2020-2021学年宣城市高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年宣城市高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.命题“m&eR,使得/一2工一3<0成立”的否定形式是（）

A.3x0€使得M-2%-3>0成立

B.3x0eR,使得%2-2%-3>0成立

C.VxeR,x2-2x-3<0恒成立

D.Vx6R,x2-2x-3>0恒成立

2.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，…，960,分组

后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29,则抽到的32人中，编号落入区间[1,480]

的人数为（）

A.10B.14C.15D.16

3.如果散点图中所有的样本点均在同一条直线上，那么残差平方和与相关指数分别为（）

A.1,0B,0,1C.0.5,0.5D.0.43,0.57

4.把十进制数15化为二进制数为（）

A.1011B.1001（2）C.11H（2）D.1111

5.过双曲线捺一卷=19>0/>0）的右焦点且垂直于丫轴的直线与双曲线交于4B两点,若y轴

上存在一点。（0k），使得乙4DB=：，则此双曲线的离心率的值是（）

A.V2B.V2+V2C.2D.2+V2

6.在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，若

各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是（）

7.甲、乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2,甲不输的概率为0.7,则甲、乙下成和棋的概率为

（）

A.0.5B.0.7C.0.9D.0.4

8.如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩,

若甲、乙两人的平均成绩分别是五、五，则下列判断正确的是（）

A.>%2,甲比乙成绩稳定

B.五<五，乙比甲成绩稳定

C.x,=x2,甲比乙成绩稳定

D.五=石，乙比甲成绩稳定

如图给出的是计算日普士出土存…*」一的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是

24猫鲍谑

A.B.C.D.

10.“a=-7”是“直线（3+砌％+4丫=5-3£1与直线2%+（5+£1）丫=8互相平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

11.已知Fl、F2为椭圆的两个焦点，以线段入尸2为一边的正方形4BF2&与椭圆交于M,N两点，且M,

N分别为边的中点，则椭圆的离心率为（）

A.V3-1B.V5-1C.生D.心

22

12,函数/（x）=x-a疝在xe[1,4]上单调递减，则实数a的最小值为（）

A.1B.2C.4D.5

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.意大利画家达•芬奇在绘制施银貂的女子少(如图)时曾仔细思索女子脖子

上的黑色项链的形状是什么曲线？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究

发现悬链线方程与双曲余弦曲线密切关联，双曲余弦曲线C的解析式为

coshx=(e为自然对数的底数).若直线y=m与双曲余弦曲线C交于

点A,B,曲线C在4,B两点处的切线相交于点P,且^APB为等边三角形，则m,\AB\=

14.在区间以用和|居，叫分别取一个数，记为畸简，则方程=：!表示离心率大于后的双曲

线的概率为.

15.直线I：丫=/£。-1)与抛物线。：、2=4%交于p，Q两点(P在Q的上方)，F为抛物线的焦点，。为

原点，且寝=3.以PQ为直径的圆与直线x=a(a<0)相切，切点为M,则|而|=.

16.若存在实数a使得max{|cosa+3+意+,I，Icosa+7+^+31]>10成立，则实数c的取值范围

是.

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.己知函数/0)=4/-4&*+1-2。+2.

(1)若函数/(x)在区间[0,2]上的最大值记为gQ),求g(4)的解析式;

(2)若函数在区间[0,2]上的最小值为3,求实数&的值.

18.设函数f(%)=yjex+x-a(aeR,e为自然对数的底数).若曲线y=s讥%上存在(&,%))使得

/(/(%)))=Vo，求a的取值范围.

19.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

频率

组距

0.04

0.03

(1)求图中a的值;

0.02

a

0

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,

求数学成绩在［50,90)之外的人数.

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

x:y1：12：13：44：5

20.在研究P“2.5(霾的主要成分)形成原因时，某研究人员研究了P“2.5与燃烧排放的CO2，NO2，C。,

。3等物质的相关关系，如图是PM2.5与CO,。3相关性的散点图，

(I)根据三点图，请你就C。，。3对PM2.5的影响关系作出初步评价;

(11)以100〃9/机3为单位，在上述左图中取三个点，如下表所示,

PM2.5M124

co(y)0.511.5

求夕关于会的回归方程，并估计当C。的排放量为200〃g/m3时，PM2.5的值(用最小二乘法求回归

方程的系数是(匕=,*，零,a=y-bx)

(DI)雾霾对交通影响较大，某市交通部门发现，在一个月内，当C。排放量(单位：〃9/巾3)分别

是60,120,180时，某路口的交通流量(单位：万辆)依次是800,600,200,在一个月内，CO排

放量是60,120,180的概率依次是p,q,r,1-P<|.3p<4r,求该路口一个月的交通流量

期望值的最大值.

21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)焦点为人过点F的弦长最小值为4.过点P(2,-1)作抛物线的两条

切线P4PB,切点分别为4B.另一直线/过点P与抛物线相交于两点C,D,与直线4B相交于

点Q.

(I)求抛物线C的方程；

(口)问瞿!+盥!是否为定值？若是，求出定值；若不是，求其最小值•

rcI\'u\

22.21.(本题满分12分)已知函数敏隔=-京嗦鬻,其导函数为，鸳'解手,设修'黑磁=赌@糜•

(I)求.舞礴在就J■崂上的最值;

(II)试比较丽菊与醐的大小.

参考答案及解析

I.答案：D

解析：解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，

即Vx6R,x2-2x-3>。恒成立，

故选：D

根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可.

本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键.比较基

础.

2.答案：D

解析：解：根据系统抽样的定义先确定每组人数为960+32=30人，即抽到号码的公差d=30,

••・第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29,

•••等差数列的首项为29,

则抽到号码数为0n=29+30(n-l)=30n-l,

由30n-1<480,

得30n<481,

即n=16三，

3030

・•・n<16,

即编号落入区间口,480］的人数为16人.

故选：D.

根据系统抽样的定义先确定每组人数为960+32=30人，即抽到号码的公差d=30,然后根据等差

数列的公式即可得到结论.

本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键.

3.答案：B

解析：

本题考查散点图、相关指数等知识，属于简单题.

解：由于散点图中所有的样本点均在同一条直线上，

那么由残差的定义可得，残差为0,残差的平方为0,

由相关指数的定义和公式可得相关指数为1,

故选B.

4.答案:C

解析：解：15+2=7...1

7+2=3...1

3+2=1...1

14-2=0...1

故15(10)=1111(2)

故选C.

利用”除k取余法”是将十进制数除以2,然后将商继续除以2,直到商为0,然后将依次所得的余数

倒序排列即可得到答案.

本题主要考查的知识点是十进制与二进制之间的转化，其中熟练掌握“除化取余法”的方法步骤是解

答本题的关键，属于基础题.

5.答案：B

解析：解：双曲线条一，=l(a>0,b>0)的右焦点尸2(00),

令％=C,可得y=±g,可得A(c,—g),B(c,^-)>

乂D(0,b),^BDA=90°,即丽.丽=0，

可得：(c,?)(c,一?-b)=0，

可得,2+川—・■=0,可得e”—4e?+2=0,e>1,可得e=,2+近.

故选：B.

设出双曲线的右焦点，令x=c,代入双曲线的方程，解得4,B的坐标，^ADB=p运用向量数量

积的坐标表示，再由离心率公式，求解即可.

本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用转化思想，以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，

属于中档题.

6.答案：D

解析：

本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查学生分析问题的能力，属于中档题.

前两个盒子为串联线路，求出它们不畅通的概率，利用对立事件的概率求出前3个盒子畅通的概率,

后2个盒子为并联线路，求出它们畅通的概率，前3个盒子和后2个盒子又是串联线路，利用相互独立

事件同时发生的概率公式，即可求电路畅通的概率.

解：前两个盒子为串联线路，畅通的概率为;x|=],所以不畅通的概率为1-；|,

则前三个盒子畅通的概率为1一：x；=，

346

后两个盒子畅通的概率为1-；X；=算，

5o3U

所以当开关合上时，电路畅通的概率是?=*

JUODO

故选。.

7.答案：A

解析：解：•••甲不输包含甲、乙两人下成和棋与甲获胜，

且甲、乙两人下成和棋与甲获胜是互斥事件，

•••甲、乙下成和棋的概率P=0.7-0.2=0.5.

故选:A.

利用互斥事件的概率加法公式即可得出.

本题考查互斥事件及其概率加法公式，属于基础题.

8.答案：B

解析：解：根据茎叶图中数据，计算甲组数据的平均数为五=：x(lll+115+123+128+136+

O

143)=126,

方差为受=；X[(-15)2+(-11)2+(—3/+22+102+172]=要，

66

乙组数据的平均数为兀=；X(112+126+127+124+132+135)=126,

6

方差为受=；X[(-14)2+02+I2+(-2)2+62+92]=m，

66

所以五＜五，s：＞s%乙比甲成绩稳定.

故选：B.

根据茎叶图中数据，分别计算甲、乙两组数据的平均数和方差，比较大小即可.(也可以利用乙组数

据比甲组数据更集中些判断乙成绩更稳定)

本题考查了利用茎叶图中数据计算平均数和判断方差大小问题，是基础题.

9.答案：D

111*111II

解析：试题分析：i=1,S=0—S=—,i=2fs=—]}—,i=3—t,S=—#，+，，i=4

罢S4妻邺豳

S=-«-+^+...-A-,1=1007=1006+1,所以判断框内应填入的条件是i>1006,故选。.

黑41篇鲍嗨

考点：1.程序框图；2.条件语句.

10.答案：C

解析：解：若直线(3+a)x+4y=5-3a与直线2x+(5+a)y=8平行，贝1(3+a)(a+5)=8,解

得a=-7或a=-1,

当a=—1时，两直线方程分别为(3+a)x+4y=5—3a与直线2x+(5+a)y=8,此时两直线重合,

•••a=-7,

即a=-7是直线(3+a)x+4y=5-3a与直线2x+(5+a)y=8互相平行的充要条件.

故选：C.

通过直线平行求出a的值，然后利用充要条件的判断方法判断即可.

本题考查充要条件的判断与应用，直线平行的充要条件的应用，基本知识的考查.

II.答案：D

解析：解：连结MF2，如图，则正方形ABF?0

的边长为2c,

M,N分别为边8尸2的中点，二=

由勾股定理可知：MF2=5催+F用=

«2+(2C)2=限,

由椭圆定义可知：2a=+MF2=(1+

V5)c,

二离心率e=：=点乖=与，

故选：D.

通过连结MF2,易得M&=c,利用勾股定理及椭圆定义计算即得结论.

本题考查求椭圆的离心率，涉及勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题.

12.答案：C

解析：解：求得函数的导数，。)=1一票,

・•・函数y(x)=%-&正在xe［1,4］上单调递减，

f'(x)<o即1一袅w°，对任意的xe［1,4］成立

a>24对任意的xG［1,4］成立，得a>4

因此a的最小值是4

故选C

根据题意，函数f(x)的导数在区间［1,4］上恒小于或等于0.因此求出导数f'(x),列出相应不等式，解

之即可得到实数a的最小值.

本题给出函数在指定区间上单调递减，求参数a的最小值，着重考查了函数求导数的法则和导数与单

调性的关系等知识，属于基础题.

所以切线PB的方程为y-m=-x0),

ee

令x=0时，y—°~~-(—x0)+m,

—

所以点P到直线4B的距离d—PC=m—[—y-°(^o)+词=——y~~-x0,

所以tan/BPC=tan30°=g=d。=羡三不，

―2―X0

所以遗

3exo_e-xo

令1=6*。0>0),则苧=£，

所以Ht2-6t—百=0,

所以t=包三三亘=6±2，

所以1=国+2,

所以m=i-。=5=(8+乃+高=2,

222

所以蜡。=g+2，

所以尤o=ln(V3+2)>

所以|4B|=2x0=2Zn(V3+2),

故答案为：2；2Zn(V3+2).

根据题意可得g(x)=g(-x),则g(x)为偶函数，即g(x)关于y轴对称，设B(x(),?n),?l(-x0,m),且

m=写出切线PB的方程，可得点P坐标，再得点P到直线4B的距离d=PC,进而可得

tan/BPC=t(m30°=而=西谭丁=羡立而，解得&，m,\AB\.

-2—%

本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题.

14.答案：-

解析：试题分析：由题意，妇联^，垂，整理得已加整，即额法麴谢，从区间|［惠即和喀翔分别

涌’谢

取一个数，记为踞息，则对应的点@&谶在矩形施侬内部(含边界)，作直线颔=痴，矩形施侬

‘1

上用鸣求1

内部满足题细痴的点在感魂嫄内部(不含线段城期)，则所求概率为锻=超典=整=二.

考点：儿何概型.

15.答案：越

3

解析：解：由题意可得直线，过焦点(1,0),抛物线的准线方程为：x=-l,如图所示：设PQ1，%),

Q(x2,y2),联立直线与抛物线的方程，[蓝：_])，整理可得1/一(21+4)%+1=0,

Xj4-x2==1，yi+y2=k(Xi+上-2)='①，yry2=-J4/♦4©=-4②，

代入①②可得卜2=3,

|PQ|=X]+毛+P=4+警1+2=4+部所以PQ为直径

再由与直线尤=a相切可得：牛一a=r,即普一。=决(一/

2+称，解得a=—l；可得直线x=a=-l是抛物线的准

k2

线，

所以|MF|=VME2+EF2=J+p2=+4=Jg+4=竽；

故答案为：延.

3

由题意可得直线I过抛物线的焦点，直线与抛物线联立求出两根之和及之积，进而求出弦长PQ,再由

漂=3可得P,Q的纵坐标的关系，代入两根之和及之积求出/的值，再由PQ为直径的圆与直线

x=a(a<0)相切，可得a的值，即x=a为抛物线的准线，进而求出M的坐标，求出|称|的值.

考查抛物线的性质，属于中档题.

16.答案：[3,+8)

解析：解：因为a实数，cosa+3e[2,4],

所以c=0时，^max{\cosa+31———I,|cosa+74———|}=cosa+7<10,不成立；

'cosa+311cosa+3

当c<0时，得7nax{|cosQ+3H———I,\cosa+74————1)<cosa+7<10,不成立；

cosa+3cosa+3

当c>0时，^max[\cosa+34———L\cosa+74————1)=cosa+7H————=cosa+3+

icosa+3cosa+3cosa+3

要存在实数a使得max{|cosa+3+嬴行|Jcosa+7+cosa+31}N10成立,

必须cosa+3+4c4-4>4-4>10,解得c>

cosa+3Q4y/c4

实数C的取值范围是：£+8).

故答案为：［：,+8).

利用函数恒成立，通过对C的取值讨论，转化求解即可.

本题考查函数与方程的应用，函数恒成立体积的转化，考查分析问题解决问题以及分类讨论思想的

应用.

17.答案：解：(1);函数/。)=4/-40芥+1-2。+2,

.•.二次函数的对称轴为：x=g,

:

若，即当a<2时，g(a)=/(x)asai=/(2)=o-10a+18,

若g>l2

即当a>2时，g(a)=/(x)aai=f(0)=a-2a+2,

a—1Oct+1&々X2

综上，g(a)=，2

a—2a-b2,a>2

(2)函数f(x)=4x2-4ax-a2-2a+2=4(x-y)2-a2+a^-2a*2=4(x-^-)'-2a-2,开口向上,

在区间［0,2］上的最小值为3,

若aWO,可得/(x)在［0,2］上为增函数，

/'(x)min=y(0)=a2-2a+2=3,

解得a=l士亚，laCO,，a=l-N2,

若0<a<4,可得。《浮2,在x=：处取最小值，f(x)rnin=f(-)=-2a+2=3,解得a=4,

(舍去);

2

若a>4时，f(x)在［0,2］上为减函数,f(x)min=/(2)=16-8a+a-2a+2=3,

解得a=54<i6，综上：a=1-淄或a=5F<ii.

解析：⑴根据已知条件中所给的二次函数，求出对称轴，然后根据对称轴与区间［0,2］的位置关系

讨论即可求出函数的最大值;

(2)已知函数/(久)=4x2-4ax+a2-2a+2,对其进行配方得到对称轴，利用分类讨论的方法进行

求解.

18.答案：解：由题意可得y()=sinxo€[-1,1],/(y0)=yje^+y0-a,

・•・曲线y=sinx上存在点(xo，%)使得/(f(yo))=y0,

存在yoe[0,1],使/仇)=%成立，

•••函数f(x)在它的定义域内单调递增，

下面证明/■(%))=yo>

假设fOo)=c>%，则/(/仇))=f(c)>/仇)=c>y°,不满足/(/(yo))=%，

同理假设/Oo)=c<y0,则不满足/(/仇))=y0,

综上可得：f(y0)=y0；

故有/(x)=x在[0,1]上有解，即/+x-x2=a在[0,1]上有解，

令g(x)=ex+x-x2,则a为g(x)在[0,1]上的值域，

,当x6[0,1]时，g'fjc')-ex+1-2x>0,故函数g(x)在[0,1]上是增函数，

故g(o)wg(无)吊。(1)，

即a的取值范围是：

解析：由题意可得存在%e[0,1],使fOo)=%成立，即八%)=%在上有解，即e，+x-x2=a,

xe[0,1],利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a的范围.

本题主要考查正弦函数的图象和性质，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的值域，体现

了转化的数学思想，属于中档题.

19.答案：解：(1)由频率分布直方图可知

(0.04+0.03+0.02+2a)x10=1.

所以a=0.005.

(2)该100名学生的语文成绩的平均分约为

x—0.05x55+0.4x654-0.3x754-0.2x85+0.05x95=73.

(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表:

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

X5403020

x：y1：12：13：44：5

y5204025

于是数学成绩在［50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10.

解析：略

20.答案：解：(/)由已知中的散点图，可得C。与PM2.5具有正相关关系，。3与PM2.5不存在相关关系;

(//)VX=y=l,£?=1*=21,羽=1为%=8.5,

,h.工骨1々％-3＞于_&5_3_8_2

"b~-21-3“守-痛，

a=y—fox=i,

“关于2的回归方程为夕=a+1,

当C。的排放量为200〃g/m3时，的值。%+；=2,

Zo4

解得：X=即PM2.5的值为100Q544〃g/zn3；

(/〃)设交通流量是X,则X可以取800,600,200,

则X的分布列如下表所示：

X800600200

PPqV

(p+q+r=1

l3q<4r

4p+7qS4

0<p<|,

{q>0

交通流量X的期望值E(X)=800p+600q+200r=200(3p+2q)+200,

当p=g且q=划寸，交通流量X的期望值E(X)取最大值200(3xi+2x^)+200«552.38万辆，

即交通流量最大为552.38万辆.

解析：(/)根据左图的散点分布在一个条形区域内，可得C。与PM2.5具有正相关关系，而右图散点之

间分布较散不具有较强的相关关系；

(〃)根据已知表中数据计算出元歹，羽=1#，£篙々力,求出回归直线方程，再将点的坐标代入回

归直线方程可估计当C。的排放量为200〃9/巾3时，PM2.5的值；

印+q+r=1

q,r满足约束条件pW：,目标函数E(X)=200(3p+2q)+200,进而可得交通流

(3q<4r

量期望值的最大值.

统计也是高考新增的考点，回归直线方程的求法，又是统计中的一个重要知识点，其系数公式及性

质要求大家要熟练掌握并应用.

21.答案：解：(I)F(O,方，当过F的直线与y轴垂直时，弦长最短，此时直线的方程为'=今

代入抛物线方程可得x=±p,故最短弦长为2P=4,

p=2,

故抛物线方程为：%2=4y.

(H)设8(%2培),由一=4y可得y=『求导得V=%

・•・切线24的方程为：y—£■=£(%—/)，即y=£x—

同理可得切线PB的方程为：y=葭％一去

M——+1=0

4

因为P(2,—l)在切线P4PB上，2,

3卷+1=0

・,・直线的方程为％—y+1=0.

设直线/的方程为：y=k(x—2)—l,由R+1二1,得飞=誓.

设。(％3，丫3)，。。4。4)，

,(V=k(x—2)—1/口

由2:得/o-4k%+8k+4=0,

=4y

△=16k2-4(8fc+4)>0,解得k<1-V2,或k>1+/,