2020-2021学年山西省阳泉市平定县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年山西省阳泉市平定县九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（每小题3分）

1.在平面直角坐标系中，点（-2,6）关于原点对称的点坐标是（）

A.（-6,2）B.（2,-6）C.（2,6）D.（-2,-6）

2.下列四个图形是word软件中的自选图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的

是（）

3.一元二次方程尤2-4x-1=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实根

C.有两个相等的实数D.有两个不相等的实数根

4.对于反比例函数y=-巨，下列说法正确的是（）

x

A.点（1,5）在它的图象上

B.它的图象在第一、三象限

C.当x<0时，y随x的增大而增大

D.当x>0时，y随x的增大而减小

5.从如图所示的扑克牌中任取一张，牌面数字是3的倍数的概率是（）

6.如图，正六边形48CDEF内接于连接AC,则NBAC的度数是（)

A.60°B.50°C.40°D.30°

7.如图，DE//FG//BC,若DF=3FB,则EC与GC的关系是(

5

A.£C=4GCB.EC=3GCC.EC=—GCD.EC=2GC

2

8.如图，在平面直角坐标系中，已知AABC中点8的坐标为(4,2),以坐标原点。为位

似中心，在第三象限内，将△ABC边长放大2倍得到了B'。，则点8对应点8,

的坐标为()

A.(-4,-8)B.(-8,-4)C.(-6,-4)D.(8,4)

9.如图，已知PA与。。相切于点4点B为。上一点，ZAOB=120°,过点8作

PA于点C,BC交于点D,连接A3.已知。4=2,则图中阴影部分的面积是()

兀4兀

A.D口.2--兀---C.n

73-T

10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1,0）,B（4,0）,下列说法正确的

是（）

B.a-b+c>0

C.图象的对称轴是直线尤=2

D.图象的对称轴是直线尤奇

二、填空题（每小题3分，共15分.）

11.两个相似多边形的面积比是9：16,其中较小多边形周长为36c%,则较大多边形周长

为.

12.用16加长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为您"，则

围成长方形的生物园的面积S（单位：机2）与X的函数表达式是.（不要求写自变

量尤的取值范围）

13.小明抛掷两枚质地均匀的骰子（如图，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数），两枚

骰子朝上的点数和是7的概率是.

14.如图，学校综合实践小组的种植园是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中

间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为627平方米，设小道的宽为x

米，则可列方程为

15.将边长为2的正方形ABC。绕点C按顺时针方向旋转45°至【JBECG的位置(如图)，

EF与AD相交于点H,则HD的长为.(结果保留根号)

三、解答题(本大题共个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.解方程:

(1)解方程：4x2-4.r-2=0；

(2)解方程：无(2%-5)—6x-15.

17.如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的顶点的坐标分别是A(-5,2),8(-2,

4),C(-1,1).

(1)在图中作出△ALBICI,使△ALBICI和△ABC关于无轴对称；

(2)画出将△A8C以点。为旋转中心，顺时针旋转90°对应的AAzB2c2；

(3)直接写出点8关于点C对称点的坐标.

18.阅读思考，并解答问题:

推测滑行距离与滑行时间的关系

一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离S（单位：相）与滑行时间f（单位：S）之间

的关系式，测得的一些数据（如表）

滑行时间t/s01234

滑行距离04.51428.548

s/m

为观察S与才之间的关系，建立坐标系（如图），以/为横坐标，S为纵坐标.

请解答以下问题：

（1）指出表中数据对应的5个点，并用平滑曲线连接它们.

（2）根据（1）曲线图象，利用我们所学的函数，近似地表示s关于f的函数关系式（不

要求写/的取值范围）.

sm八.

50-

40-

30-

20-

10-

----------------------------------------->t/s

-1O1234

-10-

19.在平面直角坐标系中，直线y=Ax+b（女WO）与双曲线y=㈣（相W0）相交于A,B两

x

点，点A坐标为（3,2）,点5坐标为（九，-3）.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）根据函数图象直接写出关于x的不等式依+6>旦的解集.

20.平定县位于山西中部东侧，是三晋东大门.境内山川秀丽，有著名旅游景区娘子关，有

名扬三晋的冠山古书院，建于秦长城一百年之前的固关长城，省级森林公园药林寺等等,

这些都是人们周末游的好去处，小明计划某个周末和妹妹一起去旅游，他收集了如图所

示四个景点的卡片，卡片分别用MG,C,y表示，卡片大小、形状及背面完全相同，

通过游戏规则，选择景点，请用列表法或画树状图的方法，求下列随机事件的概率：

(1)若选择其中一个景点，游戏规则：把这四张图片背面朝上洗匀后，妹妹从中随机抽

取一张，作好记录后，将图片放回洗匀，哥哥再抽取一张，求两人抽到同一景点的概率;

(2)若选择其中两个景点，游戏规则：把这四张图片背面朝上洗匀后，妹妹和哥哥从中

各随机抽取一张(不放回).求两人抽到娘子关和固关长城的概率.

，娘子关G-冠山C•固关长城丫•药林寺

21.如图，己知是。。的直径，OOLA8于点O,CD是OO的切线，切点为C,连接

AC,交。。于点E.

(1)求证：ZDCE=ZDEC；

(2)若48=17,AC=15,求AE的长.

22.问题情境：

如图1,己知点。是正方形ABC。的中心，以点。为直角顶点的直角三角形。所的两边

OE,OF分别过点B,C,S.OF=OC,ZE=30°,BC=2.

(1)0c的长度为;

操作证明：

(2)如图2,将△OEF绕点。按顺时针方向旋转，若。E,。尸分别与A3,8C相交于

点M,N.请判断和ON有怎样的数量关系，并证明结论；

探究发现：

(3)如图3,将△OEF绕点。按顺时针方向旋转，若点B恰好在EF上，求/ONB的度

数.

23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=N-4x+3与x轴交于A,8两点，点A在

点2的左侧，与y轴交于点C,其顶点为点。，点E的坐标为(0,得)，该抛物线与

BE交于另一点F,连接BC.

(1)求点A,B,C的坐标；

(2)动点〃从点。出发，沿抛物线对称轴方向向下以每秒1个单位的速度运动，运动

时间为3连接。〃，BM,当/为何值时，为等腰三角形？

(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在点P,使得歹被8A平分？若存在，请求出

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（共10小题）.

1.在平面直角坐标系中，点（-2,6）关于原点对称的点坐标是（）

A.（-6,2）B.（2,-6）C.（2,6）D.（-2,-6）

解：点（-2,6）关于原点对称的点坐标是（2,-6）,

故选：B.

2.下列四个图形是软件中的自选图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的

是（）

A弋B-（E）C

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：C.

3.一元二次方程x2-4x-1=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实根

C.有两个相等的实数D.有两个不相等的实数根

【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况.

解：*/△=（-4）2-4XlX（-1）=20>0,

.♦.方程有两个不相等的实数根.

故选：D.

4.对于反比例函数y=下列说法正确的是（）

x

A.点（1,5）在它的图象上

B.它的图象在第一、三象限

C.当x<0时，y随x的增大而增大

D.当x>0时，y随x的增大而减小

【分析】利用反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项.

解：4把（1,5）代入得：左边#右边，故A选项错误，不符合题意;

B、左=-5<0,图象在第二、四象限，故B选项错误，不符合题意；

C、当x<0时，y随着龙的增大而增大，故C选项正确，符合题意；

D、当x>0时，y随着x的增大而增大，故。选项错误，不符合题意;

故选：C.

5.从如图所示的扑克牌中任取一张，牌面数字是3的倍数的概率是（）

【分析】根据概率公式直接计算即可解答.

解：（1）从中随机抽出一张牌，牌面所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性

相等，其中出现3的倍数的情况有1种,

：.P（牌面是3的倍数）=5；

4

故选：A.

6.如图，正六边形ABCOEF内接于。0,连接AC,则NBAC的度数是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【分析】根据正六边形的性质即可得到结论.

解：连接8。、CO,

在正六边形A8CAEF中，ZBOC=——=60°,

6

/.ZBAC=—ZBOC=30°,

2

故选：D.

D

7.如图，DE//FG//BC,若DF=3FB,则EC与GC的关系是（）

5

A.£C=4GCB.EC=3GCC.EC=—GCD.EC=2GC

2

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到EG=3GC,进而得出结论.

解：'.,DE//FG//BC,DF=3FB,

.EG_DF_.

••3，

GCFB

：.EG=3GC,

；.EC=4GC,

故选：A.

8.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中点3的坐标为（4,2）,以坐标原点。为位

似中心，在第三象限内，将△ABC边长放大2倍得到了AA'B'C',则点8对应点夕

的坐标为（）

A.(-4,-8)B.(-8,-4)C.(-6,-4)D.(8,4)

【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为左，那

么位似图形对应点的坐标的比等于上或-k,即可求得答案.

解：「△ABC中点2的坐标为(4,2),以坐标原点。为位似中心，在第三象限内，将

△ABC边长放大2倍得到了AA'B'C,

...点B对应点的坐标为：[4X(-2),2X(-2)]§P(-8,-4).

故选：B.

9.如图，已知E4与。。相切于点A,点B为。上一点，ZAOB=120°,过点2作

PA于点C,8C交。。于点。，连接A艮已知OA=2,则图中阴影部分的面积是()

【分析】连接0D,求出NAOD=N8OD=60°,由于点。和点A到BD的距离相等,

△ABD的面积与△08。的面积相同，从而可知阴影部分面积为扇形OBD的面积.

：尸4为。。的切线,

：.0A±PA,

'：BC±PA,

：.ZOAP=ZBCA=90°,

J.OA//BC,

NAOB+NOBC=180°,

VZAOB=120°,

./OBC=60°,

•：OB=OD,

・・・△08。是等边三角形,

：.ZBOD=60°,

•：0A〃BC,

・,•点0和点A到BD的距离相等,

••S/\ABD=S/\OBD9

:・S阴影=S扇形08。，

_60KX42_

.“彭—一痂—w兀

故选：B.

10.如图，二次函数y=oN+Z?x+c的图象经过点A(1,0),B(4,0)下列说法正确的

是()

B.a-b+c>0

C.图象的对称轴是直线x=2

D.图象的对称轴是直线x="|

【分析】由二次函数的图象与x轴有两个交点可判断A,由x=-1,ya-b+c,此时(-

1,a-b+c)在第三象限，可判断8,由图象经过A(1,0)\、B(4,))可求解对称轴,

可判断C、D,从而可得答案.

解：二•二次函数的图象经过点A(1,0),B(4,0),

b2-4〃c>0,故A错误；

当x=-1时，y—a-Z?+c,

由函数图象可得(-1,a-b+c)在第三象限，

•'•a-b+c<0,故B不符合题意;

二•二次函数y=aN+Z?x+c的图象经过点A(1,0),B(4,0),

•••图象的对称轴是直线X=2把士，故C不符合题意，。符合题意.

22

故选：D.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.把答案写在题中横线上）

11.两个相似多边形的面积比是9：16,其中较小多边形周长为36%则较大多边形周长

为48C〃7..

【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的

平方计算即可.

解：两个相似多边形的面积比是9：16,

面积比是周长比的平方，

则大多边形与小多边形的相似比是4：3.

相似多边形周长的比等于相似比，

因而设大多边形的周长为xcm,

解得：尤=48.

大多边形的周长为48c：”.

故答案为48cm.

12.用16加长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为》"，则

围成长方形的生物园的面积S（单位：加2）与天的函数表达式是S=-/+8x.（不要

求写自变量x的取值范围）

【分析】直接利用长方形面积求法得出函数关系式.

解：♦..围成长方形的生物园的长为初J,则长方形的生物园的宽为（8-X）777,

...围成长方形的生物园的面积S（单位：加9与X的函数表达式是：

S=x（8-尤）=-N+8X.

故答案为：S=-/+8尤.

13.小明抛掷两枚质地均匀的骰子（如图，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数），两枚

骰子朝上的点数和是7的概率是《.

一6一

【分析】画出树状图，共有36个等可能的结果数，其中两枚骰子朝上的点数和是7的结

果数为6个，再由概率公式求解即可.

解：画树状图为：

开始

123456123456123456123456123456123456

和234567345678456789567891067891011789101112

共有36个等可能的结果数，其中两枚骰子朝上的点数和是7的结果数为6个，

两枚骰子朝上的点数和是7的概率为占=当，

366

故答案为：4--

0

14.如图，学校综合实践小组的种植园是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中

间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为627平方米，设小道的宽为x

米，则可列方程为（35-2x）（20-x）=627（或2炉-75x+73=0）.

【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植

的面积为627列出方程即可.

解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35-2无）米，宽为（20-尤）

米，

，可列方程为（35-2无）（20-x）=627（或2N-75x+73=0）,

故答案为（35-2x）（20-无）=627（或2/-75x+73=0）.

15.将边长为2的正方形ABC。绕点C按顺时针方向旋转45°到EECG的位置（如图），

EF与AD相交于点H,则HD的长为2、万-2.（结果保留根号）

【分析】先根据正方形的性质得到CD=2,ZCDA=9Q0,再利用旋转的性质得CF=

2加,根据正方形的性质得NC/芯=45°,则可判断△。阿为等腰直角三角形，从而计

算CF-C。即可得出答案.

解：：四边形ABC。为正方形，

：.CD=2,ZCDA=9Q°,

:边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对

角线CF±,

:.CF=2M，ZCFE=45°,

/.丛DFH为等腰直角三角形，

:.DH=DF=CF-CD=2近-2.

故答案为：

三、解答题(本大题共个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.解方程;

(1)解方程：4x2-4.r-2=0；

(2)解方程：x(2x-5)—6x-15.

【分析】(1)方程利用公式法求出解即可；

(2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可.

解：(1)这里。=4,b=-4,c=-2,

・"2-4ac=16+32=48>0,

_4±473

••A,

8_

解得：的=生巨，血=上正；

22

(2)方程移项得：x(2%-5)-6x+15=0,

方程整理得：x(2x-5)-3(2x-5)=0,

分解因式得：(2x-5)(x-3)=0,

可得2%-5=0或％-3=0,

解得：Xi=3,X2=y.

17.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A(-5,2),2(-2,

4),C(-1,1).

(1)在图中作出△4B1G,使和△A8C关于无轴对称；

(2)画出将AABC以点。为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△AzB2c2；

(3)直接写出点2关于点C对称点的坐标.

【分析】(1)根据轴对称性质即可在图中作出△AbBiG,使△4B1C1和△ABC关于x轴

对称；

(2)根据旋转的性质即可画出将△ABC以点。为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△

A2B2c2；

(3)根据3(-2,4),C(-1,1).即可写出点3关于点C对称点的坐标.

解：(1)如图，△481G即为所求；

（2）如图，282c2即为所求；

（3）点8关于点C对称点的坐标为（0,-2）.

18.阅读思考，并解答问题：

推测滑行距离与滑行时间的关系

一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：加）与滑行时间f（单位：s）之间

的关系式，测得的一些数据（如表）

滑行时间tls01234

滑行距离04.51428.548

slm

为观察s与t之间的关系，建立坐标系（如图），以f为横坐标，s为纵坐标.

请解答以下问题：

（1）指出表中数据对应的5个点，并用平滑曲线连接它们.

（2）根据（1）曲线图象，利用我们所学的函数，近似地表示s关于f的函数关系式（不

要求写/的取值范围）.

s.m.八

50-

40-

30-

20-

10-

--------------------------->tfs

-1O1234

-10■

【分析】(1)描点，连线，画出函数图象，

(2)由图象可得出s与t的关系可近似看成二次函数，再根据点的坐标利用待定系数法

求出二次函数关系式即可.

(2)观察函数图象，S与r的关系可近似看成二次函数，

设S关于/的函数关系式为S=at2+bt,

将(1,4.5)(2,14)代入$=请+从,得

(a+b=4.5

l4a+2b=14,

解得：a^2,

,b=2

...近似地表示s关于t的函数关系式为s=^t2+2t.

19.在平面直角坐标系中，直线y=br+6(20)与双曲线了=蚂(〃zWO)相交于A,B两

x

点，点A坐标为(3,2)，点B坐标为(n,-3).

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)根据函数图象直接写出关于x的不等式依+6>蚂的解集.

【分析】(1)把点A(3,2)、点B(n,-3)代入y=—(m^O),即可求得m、n

x

的值；

(2)由函数的图象即可求得.

解：(1)•・•双曲线丁=典(mWO)过点A(3,2),

x

*.m=3X2=6,

..反比例函数表达式为y=旦，

X

;点B-3)在反比例函数y=2的图象上,

X

\n--2,

\B(-2,-3).

.•点A(3,2)与点、B(-2,-3)在直线上,

梵，解得k=l

b=-f

..一次函数表达式为y=x-1；

(2)由图像可知，关于x的不等式依+b＞处的解集是-2＜尤＜0或x＞3.

x

20.平定县位于山西中部东侧，是三晋东大门.境内山川秀丽，有著名旅游景区娘子关，有

名扬三晋的冠山古书院，建于秦长城一百年之前的固关长城，省级森林公园药林寺等等,

这些都是人们周末游的好去处，小明计划某个周末和妹妹一起去旅游，他收集了如图所

示四个景点的卡片，卡片分别用MG,C,y表示，卡片大小、形状及背面完全相同，

通过游戏规则，选择景点，请用列表法或画树状图的方法，求下列随机事件的概率：

(1)若选择其中一个景点，游戏规则：把这四张图片背面朝上洗匀后，妹妹从中随机抽

取一张，作好记录后，将图片放回洗匀，哥哥再抽取一张，求两人抽到同一景点的概率;

（2）若选择其中两个景点，游戏规则：把这四张图片背面朝上洗匀后，妹妹和哥哥从中

各随机抽取一张（不放回）.求两人抽到娘子关和固关长城的概率.

'娘子关G-冠山C•固关长城丫•药林寺

【分析】（1）画树状图，共有16个等可能的结果，其中两人抽到同一景点的结果有4

个，则由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有12个等可能的结果，其中两人抽到娘子关和固关长城的结果有2

个，则由概率公式求解即可.

解：（1）画树状图如图：

一开始、

NGCY

人

WNGCYNGCYNGCYNGCY

共有16个等可能的结果，其中两人抽到同一景点的结果有4个，

两人抽到同一景点的概率为冬=1;

164

（2）画树状图如图：

开始

NGCY

/T\/1\ZN/1\

WGCYNCYNGYNGC

共有12个等可能的结果，其中两人抽到娘子关和固关长城的有2个，

两人抽到娘子关和固关长城的概率为3=《.

126

21.如图，已知A8是。。的直径，于点。，C£）是O。的切线，切点为C,连接

AC,交0D于点、E.

（1）求证：ZDCE=ZDEC；

(2)若AB=17,AC=15,求AE的长.

【分析】（1）首先连接0C,由C。是OO的切线，切点为C可得OC_LC。，又由。0

LAB,根据等角的余角相等，可证得：ZDCE=ZDEC；

（2）易证得△AEOS/XABC,然后根据相似三角形的对应边成比例，求得A5的长即可.

【解答】（1）证明：连接

•・,CD是。。的切线，切点为C

JOCLCD,

即NOCZ)=90°,

•・・OC=OAf

：.ZA=ZOCA,

9

：OD±ABf

：.ZDEC=NAEO=90°-NA,

VZDCE=90°-ZOCA,

・•・ZDCE=/DEC；

(2)解：・・,A3是。。的直径，

AZACB=90°,

VAB=17,

2

VZAOE=ZACB,ZA=ZA,

：.£\AEO^/\ABC,

AE_AO

AB'AC'

17

AE~T：

yrnr

289

：.AE

~30

22.问题情境:

如图1,已知点。是正方形ABC。的中心，以点。为直角顶点的直角三角形OEP的两边

OE,。尸分别过点3,C,MOF=OC,ZE=30°,BC=2.

(1)OC的长度为

操作证明:

(2)如图2,将△OEP绕点。按顺时针方向旋转，若OE,。/分别与AB,8C相交于

点、M,N.请判断和ON有怎样的数量关系，并证明结论；

探究发现：

(3)如图3,将绕点。按顺时针方向旋转，若点8恰好在EF上，求/ONB的度

数.

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质和勾股定理解答；

(2)如图2,连接03、0C,证明△20M四△CON,即可得出答案；

(3)根据题意可推出AOB尸为等边三角形，可得/。8/=90°,再根据NOBC=45°,

可得NCBF=/OBF-ZOBC,继而可求出/0N8=

解：(1)如图1,

图1

:点。是正方形ABC。的中心，ZBOC=90°,

：.OB=OC.

\'BC=2,

：.OB2+OC2=BC1,即2002=4.

；.OC=&.

故答案是：近.

(2)OM=ON,理由如下:

如图2,连接。8、OC,

图2

:点。是正方形ABCD的旋转中心，

：.OB=OC,ZOBC=ZOCB=45°.

；/ABC=NBCD=90°,

：./OBM=/OCN=45°.

由旋转的性质，可得NMOB=NNOC.

在△BOM与△CON中，