2022-2023学年四川省成都市蓉城高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市蓉城名校高二(下)期末数学试卷

(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={x|要|<0},B={x\y=log3x},则AflB=()

A.(0,3)B.(-2,3)C.(-2,0)D.(-2,+oo)

2.成都大运会某志愿者服务小队由四川大学25名学生和电子科技大学15名学生组成，现用

分层抽样的方法从上述所有学生中抽取16名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽

取的人数为()

A.10B.6C.5D.3

3.设％,yeR,则"％=—y"是—y2_尤_丁=0”的()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.已知等边三角形4BC的边长为a,则超•前+而•比的值为()

A.-a2B.a2C.0D.口心

5.已知函数/Q)=〃(/+1)在点A(0,/(0))处的切线方程为丫=ax+l,贝ija的值为()

A.—1B.—eC.1D.6

6.已知正实数6，n,满足m+九=1,则下列不等式中错误的是()

A.mn<7B.2m2+2n2>1C.m(n4-1)<1D.yTm+y/~n<1

4

(2x-y>0,

7.若％,y满足约束条件k+2y-5N0,则z=产+y2的最大值是()

(.3%4-y-10<0,

A.5B.10C.2y/~5D.20

8.已知函数/(©=段：4'**°'则-))=()

A.4B.8C.16D.32

9.已知函数y=/(x)的大致图象如图所示，则/(x)的解析式可能

为()\/

-

A./(x)=4P3

2

1.o

24

B.f(x)==g1

2

3

C./(x)=x24-

D./(x)=x+5

10.已知方程£三=1有两个不等的实根，则实数m的取值范围是()

mx+3

47A

A.(-00,--)B.(一8,一刊(一§,+8)

c.(一|,_$D.(_5，一§

11.在三棱锥尸一4BC中，P4_L底面ABC,AB=2,AC=AP,BC1CA,若三棱锥P-4BC

外接球的表面积为5兀，则BC=()

A.1B.<7C,AT3D.V-5

12.如图，已知椭圆J务5=l(a>b>0)和双曲线C2：5一'=l(m>0,n>0)有

公共的焦点&(一c,0),F2(C,0),C「C2的离心率分别为e1，e2,且在第一象限相交于点P,则

下列说法中错误的是()

①若a2+3m2=4c2,则b=，3n;

②若|PFi|•\PF2\=2,则a?一7n2的值为1；

③A&PFZ的面积S=nb；

A.①②B.②③C.③④D.②④

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若复数z=a+bi(a,beR)满足z(l—i)=i,贝哈=.

14.函数y=；-Inx的单调递减区间为.

15.己知直线x+my-4=0与离心率为/2的双曲线C：g-y2=i的一条渐近线平行，则

机所有可能取的值之和为.

16.已知%1和是函数f（久）=X-2Znx+zn的两个不相等的零点，则卷詈;的范围是____.

人11T人2

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

2

设Xi，x2（^i＜小）是函数/（%）=+mx-3x+1的两个极值点，且？＞=

（1）求m的值；

（2）求/（x）在区间［0,3］上的值域.

18.（本小题12。分）

第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日〜8月8日在成都市举行，全民运动成为新

风尚.某体育用品店统计了2023年1〜5月份运动器材销量y（单位：千套）与售价双单位：元）的

情况，如表所示：

月份12345

器材售价双元）10090807060

销量y（千套）57.58910.5

（1）请建立y关于x的线性回归方程（精确到0.001）,并估计当该器材的售价为50元时销量为多

少千套？

（2）为了解顾客对器材的使用满意度情况，该店拟从3名男顾客和2名女顾客中随机抽取2人进

行调研回访，求选中的两位顾客为男女各1人的概率.

参考公式：对于一组数据=123,…,①，其回归直线y=hx+0的斜率和截距的最小

二乘估计分别为仁年维等Ra=］-浪

19.（本小题12.0分）

如图，在四棱锥Q-力BCD中，底面4BCD是矩形，若AD=QD=QA=2，CD=l,QC=V-5.

（1）证明：平面Q40_L平面ABC。；

（2）若E,尸分别是QC,QD的中点，动点P在线段EF上移动，设0为直线BP与平面ZBCC所成

角，求sin。的取值范围.

20.(本小题12.0分)

已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：最+，=l(a>b>0)的右顶点为力，上顶点为B,

△力OB的面积为，国心率e=

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为k的直线I与圆/+y2=1相切，且1与桶圆C相交于M,N两点，若弦长|MN|的取

值范围为住,2/司，求丽.而的取值范围.

21.(本小题12。分)

已矢口函数f(%)=ax-sinx,g(%)=x2—alnx,aeR.

(1)当Q=1时，证明：xNO时，/(%)之0恒成立；

(2)若g(x)在(l,g(l))处的切线与y=-％+1垂直，求函数g(x)在区间弓,2]值域；

(3)令/i(x)=g(x)-/(x)-sinx,若函数/i(x)有两个不同的零点，求实数Q的取值范围.

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为匕：第看°s仇(8为参数)，直线i的参数方程为

(y-Z.5171(7

(1

x=1+5。

-y2(t为参数).

(y=Tt

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

(2)若点P(l,0),直线I与圆C相交于4,8两点,求|P*“PB|的值.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：4={x[—2<x<3},B=[x\x>0],

AC\B=(0,3).

故选:A.

可根据分式不等式的解法求出集合4根据对数函数的定义域求出集合8,然后进行交集的运算即

可.

本题考查了分式不等式的解法，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：都大运会某志愿者服务小队由四川大学25名学生和电子科技大学15名学生组成，

则四川大学和电子科技大学学生人数之比为25：15=5：3,

现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取16名学生进行应急知识检测，

故从四川大学学生中抽取的人数为16x1=10.

O

故选：A.

根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由/-y2-x-y=0可得(x+y)(x-y—1)=0,

■-x+y=0或％—y—1=0,■-ux=—y''是*y=。"的充分不必要条件.

故选:B.

x2-y2—x—y=。可得(x+y)(x-y—1)=0,由此可判断.

本题考查充分必要条件，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解法一：AB-AC+AC-BC=AC■(AB+JC)=AC-AC=a2.

解法二：•••等边三角形ABC的边长为a,

.-.AB-AC+AC-BC=\AB\\AC\cosA+\AC\\BC\cosC=^a2+^a2=a2.

故选:B.

由平面向量的线性运算和数量积运算计算可得.

本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由/'(x)=+1),得=e*(/+2x+1),

/'(O)=e°(02+2x0+1)=1,

又/(O)=1,.•.函数/(x)=ex(x2+1)在点4(0,f(0))处的切线方程为y=x+l,

••・函数/(%)=ex(x2+1)在点4(0,/(0))处的切线方程为y=ax+1,

a的值为1.

故选：C.

利用导数求出函数f(x)=e\x2+1)在点力(0J(0))处的切线方程，结合已知可得a的值.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题.

6.【答案】D

【解析】解：对于4,•••nm<(哼乎=*,当且仅当m=n=g时取等号，选项4正确,

对于B,小若三

•••m2+n2>pB|12m2+2n2>1,当且仅当m=n=机寸取等号，选项B正确,

对于C,0<m,n<1,

则mn<n,

m(n+l)<m+n=l>选项C正确,

对于0,.；书<

则厂泊+口〈/工，当且仅当m=n=*时取等号，选项。错误.

故选：D.

用基本不等式逐项进行验证即可求解.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：作出可行域如下图阴影部分所示,

Z=/+八表示(%,y)到原点距离的平方，

由图象可知，z的最大值为0炉=22+42=20.

故选：D.

作出可行域，结合图象即可得到答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意得/(—2)=/(0)=/(2)=4,/(4)=24=16,

故选：C.

由己知函数解析式先求出〃-2)=4,进而可求.

本题主要考查了函数值的求解，属于基础题.

9.【答案】A

【解析】解：由题意，函数图象关于y轴对称，即函数y=/(x)为偶函数，排除B、D,

选项C：由f(%)=/+妥可得尸⑺=2%一爰=2LT)%1)(/+1),

当x>1或一1<x<0时，/'(x)>0,函数单调递增，当x<-1或0<x<1时，f'(x)<0,函数

单调递减，

易得函数的极小值点为-1和1,与图象不符，排除C.

故选：A.

由已知结合函数的奇偶性及极值点检验选项即可判断.

本题主要考查了由函数图象检验函数的解析式，体现了数形结合思想的应用，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：依题意，，2x—x2=-X+3有两个不相等的实数解,

即y=5/2x-/,y=mx+3的图象有两个交点，

易知y=，2x-x2是以D(1,O)为圆心,1为半径的上半圆(除去点B(2,0)、原点(0,0)),

y=mx+3是过定点4(0,3)的直线，

由图可知，当直线在4B和4c之间时符合要求，

当直线为时，m=

U-/L

当直线为AC时，由点。到直线4C的距离等于半径可得m=士*正值舍去)，

二实数tn的取值范围是一》

故选：D.

将问题转化为y=、2x—%2,y=mx+3的图象有两个交点，作出两个函数的图象，结合图象即

可得出答案.

本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题.

11.【答案】C

【解析】解：•••P41底面ABC,BCu底面ABC,

•••BC1PA,又rBC1CA,CACiPA=A,

BCL^iPAC,•：PB是Rt△PBC^Rt△PBA的公共斜边，

PB是三棱锥的外接球直径，由S=4nR2=5/r=R=^

设AC=AP=m,则PB=2R=Vm2+4=V-5.

则m=1,BC=V4-1=

故选：C.

由已知可得PB是三棱锥的外接球直径，可得PB,设4c=4P=/n,进而可得=仁,

进而可求8c.

本题考查空间几何体的外接球问题，属中档题.

12.【答案】D

【解析】解：①・••由椭圆的性质可得@2一82=。2,由双曲线的性质可得7n2+小=。2,

2222222222222

a=fo4-c,m=c-n,Aa+3m=h+c+3(c-n)=4c,

即/=3n2,b=V~-3n,故①正确；

②椭圆与双曲线有公共焦点F2,

=/+2,...=

:、卢一炉np在第一象限，且|p&|+\PF2\=2a,|PFX|—\PF2\2m,

2222

QPF1I+|PF2D-(I^1I-|PF2|)=4a-4m=4IPFJ­\PF2\=8,

即。2一加2=2,即/+九2=2,故②错误；

③设椭圆的焦距为2c,乙尸1「尸2=出仍尸1|＞仍尸2|，贝IJ出尸il+|PF2|=2a,\PFr\-\PF2\=2m,

解得IPF/=a+m,|PF2|=a-m,

vc2=a2-ft2=m24-n2,即a?-m2=b2+n2,・••IPF/IPBI=a2-m2=b2+n2,

,4/『+IP%j2_22bn

_sin0=V1—cos0

C°S”--2|PFi||P」2l-西2b2+n2，

SxF\PFz=|x|PF/x|PF2|xsind-nb,故③正确;

④设椭圆的焦距为2c,由P在椭圆上可得|P0|+|PFz|=2a,由P在双曲线上可得|Pa|-|PFz|=

2m,

解得|P&|=a+m,\PF2\=a-m,

在A&PF2中，根据余弦定理可得：|&尸2|2=仍&|2+仍「2|2一2伊&|・严2卜3以

整理得4c2=a?+3/，即,+'=4,

嫉+底=(比+登)e/='C|+詈+4)>亨x'+4)=；(2<3+4)，

当且仅当雄=C登时取等号，故④错误.

故选：D.

利用双曲线与椭圆的几何性质，结合每项的条件计算可判断其正确性.

本题考查椭圆与双曲线的性质，考查运算求解能力，属中档题.

13.【答案】-1

【解析】解：复数z=Q+bi(a,bER)满足z(l一i)=3

则z=L=—"1+0'==+"

人」l-t(1-0(14-022，

故Q=—I，b=I，

则.j=-1.

2

故答案为：-1.

根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

14.【答案】(0,+8)

［解析］解：y=^-lnx(x>0),

令'y=T+-

则单调递减区间为(0,+8).

故答案为：(0,+8).

求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可.

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题.

15.【答案】0

【解析】解：由离心率为，2，可得a=l,

则C：/-y2=1的渐近线为y=±%,

则m可能取的值为±1,和为0.

故答案为：0.

由双曲线的离心率可求得a,进而可得渐近线方程，可求m的值.

本题考查双曲线的性质，属基础题.

16.【答案】(0,1)

【解析】解：</和g是函数f(X)=x-21nx+zn两个不相等的零点,

x-

不妨设>%2>0,i2lnx1+m=0,x2—2lnx2+m=0,

两式相减得与-X2-2，n§=0,

令言=t>1,A=tX2，

・•・x2(t—1)—2lnt=0,

解得不=笞，X1=誓，

.X1X2_1_2tlnt

一打+也——+——t2-l,

x2X1

令g(t)=/—1—2tlnt,t>1,g'(t)=2t-2lnt—2,

令h(t)=2t—2lnt—2,t>1,

.・,//«)=2-£>0恒成立，

,/l(。在(l,+8)是单调递增，

/./i(t)>h(l)=0,

・•・g'(t)>0恒成立，

・•・g(t)在(l,+8)是单调递增，.・.g(t)>g(l)=0,C>1恒成立，

At2—1>2tlnt>0,

/2tlnt,[

：•A0V―y—V1.

r-1

故答案为：(0,1).

由％1和久2是函数f(%)=%一2)x+zn两个不相等的零点，不妨设>x2>0,巧一2仇％1+m=0,

x2-2lnx2+m=0,两式相减得%i-％2-2仇言=0,令言=t>l,分别解出与，x2,都用t表

示，通过转化、构造函数，利用导数研究函数的单调性与极值即可得出结论.

本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、换元法、等价转化方法、方程与不等式的

解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

17.【答案】解：(1)/(%)=1%3+mx2一3%+1,

f'Q)=x2+2mx—3,

x2

•・,％i，x2(i<打)是函数/(%)=I%?+mx-3x+1的两个极值点，

乃是方程/'(%)=产+2mx-3=0的两个实数根，

・,・+%2=-2m,%1%2=—3，

"T?=ZV=i解得m=L

-315

(2)/,(x)=%2+2x-3=(%4-3)(x—1),

列表如下：

X0(0,1)1(1,3)3

f'(x)<00>0

f(x)1单调递减极小值一|单调递增10

・・•/(x)在区间［0,3］上的最大值为/(3)=10,最小值为/(I)=-|,

・•・f(x)在区间［0,3］上的值域为［一壬10］.

【解析】(1)利用导数的运算法则可得f'(x)，根据X1，%2(X1<%2)是函数f(x)=33+mx2-3%+

1的两个极值点，利用根与系数的关系及已知好孑即可得出m.

(2)利用导数研究函数/(%)的单调性与极值及区间函数值即可得出结论.

本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、根与系数的关系，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

--I—1

18.【答案】解：(l)x屋(100+90+80+70+60)=80,y屋(5+7.5+8+9+10.5)=8,

Sf=i(^i-x)Oi-y)=-125,Sf=i(Xi-x)2=1000,

则仁丹磊竽=125

-0.125,

1000

a=y—bx=8—(—0.125)x80=18,

・•.y关于％的线性回归方程为：y=-0,125%4-18-

当x=50时，y=-0.125x50+18=11.75-

二估计当该器材的售价为50元时销量为11.75千套；

(2)设男顾客为4、B、C,女顾客为a、b,则可能的组合有：

(AB),(4,C),(B,C),Q4,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)共10种情形.

其中一男一女的有(4a)，(4b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b)共6种情形.

故选中的两位顾客为男女各1人的概率为a=|.

【解析】（1）由已知求解b与a的值，可得y关于X的线性回归方程，取X=50求解y值得结论；

（2）利用枚举法列出从3名男顾客和2名女顾客中随机抽取2人的所有情形，得到男女顾客各一人的

情形，再由古典概型的概率公式求解.

本题考查线性回归方程与随机事件的概率，考查运算求解能力，是基础题.

19.【答案】证明：（1）在△QCD中，QC=S,CD=1,QD=2,：.QC2=QD2+CD?,

：,△QCD为直角三角形且CD1QD,

又底面4BCD是矩形，则CD1AD,

QDQAD=D,且均含于面Q4O内，:CD_L平面Q40,

又•:CDu平面2BCD,二平面QZD平面4BCD；

解：（2）在平面ABCD内，取4。中点为。，过点。作O77/CD,交BC于点T,

vCDLAD,OT1AD,

由题意可得Q。1•平面48C。，且OT,ADa^^ABCD,

则0Q_L4D,OQ，。7,.•.直线OQ,0T,。。两两互相垂直,

.••以。为坐标原点，OT,OD,0Q所在直线分别为x,y,z轴建如图所示的空间直角坐标系,

则。(0,1,0),Q(0,0,0),B(l,-l,0),C(l,l,0),E©[,?)，

CD=(-1,0,0),=W?),

设丽=A£F(0<A<1)，

则前=^CD=(-^,0,0),BP=丽+前=(一上抬,？)，

又丽=(0,0,「)，

.0\BPOQ\

贝=丽丽=

(A+l)2+12

,:AE[0,1],—^—<sin9<13，

・•.BP与平面ABC。所成角的正弦值的取值范围为[一,等].

【解析】(1)由QC2=QD2+C/)2,得到CCIQD,再由CD1力。，利用线面垂直的判定定理，证

得CD1平面。4D,进而证得平面Q4D1平面4BCD；

(2)根据题意得到直线OQ,07,。。两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，结

合题意设钎=<A<1)，分别求出直线BP的方向向量和平面力BCO的法向量，利用向量

的夹角公式得到s讥9=L，然后利用二次函数的图象和性侦即可求解.

J(4+1)2+12

本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题.

(£=C

20.【答案】解：(1)由题意可知I：，可得a=2,b=c=C，

•••椭圆C的方程为：[+4=1;

42

(2)设直线/的方程为y=h+m,N(x2,y2y

由「L-1,得利2=k2+l,

Jfc+1

y=kx+m

I《+#_],得(2好+i)x2+4kmx+2m2-4=0,

4=16kzmz-4(2k2+l)(2m2-4)=32k2-8m2+16=32k2-8(/c2+1)+16=24k2+8>0

恒成立,

4km

与+犯=一再

则

2m2—4

3=际

2m2f

所以%丫2=(kx】+rn)(kx24-m)=k%^+km(xx+x2)+

,-----------i-----------J24k2+8,—J(fc2+l)(3fc2+l).—

22

\MN\=Vl+fc|x1-x2|=Vl+/c-^—2——=2C・0-------2-----------=2<7-

2k+12k+1

•••|MN|的取值范围为有24%,

则|《2yT2-42>n，解得o<t2<i.

m2f

・•・OM-ON=xrx2+y1y2=(1+k2)xrx2+krng+x2)+

222

_(2m-4)(l+/c)4k27n2_fc+l

2公+12/+12公+1

v0<fc2<1,

【解析】(1)根据题意求出a,b,c,即可得解；

(2)设直线L的方程为丫=kx+m,M(%i，yi),NQ2,%)，根据直线与圆相切求出k，m的关系，联

立方程，利用韦达定理求出与+%2,/％2,再根据|MN|的取值范围求出k的范围，从而可得出答

案.

本题考查直线与椭圆的综合问题，属于中档题.

21.【答案】解：(1)证明:已知f(%)=ax—sin%,函数定义域为R,

当a=1时，/(%)=x—sinx,

可得广。)=1—cosx>0,

所以函数/XX)在［0,+8)单调递增，

此时/。)》/(0)=0，

故工>0时，恒成立；

(2)已知g(%)=x2-alnx,函数定义域为(0,+8),

可得"(%)=2%—%

若g(%)在(