiEF,求X的值.

33Q

10.(202()北京十一学校高二上期中,")如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正

方形,PAL底面ABCD,且PA=AD,F是棱PD的中点,E是棱CD的中点.

(1)证明:EF〃平面PAC;

(2)证明:AF_LPC.

•ZJ

E

/?

11.(*)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形,PAL平面ABCD,点

E在线段PC上(不含端点).

(1)是否存在点E,使PC_L平面BDE?

(2)是否存在点E,使平面PCD,平面AED?

答案全解全析

基础过关练

1.B因为而=而，而=砺-瓦?，所以丽=丽+函=(5,-1,2)+(4,2,-1)=(9,1,1).故选B.

2.A由已知得前=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与方共线,

故选A.

3.B由空间平面ABC的向量表示式知，空间一点M位于平面ABC内的充要条件

是存在实数x,y,使两二函+x而+y前,可以变形为丽=(l-x-y)Ul+x荏+y灵，注意

到UZ9,玩的系数和为1,满足这个条件的只有选项B,故选B.

4.A布=(1,-2,1),近=(-2,-4,4),丽=(-3*3,3),可设丽=y或+z前(y,zeR),则

y-2z=-3,(z=1,

-2y-4z=x-3,=>y=-1,故选A.

.y+4z=3(%=1.

5.A因为ABLa,所以荏〃n,由三三，得x=6,y=2,3x+4y+2=28,4x+3y+2=32.故选A.

6.A设平面ABC的法向量n=(x,y,z),由荏_Ln,Z_Ln,得{；；；；；；：二所以

{»xj解得忆:

所以n=(-l,2,-l),故选A.

7.答案-16

解析Vl±a,.'.d//u,又d=(2,3,5),u=(-4,m,n),，：=；=g,解得m=-6,n=-10,/.m+n=-16.

8.D因为l〃a,所以m_Ln,即m,n=0,满足条件的只有选项D,故选D.

9.A因为m•而=0,m•前=0,ABCAC=A，所以m也是平面ABC的法向量，又平

面a与平面ABC不重合，所以平面a与平面ABC平行，故选A.

10.D因为h〃L,所以a〃b,得三=：,解得x=6,y=g,故选D.

11.B因为所以a，b,则a•b=2+6-2m=0,解得m=2,故选B.

12.B因为a，p,所以uJ_v，则u•v=-12-8+5t=0,解得t=4,故选B.

13.C由题意可得u_Lv,则u•v=3+6+z=0懈得z=-9.故选C.

14.C荏=(-111),前=(2,0,1),港=(-x,1,-z).

〈PA，平面ABC,

：,PA1.AB^PA1.AC,

：.PA・AB=PA•前=0,；.°’

解得仁2：'

.,.点P的坐标为(-1,0,2).故选C.

15证明取AB的中点O,CD的中点M,连接OM,则OMLAB,又平面PAB_L平面

ABCD,平面PABC平面ABCD=AB,，OML平面PAB,又PA=PB,.,.PO±AB,.\以

点O为原点建立空间直角坐标系，如图.

设AP=&AD=b，则A(0,-a,0),B(0,a,0),P(a,0,0),C(0,a,b),D(0,-a,b),

A/l/)=(0,0,b),^4P=(a,a,0),BC=(0,0,b),BP=(a,-a,0).

设m=(xi,yi,zi)是平面PAD的法向量,m=(X2,y2,Z2)是平面PBC的法向量，

则由m•布=0,m•万=0得*:令xi=l,则?Z01'即m=(l,-l,0),

[1141-rdy1一U,—U,

同理产2=0，令X2=l,可得=:，

(ax2-ay2=0,{z2=0,

即112=(1,1,0).

*.*m*n2=l-l=0,

二平面PAD_L平面PBC.

能力提升练

1.B建立如图所示的空间直角坐标系，由于AiM=AN=W，

所以M(a，W),N(碧,a)所以而=仁0谭).

又CDi_L平面BBiCiC,

所以1友=(0,a,0)为平面BB.C1C的一个法向量.

因为丽•硒*=0,所以而J_QX，

又MN。平面BBiGC,

所以MN〃平面BBiCiC.

故选B.

2.C连接OE.设点M的坐标为(x,y,l),

因为ACCBD=O,

所以O俘，9,o),

又E((),(),1),A(V2,V2,O),

所以屈=(-?,1),魂=(x-&,y-&,1),

因为AM〃平面BDE,所以布〃彳标，

五

3*%=7

所以a

y-y/2=--yy=-'

所以M点的坐标为1).

故选C.

3.解析如图,建立空间直角坐标系，则

A(l,0,0),B(l,V3,0),C(0,V3,0),Di(0,0,l),Cl(0,V3,l),.,.E(l,^,0),F(i,V3,0),G(0,V3,9,

•.屏=(-*，。)，格6,哈

设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量，则n•£T=0,n•同=0,代入坐标计算得

*x+?y=0,

-；x+；z=0,

令X=V^,则y=l,z=V3,

...n=(V3,l,V3).

设P(m,s,O)(O<m<l,O<s<V^),则D]P=(m5s,-l),

BP=(m-l,s-V3,0),

「DiP〃平面EFG,

An±^P,

.,.n,DxP=V3m+s-V3=0,

s=V3-V3m,

易知BBi=l,

S^BBiP三BBIXBP=；X1XJ0-1)2+(s-b)2,V4m2-2m+J4(m-j

当m=：时,5百小取得最小值今

4.证明连接BD,PM,VAB=AD,ZBAD=60°,

」.△ABD是等边三角形,，BM，AD,

又PA=PD,M为AD的中点,PMLAD,

又•平面PAD，平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,，PML平面ABCD,

以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设PA=PD=2&CD=bMB(2V3a,0,0),C(b,2a,0),D(0,2a,0),P(0,0,2a),M(0,0,0),N(0,-

a,a),.*.M]V=((),-a,a),MB=(2V3a,(),0),PC=(b,2a,-2a),RD=：((),2a,-2a),

设ni=(xi,yi,z。是平面BMN的法向量,

n2=(X2,y2,Z2)是平面PCD的法向量，

则由丽•m=O,MB•m=0,

-avi+azi=0,,r,

2偏/=。,令yE则xEzE

是平面BMN的一个法向量,

bx+2ay-2az=0,

同理，由元•m=0,而•m=0,得222

2ay2-2az2=0,

令y2=l,可得X2=0,Z2=l,

.,.n2=(0,l,l)是平面PCD的一个法向量.

•.•m=n2,.•.平面BMN〃平面PCD.

5.解析存在.理由如下：

•.•平面ADEF_L平面ABCD,四边形ADEF为正方形,AF_L平面ABCD.

过点D作DGLBC于点G.

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则A(I,O,O),BQ，Y，O),C(-

泊,0),D((),(),()),E(0,(),1),F(l,0,1),.•.而二((),(),1),谓=仔-9,1),而=(-岩,0),丽=(-

泻,0)

设*儿0＜九＜1，贝|丽=入丽=(-；入,-Y入,0),贝U丽=荏+丽=(-注入片—A,0).

设n=(x,y,z)是平面AFN的法向量，则［n*竺二°,

(71•AN=0,

(z=0,

即［(《-Rx+gq入)y=0,

.［z=0,

,,lV3(l-A)y=(1+A)x,

取x=V5，则y喑,；.n=(8苫,0)是平面AFN的一个法向量.

由n-方=3咨x詈=0,得入［，符合题意，即存在点N,使得直线CE〃平面AFN,此时

—BN=_2

BD3

方法归纳利用向量法证明线面平行的一般步骤是先求直线的方向向量，然后求平

面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

6.D以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DDi所在直线为z轴建

立空间直角坐标系,如图，

则P(4,0,2),C(0,4,0),Di(0,0,4),B(4,4,0),

设M(4,a,b)(a,be[0,4]),则池=(4,a,b-4),而=(4,-4,2),

VD1M1CP,

瓦丽•郎=16-4a+2b-8=0,得b=2a-4,

.\M(4,a,2a-4),

BM=V(4-4)2+(a-4)2+(2a-4)2

当a=£时,|BM|取最小值?，

易知BC=4,

SABCM的最小值为小x4x二吨.

525

故选D.

7.D由题意得,AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60。,；.

AC=JI+4-2x1x2X而AC2+AB2=BC2,AB±AC,@X^;

又PAJ_平面ABCD,故以A为原点建立空间直角坐标系，如图,

设AP=a(a>0),则A(0,0,0),B(l,0,0),C(0,V3,0),P(0,0,a),

布=(1,0,0)屈=((),限a).

,：AB•同=0,.•.荏，玩,；.AB，PC,又ACnPC=C,；.ABJ_平面PAC,②对;

AB±PC,AE±PC,ABnAE=A,PC，平面ABE,③对；

由③及BEc平面ABE,得PC，BE,④对.

故选D.

8.ABCVAP•万=22+4=(),，Q,被.,.APLABQ也

,：AP•而=-4+4+0=0,.•.而，而,；.AP_LAD,B对；

AP±AB,AP±AD,ABnAD=A,?.AP，平面ABCD,

是平面ABCD的一个法向量,C对；

2=-A,

前二前-布二(2,3,4),设前=入9，即3=2尢方程组无解,D错.

,4=

故选ABC.

9.解析在直三棱柱ABC-AlBlCi中,AA」平面ABC,

因为AB,ACu平面ABC,

所以AAI±AB,AA1±AC,

又因为NBAC=90。,所以AB,AC,AA.两两垂直，

分别以AB,AC,AAi所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则E(a,0,：),F(0,a,y),A(0,0,0),Ai(0,0,b),

AE^a,0,B，万=(0,a,§,砧=(a,0,-弓),前二(-a,a,?.

设平面AEF的法向量为m=(x,y,z),

则ni•AE=0,m,万=0,

即ax+?=0,ay+手=0.

令z=l,则x——,y=--.

3a3a

所以m=(」,0,1)=(」,-与).

\3a3aJ33

同理,3©,”)=(",1)是平面AFF的一个法向量.

因为平面AEFJ_平面AiEF,所以m•血=0,即-詈2=0,解得九=(负值舍去).

所以当平面AEF_L平面AiEF时,九弓.

10.证明(1)设PA=2,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直

角坐标系Axyz,则A((),(),()),C(2,2,0),P((),0,2),E(1,2,()),F((),1,1),所以

祚(0,0,2),前=(2,2,0),设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),则｛发；/=0令x=l,则

y=-l,z=0,即n=(l,-l,0