《百分数的认识》教学设计与意图

《百分数的认识》教学设计与意图

教学目标：

1.认识百分数表示“一个数是另一个数百分之几的数〃，理解百分数表

示两个数倍数关系统计量的价值。

2.掌握百分数的读、写法，运用百分数理解和表示实际问题。

3.感悟百分数对随机数据的表达，探索大数据对百分数稳定性的作

用。

4.利用百分数的稳定性和确定性进行预判和决策。

5.在百分数的学习中让学生养成用数据说话的习惯，促进数学与生活

的联系。

教学重点：

理解百分数表示两个量的倍数关系，领会其统计量的意义；在百分数

研究中感受数据的随机性和大数据下的稳定性；提升学生利用百分数

进行简单预判和决策的能力。

教学难点：

百分数对数据随机性和大数据下稳定性的表达。

教学用具：

师：课件、抛硬币视频、抛硬币记录单。

生：课前在家进行抛10次硬币实验，将正面朝上数据记录在记录单

上；收集生活中的百分数，初步了解其意义。

课前思考：

我国著名的概率学家陈希孺说过:"习惯于从统计规律看问题的

人，在思想上不拘执一端，他既认识到一种事物从总的方面看有一定

的规律，也承认例外。〃确实，统计意识的培养可以让人全面且深入

地看待问题。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下称“数学新课标"）

中，将百分数从"数与代数〃领域移到“统计与概率”领域，与平均数一

同作为统计量进行教学，这是信息时代和大数据时代背景下的必然转

身。教学中需要体现出百分数对随机现象和数据表达的统计价值，在

对随机数据信息不断的收集、整理、分析和反馈中发现规律，为判断

和决策提供服务。可以这么说，百分数从数的领域进入统计量范畴后,

它面对的不只是一个数或者两个数据的倍数关系，还会遇到更多的随

机"大数据〃，或者这么说：百分数从2011年版课标的“一个数”"一对

数”的意义识别，已迈向了2022年版新课标的“一群数"数据意义的表

征。通过"只要有足够的数据就可能从中发现规律"，（中华人民共和

国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）⑸.北京：北京师范大学

出版社,2022:9.）要对数据规律进行分析、发现、表达和运用。

教学过程：

一、认识百分数、感受数据随机性

（-）感受倍数关系的价值

师：为丰富学生的课外活动，学校开展套圈游戏活动，请你比一

比某班第一小组中的1号和2号同学谁的套圈水平高?

出示表1相关部分，师：1号套中9次，2号套中5次，你能判断

谁的水平高吗？

生L因为9>5,所以，1号水平高。

生2：不一定，因为总数我们不知道，假如1号套了100次中9

次，2号套了10次中5次，就是2号水平高了。

师：看来需要将套中的和套了的次数联系起来看。

出示1号和2号同学套圈总次数“20次〃和“10次〃，师：现在可以

判断谁水平高吗？

生L算差，比较未套中次数。

生2：这样也不行。例如1号套了10次，2号套了6次，每人套

了的次数与套中的次数都是相差1次，也就是都有1次未套中，但他

们套圈水平应该不一样。

生3：我觉得2号水平高，套中的占了一半，也就是套中次数占

套的总次数的5/10。用套中次数+套的总次数。

师：实际上这就是在求什么？

生：相当于求一个数是另一个数的几分之几（或几倍）。

师：分别列式并算出两个分数。说说每个分数的意义。

生：9/20表示1号选手套中次数占套的总次数的二十分之九;5/10

表示2号选手套中次数占套的总次数的十分之五（或1/2）,或者说

两位选手套中次数占套的总次数的0.45倍和0.5倍。

师：谁套圈水平高？你能比出他们的大小吗？

生L可以通过"一半”做标准来比，也可以通分以后比，9/20<

10/20,所以2号选手套圈水平高。

生2：也可以化成小数比，0.45<0.5,所以也是2号选手套圈水

I问。

（二）理解百分数的倍数关系

出示3号和4号同学套中次数和套的总次数数据。（如表1相关

部分）

师：知道了3号和4号选手的套圈情况，你觉得他们四人的套圈

水平如何？算一算，比一比四位选手的套圈水平。

学生独立计算。

生：可以算出3号和4号同学套中次数各占自己套的总次数的几

分之几，即6/15和12/25,再将四个人的分数通分比较。

师：这里通分公分母取多少？你有什么感受？

生：公分母取可以取300,如果先把5/10和6/15约分，公分母就

可以取100o

师：请你比一比它们的大小。

生L我把四个分数通分成分母是100的分数，通过比较发现套

圈水平从高到底分别是2号、4号、1号和3号。

生2：也可以转化成小数，分别是0.45、0.5、0.4、0.48o

师：套圈的水平也可以用一个什么词来表达？

生：命中率。

师：你知道什么叫"命中率〃，你能解释或者表达一下命中率吗？

生（半疑惑）：命中率就是套中的是套圈总数的几分之几（百分

之几）？

师：回答得很接近了。套圈的命中率表示“套中的圈数占套的总圈

数的百分之几〃，一般用“百分数”来表达。【板书：百分数】百分数

又叫百分率或百分比，生活中的百分数有时也叫"几率""概率”。

师：这四个人的套圈的命中率分别是多少？各表示什么意思？你

会读、写吗？

生：1号命中率是45%……读、写略。（如表1）【板书：百分之

四十五，45%]

学生套中套图套中次数占套图总套中次数占套期总

命中率

编号次数总次数次数的几分之几次数的一百分之几

945

1号92045%

20ioo

550

2号510

10Too

640

号6154M

36loo

1248

4号122548%

25ioo

表1

师生同读、同写，提醒：读作"百分之几"。

师：分别说一说各个命中率百分数的含义。百分数表示两个量之

间的什么关系？你觉得百分数和分数之间是什么关系？

生L1号套圈命中率45%,表示1号套中的是套的总数的百分之

四十五……

生2：百分数表示两个量的倍数关系【板书：倍数关系】百分数

是分数的特殊形式。

师：百分号是来源于十五世纪的意大利商人，在商品降价时候，

他们通常用一些特殊的符号来表示，瞧，这个符号就是百分号的雏形,

（如图1）它其实是percent（百分之……）的缩写。

图1

师：如果来更多的同学参加套圈，你觉得会选择什么数来表达他

们的套圈水平？

生：我会选择百分数，因为一眼就看出多少，方便比较。

（三）交流百分数倍数关系的生活运用

师：你还收集到什么百分数？请举例说明。

生举例并解释。（如含糖率、及格率、手机电量剩余、文件拷贝

已完成率、绿化率、空气质量优良率）

师：”地球上的淡水总量约为3.8亿亿吨〃。看了后什么感想？

生：很多。

师：淡水是地球总水量的2.53%。看过又有什么感想？【板书：

2.53%]

生：如果只看总质量是很多，但看了百分数突然发现淡水很少，

所以看了百分数后可以更全面了解情况。

师：海水是淡水量的3800%。看后还有什么感想？【板书：3800%]

生1：海水很多，是淡水的38倍。

生2：我还发现百分号前面可以是小数，也可以大于100。

（四）百分数对随机统计数据的表达

师：现在4名同学套圈命中率从高到低分别是2、4、1、3号，如

果这四名同学还进行一次同样次数的套圈比赛，最后命中率排名还是

这样的吗？

生：不一定排名就是这样，因为每次套中情况不固定。

师：生活中的事物是联系且复杂的，会造成数据变得复杂和随机，

我们就称这些数据是随机数据，【板书：随机数据】这种现象就是随

机现象，信息课遇见过随机数据吧？百分数可以表达这些随机数据，

你能说说生活中的随机现象吗？

生：信息Scratch编程课上遇见过“随机”现象，随机现象有投篮命

中率

师：百分数也跟着数据的变化而变化，难道百分数就跟随着这些

数据"随波逐流"吗？

这里主要包括百分数的认识和随机性的感悟两部分内容。在百分

数的认识中,以“套圈水平高低”引出倍数关系和百分数;用分数、小

数和百分数表示倍数关系的计算和对比,再结合增加选手进行套圈排

名的情境,感受百分数表达统计量的简洁;又通过生活,丰富百分数

的意义和读写的全面认识;在随机性的感悟环节,利用“让这四名选

手重新进行同样次数的套圈活动’的问题情境,预测命中率情况,感

受数据的随机,并在跨学科和生活中发现随机的大量存在。

二、大数据对百分数统计价值的影响

（一）用跨段内容引发"抛硬币”公平性的疑惑

师：现在1号和2号选手用同一组套圈，3号和4号选手也用同

一组套圈，如果用抛硬币决定每组谁先套圈你觉得是否可行？

生：四年级学习过了可能性，正反面可能性相等，所以可以用抛

硬币方法决定谁先套。

师：这种方法是否有道理呢？现在让数据和百分数来说话吧。

（二）小数据发现“抛硬币”数据的随机与波动

师：课前请大家抛了10次硬币，请你在记录单上算一算正面朝上

占总次数的百分之几？

请学生汇报"正面朝上占抛的总次数的百分之几”？

师：这里也可以用“正面朝上的几率（可能性）〃来简要叙述这个

百分数。有哪些同学和他（她）的百分数相同？请举手！其他百分数

呢？

依次询问并举手。师：你能确定正面朝上的"几率〃吗？

生：不能确定，好像都是随机的。

师：是的，看来这个百分数是随机与波动的，只抛几次的小数据

显示正面朝上的"几率”在0%-100%之间。【板书：小数据0%-100%】

（三）大数据分析“抛硬币”数据的分布和稳定

1.了解大数据

师：看似"随机现象'捉摸不定，但有了更多数据，是否会别有洞

天呢？你听过“大数据〃吗？

生：听过。购物上面就有大数据，会根据我们点击某类商品的次

数、浏览时间和搜索情况等进行计算推理，来推荐商品。

师：是的。俗话说"一叶障目，不见泰山"，我们可不能被几个数

据蒙蔽了智慧的眼睛，来，我们继续增加数据。

2.中数据研究

师：大家课前也做了实验，请根据你的数据算一算抛10次，正面

朝上的“几率〃是百分之多少？0%有多少人？10%有多少人……请举

手。你发现什么？

生：我发现好像0%和100%很少，其他都比较多。

3.大数据研究

（1）“大”数据下百分数的分布

教师出示776位学生抛硬币在线表格统计数据（每人抛10次）。

师：瞧，老师请766位同学也和你们一样，每人抛了10次硬币，

先看正面朝上的百分数，你发现什么？

生：数据很多，还是分不清，需要把这些百分数排序。

师：老师已经将这些百分数排序，再把相同百分数的次数转化成

了条形图的长短，长条越长说明相应人数越多。（如图2）例如左边

蓝颜色长条表示正面朝上是40%的有这么多同学，其他涂色长条能理

解吗？看了这个长条，你发现什么？

40%50%60%

图2

生：中间长条表示硬币正面朝上的"几率”是50%的有这么多人，

右面最长的长条表示正面朝上“几率”是60%的人最多，我还发现正面

朝上的“几率"基本上集中在40%-60%之间。

师：和小数据比，你发现什么？

生：我发现这些百分数在收集、分类、汇总后都集中在50%左右。

(2)“大〃数据下百分数的波动

出示连续抛硬币模拟视频。

师：条形的中线表示百分之多少？连续抛硬币过程中，看看正面

朝上和反面朝上是如何相互变化的？(如图3)

投擦的次数-144

血的次数・76出现反向的次数

图3

生L中线表示50%。我发现一个百分数多则另一个就少。正、

反面出现百分数大小相反，加起来等于100%。

生2：都在50%上下波动，随着抛的次数增加波动变得更小了，

且靠近50%!

(3)大数据下百分数的稳定

师：刚才我们其实只是将每个人抛的小数据进行排序、分段分析

和动态观察，还不属于真正的大数据，可以理解为中数据或者小数据

组群。【板书：中数据40%-60%】可以假设这些是一个同学抛硬币的

数据，现在老师利用电子表格将抛硬币总次数和朝上总次数进行了计

算，这时候就成了这一位同学抛硬币形成的大数据，数据分别是多

少？朝上的“几率〃是多少？怎么算？

生：共抛了7660次，正面朝上3944次，用3944+7660正面朝上

占51%多一些，很接近一半。（如表2）

正面朝上占物硬币总次数

姓名正面朝上次数反面朝上次数鼬噢币总次数（次》

10的百分之几

总体39443716766051%

表2

师：其实有很多数学家也像我们这样做了抛硬币实验，实验比我

们做得还要标准。瞧，这些是大数据还是小数据？（如表3）

数学家“抛硬币”实验

1E制朝上抛的总1「川相1/总次反而就上抛的总反面朝上占总次

的次数次数教的门分比的次数次数数的百分比

恺•冷界2018109250.05%2011109249.95%

前12018101050.07%1992101049.93%

费初19791000049.79%50211000050.21%

皮尔逊120122100050.05%119882100049.95%

我们的

3944766051.48%3666766048.52%

实脸

表3

生：每个人实验次数也很多，所以属于大数据。

师：对比同学抛硬币的实验和科学家们抛硬币的实验，你有什么

发现？如果继续抛，这个百分数会怎么样？

生：我发现正面和反面朝上的“几率〃都十分接近50%,而且如果

继续抛会稳定在50%,所以用硬币决定比赛是公平的。【板书：大数

据，50%]

师：和之前的中、小数据比，你发现现在的百分数数据有什么变

化？

生：我发现实验次数越多，百分数表示朝上的“几率"范围越来越

小、波动越来越小，越来越稳定。反面朝上的也一样。【板书：实验，

玲，稳定】

这里的教学,实质是百分数对随机现象呈现的价值延伸。用百分

数表达随机现象,会引发学生对'不可预测”价值的怀疑,因此,这里

顺水推舟地将小数据组引向大数据群,通过联系四年级的《可能性》,

将旧知进行统计方面的升级,运用核心概念'数据'将知识向多维度联

结和整合;教学中将小数据向中数据和大数据递推,分析百分数的分

布和波动差异,并通过与历史上数学家抛硬币实验数据进行对比,充

分感受随机数据在大数据分析下所形成的稳定性规律,体悟到数据的

多元价值属性。另外,由于本内容处于毕业年级使用,因此这里的学

习也为初中“统计与概率”的定量分析做好小初衔接的准备。

三、利用稳定性和确定性进行决策和预判

(-)利用百分数的稳定性进行方案决策

1.推荐引发需求的“大数据”

师：如果要从1号到4号同学中选一位参加明天的年级套圈比赛，

应该选谁？

生1：选2号，因为他(她)套圈命中率最高。

生2：不一定，因为这一次训练有偶然性，不能代表这位选手的

实际水平。

师：如何才能更深入地了解到选手的真实套圈水平?

生：像抛硬币一样，需要这四位选手之前更多的套圈训练或比赛

的数据，我们就可以发现他们的稳定水平。

2.依据百分数稳定性判断

教师出示这四人之前的套圈命中率数据。（如表4）

师：这些数据应该是很久之前的还是最近的？通过综合分析这些

训练数据后你会选择几号？

生L要选择最近的数据。

生2：我会选择4号选手，因为整体看4号套圈命中率超过50%

的占了大多数，其他选手命中率很少超过50%。

师：是的，有了比较多的最近套圈命中率数据的帮忙，通过百分

数整体的对比，我们就可以进行决策了。【板书：决策】

表4

（二）利用百分数的确定性进行价值预判

师：百分数除了表示随机数据，也可以表示确定数据，你能举例

说一说吗？

学生举例回答。【板书：确定数据】

师：如饮品含糖率为10%,你能对饮料进行种类判断吗？（矿泉

水、可乐）能否提醒一下这种饮料不太适用的人群？

生：我觉得这种饮品是可乐，糖尿病人不能喝、小孩也不能多喝,

伤牙齿。

师：这款可乐中，其他成分是糖的百分之多少呢？

生：904-10=9=900%o

师：刚才我们观察到有些百分数表示确定的数，不需要大数据就

可以直接帮助进行预判。【板书：观察、1、固定、预判】

推荐套圈选手参赛的问题,和课始四位选手“套圈水平”的排序相

呼应。从之前多次套圈"命中率’的数据表现中,通过‘偏大数据'（这

里还