2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)3

3.5正余弦定理（精练）（基础版）

题组一正余弦定理公式选择

1.（2022・广西广西模拟预测（文））在“8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3=30。，加inA=l,

则”()

A・—2B.1C.2D.4

【答案】C

【解析】由正弦定理，得三=工，所以a=bsinA

=2故选：C

sinAsinBsin3sin30°

2.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，A=45。，C=30°,c=6,则。等于（)

A.3及B.672C.2瓜D.3瓜

【答案】B

6夜

6x—

6sin45

【解析】由正弦定理得三=二j・・4=—苦-=6啦.故选：B

sinAsinCsin30

2

2

3.（2022•四川•宁南中学）在△AB。中，角A,B,C所对的边分别是mb,c,若a=4,b=3,sinA=-f

贝ljg=()

71c兀…5兀c711.2兀

A.—R兀cD.彳或s二

6-潸彳33

【答案】A

3x2

【解析】由题意可得法inAJ31,则B=J或8=号.因为6<a,所以8<A,所以B=1

sinn=---------=——=—66O

a42

故选：A

4.（2022•全国•高三专题练习）在A"C中，角A,B,C所对的边分别是a,Ac,已知〃=28=",8=亭则4=

()

c

A五2九—5万

-7D-Z或7

【答案】B【解析】由正弦定理可得；器=白，则加=嘤*必

b

因为所以A<6,则人=£.故选：B.

4

5.（2021.宁夏・青铜峡市宁朔中学）在中，“、6、c分别为内角A、B、C所对的边，若a=8,B=60。，C=75°,

则。=（）

A.4&B.4>/3C.45/6D.32

【答案】C

【解析】因为8=60。，C=75°,所以A=180。—60。—75。=45°,因为一“一=一丝，

sinAsinB

8XB

所以6畔=T-=4后故选：C.

sinAy/2

~T

6.（2022・全国•高三专题练习）△A5C的内角4、aC的对边分别为若。=4,b=3,c=2,则中线A。

的长为（）

A.右B.加C.好D.典

22

【答案】D

【解析】如图，由余弦定理得AB2=D42+D82_2D4.£）8COS/4DB,

AC2=DA2+DC2~2DA-DCCOSAADC,又cosZADB^-cosAADC

两式相加得A82+AC2=2£>A2+O82+3C2,即22+32=2£）寿+22+22,.•.2ZM2=5,.•.力4=匝.故选:

2

D

7.（2021•云南・丽江第一高级中学）在AABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c且a：b：c=3：5：7,

贝ijcosC=.

【答案】-g

【解析】•.•a»:c=3:5:7,.•.设a=3,6=5,c=7,.1cosC=矿+、一=二+25-49=一，故答案为:-1

lab2x3x522

8.（2022•上海市奉贤中学）在AABC中，己知a=8,b=5,c=J由，则A4?C的面积S=.

【答案】12【解析】•••a=8,b=5,c=同,.•.根据余弦定理得cosC=-c=8-+5-_153=,

2ab2x8x55

sinC=\J\—cos"C=——t?Z?sinC——x8x5x——12,故答案为：12.

9.（2022•上海市实验学校高三阶段练习）在△然（?中，内角A民。成等差数列，则siYA+siYC-sinAsinC=

3

【答案】4

4

【解析】由内角AB,C成等差数列，知：28=A+C,而A+3+C=/r,

jr

22222

B=-t而由余弦定理知：b=a+c-2accosB=a+c-ac,

由正弦定理边角关系，得：sin28=sin2A+sii?C-sinAsinC==.故答案为：

44

10.（2022•上海市宝山中学）AABC的内角A、8、C的对边分别为。、氏c,己知a=&,c=2,cosA=§,贝1肥=

【答案】4

【解析】由余弦定理〃=/+,2一2"cosA得5=〃+4-4〃x萼，

16

4。2-15b-4=0，解得/?=4或匕=-二（舍去）.故答案为：4.

4

题组二边角互化

工--------------------------------------------------------------------------------------,

1.（2022・四川达州•二模）在△ABC中，ACC所对的边分别为aec,次，sin4=〃十^一",则同=（）

A.B.-C.-D.-

6432

【答案】B

力2।2_〃2

【解析】由2/?csinA=Z?2+/一〃2得：sinA=--------------=cosA»B[JtanA=1,

2bc

rr

A£（0,7T）,A=—.故选：B.

4

2.（2022.四川泸州•二模）△AB。的内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知csinA=J^cosC,0=2百，

"=8,则a+力的值是（）

A.6B.8C.4D.2

【答案】A【解析】因为csinA=6acosC,根据正弦定理得到：sinCsinA=sinAcosC

•・•sinAw0故得到tanC=百Ce（0,乃）-c=~

再由余弦定理得到：cosC=丁+/一心2=（a+bj_2ab三2二」代入‘=2右，ab=8,得到a+b=6.

lab2ab2

故选:A.

3.（2022.安徽马鞍山.一模）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为。，瓦c,设

(sinB4-sinC)2=sin2A+(2->^)sin^sinC,>/2sin4-2sin^=0,贝!JsinC=()

A[B.3C.底一近D,n+企

2244

【答案】C

【解析】在△ABC中，由(sinB+sinC)2=sin2A+(2—&)sinBsinC及正弦定理得：(b+=/+(2一/)儿,

I'Nb2+c2—a2=—\plbc*由余弦定理得：cosA="十°—土=一Y2,ifij0<A<180»解得4=135,，

2hc2

收1

由夜sinA-2sin5=0得sin3=JsinA=—,显然0°<8<90，则8=30°,。=15°,

22

[7_B

所以sinC=sin(60-45)=sin60cos450-cos60sin450=-----------•故选：C

4

4(2022.四川・乐山市教育科学研究所二模)设.ABC的内角A,B,C所对的边分别为小4c,且

n、

------4-tanA+tanB=0,则A=()

acosB

Ttc兀c兀c2兀

A.-B.—C.—D.—

6433

【答案】D

【解析】由题意知，力L=_(tan4+tanB),=/包包0],

acosB4cos81cos4cosB)

石Cy/3c

------cosA=-(sinAcosB+sinBcosA),-------cosA=-sin(A+3)=-sinC,

由正弦定理，得6sme-osA=-sinC,又sinCwO,所以"-cosA=-l,

sinAsinA

即tanA=-JJ,由0cAc/r,得A=?-.故选：D

兀1

5.(2022•广西•高三阶段练习)已知IBC中，C=-,-a=(2b-c)cosAf则8=.

【答案】y【解析】:；a=(»-c)cosA,，根据正弦定理得，sinA=2sinBcosA-sinCcosA,又(=8§。,

sinAcosC+cos/IsinC=2sinBcosA，sinB=2sinBcosA»

・・・3是三角形内角，・・・sin琼0,，cosA=g,

・・・A是三角形内角，.・・A4,・・・84.故答案为：y.

6.（2022•广西•高三阶段练习）在A4BC中,b=acos2B+Z>cosAcosB,sinC=,4=3,则。的值为.

3

【答案】2G

【解析】:〃=acos23+Z?cosAcos8,「・根据正弦定理得，sinB=sinAcos2B+sinBcosAcosB»

sinB=cosB(sinAcosB+cosAsinB),sinB=cosBsinC,tan5=sinC=—,<8是三角形内角，B=-,

36

h_Z?sinC_V3_A

由正弦定理一三=——得，c=MM=T=2V3故答案为：26.

7.(2022・吉林长春•模拟预测(理))已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为mh,c,且誓=需与，

则A=.

【答案】y

cosAcosC

【解析】由正弦定理可知，----=------------，整理得sinAcosC+cosAsinC=2sin3cosA

sinA2sinB-sinC

即sin(A+C)=2sinAcosA,sinB=2sinBcosA

因为sinBwO,Aw(0,1)所以cosA=5,A=w故答案为：］

8.(2022.上海市建平中学高三阶段练习)△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若

(«+Z?+c)(sinB4-sinC-sinA)=3Z?sinC,则A=.

7T

【答案】y

【解析】结合正弦定理可得(a+b+c)(b+c-a)=3历，即住+^?-/=3牡，^b2+c2-a2=bc,

所以cosA=£±U二且=生=」,因为Ae(O,乃)，所以A=f,故答案为：

2bc2bc233

9.(2022•黑龙江•哈尔滨三中高三阶段练习)在AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足

a--^-b+c,sinB=x/^sinC,贝！IcosB=.

6

【答案】【解析】因为sinB=#sinC,所以由正弦定理得b=,又a=J^b+c，所以可得a=2c,

46

所以8s2=立3="t士=-L故答案为：一；

lac2x2cxc44

题组三三角形的面积

1.(2022•吉林•德惠市第一中学)在AABC中，内角AB,C所对的边分别为0,仇c,NA=60。，6=2,S，4M.=6，

则A43C的外接圆直径等于()

A.立B.亚C.延D.2石

233

【答案】C

【解析】S,ABc=gbcsinA=退，可得c=2,由余弦定理得储=b2+c2-»ccosA=4,故a=2,

由正弦定理得2R=—9—=速故选：C

sinA3

2.（2022.全国•高三专题练习）在中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，若AABC的面积

S*0c=一.,则C=（》

A.2B.二

33

C.—D.—

46

【答案】C

【解析】由邑Mcn^HsinC,得^~LL=_L"sinC整理得：c?=/十后一2"sinC

4242

由余弦定理得：c*2*=a2+lr-labcosC,即sinC=-cosC,即tanC=-l

又C€（07）,解得C=T37r.故选：c.

3.（2022•内蒙古赤峰•模拟预测（理））我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三

斜求积”公式，设的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,“三斜求积”公式表示为

S=a2c-6）.在AABC中，若/sinC=6sinA,（a+c『=16+从，则用“三斜求积”公式求

得“的面积为（）

A.BB.6C.2&D.4正

2

【答案】C

【解析】因为/sinC=6sinA,所以a2c=6a,即ac=6,又（4+c、）~=16+〃，所以+c?-y=4,所以

s=£[36-4]=2四，故选：C

4.（2020.全国•高三专题练习）已知A45C中，角A,B,C所对的边分别为“，b,。，若“=4+2正-c,

tanA=-y/l,cosC==,则AABC的面积为（）

A.4币B.2币C.V14D.77

【答案】D

【解析】依题意tan4=-77,cosC=-,所以A为钝角，8,C为锐角.

4

当=-万他5・4至4上

«cosA,解偈sinA二---,cosA=------.

sin2A+cos2A=1,4

sinC=-cos2C=.由正弦定理得--.=-g-=6，a=y[lc.

4csinC，7

~T

a=\/2c

由.解得ci=4,c=2A/2.

a=4+2&-

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=巫3名立=巫，

44448

所以S=-acsinB=-x4x2V2x—=77.^：D

4A4c22g

5.（2022•陕西•西安中学高三阶段练习（理））AABC的内角A8,C所对的边分别为a,6,c.已知

（/?-c）sinB+csinC=asinA,bcosC+ccosB=2,则AABC的面积的最大值（）

A.1B.yj3C.2D.2G

【答案】B

【解析】因为（A—c）sinB+csinC=asinA,所以从—从+02=/,所以cosA=g,

又Ae（O,;r）,所以A=工，因为AOSC+8OSB=2,所以b七竺©+c广士贮=2,所以a=2,

3lab2ac

由/=》2+C2—2）CCOS4，得4=6+°2-bcNbc,所以bc<4,当且仅当b=c=2时，取等号，

则Swc=g历sin4=9c46所以A45C的面积的最大值为G.故选：B.

6.（2022•天津市宁河区芦台第一中学）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=JB，

C=y,S.ABC=3\/3,贝！Ia+b=

【答案】7【解析】S,Mc=；"sinC=3百，得必=12由余弦定理得片=/+加-2成cosC,^13=a2+h2-ab

可得（4+6）2=13+12x3=49,故a+b=7故答案为：7

题组四判断三角形的形状

1.（2022・全国•高三专题练习）AABC的三边长分别为4,5,7,则该三角形的形状为（）

A.没有满足要求的三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

【答案】D

【解析】因为42+5?<72,由余弦定理易知，最大角为钝角，该三角形为钝角三角形.故选：D.

2.（2022.江苏.高三专题练习）在中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若ccos8=a,则这个

三角形的形状为（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】A

，2R

【解析】因为ccosB=a,所以由余弦定理可得C•“+L=q,即一从=勿2

2ac

所以C2=片+"，所以三角形的形状为直角三角形故选：A

3.（2022,内蒙古通辽•高三期末）A43C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若/+从cos2A=2从cosA,

则AABC为（）

A.等腰非等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

【答案】B

【解析】由+（6cosA）2-2cZ>cosA=0,可得（c-6cosA）°=。，所以c=£>cosA,所以sinC=cosAsin3.

在AABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsin,故sinAcos3=0,

TT

因为sinArO,所以cosB=0,因为0<8<兀，所以8=万，故AABC为直角三角形.故选：B

4.（2022.全国•高三专题练习）已知^ABC中，三内角AB,C满足2B=A+C,三边。，仇c满足/=砒，贝U^ABC

是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等边三角形D.钝角三角形【答案】C

rr

【解析】中，•・・28=A+C且A+3+C=4,AB=y,

22

将=ac,8=《代入余弦定理层=a+c-2accosB可得ac=/+/,

化简可得（a-c）~=0,HPa—c,

rr

又=山等边三角形判定定理可知AABC为等边三角形.故选：C.

5.（2022.全国•高三专题练习）在A45C中，内角A,B,C所对的边分别为〃"，。，则畔=注”是“A43C

bcosA

是等腰三角形''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】在AMC中，由£=”与结合余弦定理得：J+C2-1=—+c-J整理得：

bcosA2bc2ac

a2c2-a4=b2c2-b4,即（"一〃）（片+从一。2）=0,贝|j。=或/+/=。2,MC为等腰三角形或直角三角形，

〃cr）qR

即“7二一不能推出“△回（?是等腰三角形“，而△回€:为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不能保证

bcosA

士〃cos8一

有7=-----7成乂，

bcosA

所以“£=”是“AMC是等腰二角形”的既不充分也不必要条件.

bcosA

故选：D

6.（2022•西藏・拉萨中学高三阶段练习（理））在“1BC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,满足

acosA=hcosB,则AABC的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D在AASC中，对于acosA=bcos8,由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin28,

TT

所以2A=2B或2A+25=万即4=3或A+B=g.所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D

7.（2022・全国•高三专题练习）若将直角三角形的三边。，b,c分别增加1个单位长度，组成新三角形，则

新三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【答案】A

【解析】由题意，不妨设。为直角三角形的斜边，故〃=/+。2

各边增加1,可得三边长为：a+\,b+\,c+\

此时4+1为三边中最长的边，故所对的角是新三角形的最大角，

不妨设新三角形最大角为a

,,（/>+1）~+（C+1）__（tz+1）'2（/?+C-4Z）+1

故cosa=----------------------=-------------

2g+1）（c+l）2（〃+l）（c+l）

由于“，b,。为三角形的三条边，故〃+c>a

.♦.cosa>0,又ae（0,%）\a为锐角

新三角形的最大角为锐角，故新三角形是锐角三角形

故选：A

8.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，6,c,若方cosA=csinB-acosS,

则A/1BC是（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】因为6cosA=csinB-acosB山正弦定理化边为角可得：sinBcos>4=sinCsinB-sin74cosB,

所以sinCsinB=sinAcosB+sin8cos4=sin（A+B）=sin（7t-C）=sinC,

TT

因为sinCwO,所以sin3=l,因为0<3<兀，所以8=耳，所以△ABC是直角三角形，故选：C.

sin任+81

9.（2022•全国•高三专题练习）在^A3C中，若满足〃二（2）,则该三角形的形状为（）

bcos（2^-A）

A.等腰三角形B.直角三角形C,等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】由正弦定理可得sinA_，皿2,®_cosB，所以sinAcosA=sin3cosB,

sinBbcos（2"-A）cosA

所以sin2A-sin23=0,所以sin2A-sin2B=2cos（A+B）sin（A—3）=。，所以cos（A+8）=0或sin（A-B）=0,

TTJT

因为A+3e（0,;r）,A-Be（一乃,乃），所以A+B=彳或A—B=0,所以C=7■或A=B,

22

所以AABC是直角三角形或等腰三角形，故选：D

3

10.（2022•全国•高三专题练习）的内角A,B,C的对边分别为a,"c,已知cos2A-2cos4+^=0且

满足。=#（匕—c）,则△ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】B

【解析】cos2A-2cosA+—=2cos2A-l-2cos/l+—=0,解得cosA=1，A=—,则8=至-（7,

22233

•；a=-J3（b-c）,由正弦定理得sinA=石（sin8-sinC）,

—=>/3sin(--C)-sinC,—cosC+-sinC-sinC=-,

213J222

•｛冗1r，~i、1「万.

s,nlT-cJ=i1因c\为2..一7171—71,71

TTTT

：.C=-,B=-,是宜角三角形、故选：B.

62

题组五三角形解个数

」------

1.（2022•全国•高三专题练习）满足条件a=4,b=3&，4=45。的三角形的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.不存在

【答案】B

【解析】在AMC中，因为。=4,6=3夜，A=45。，

4TMab,bsinA3夜sin45’3

由11正弦e定理=二==,可得sin8=------=—--------=-.

sinAsinBa44

因为4<3及，即则00<8<135°有两解，所以三角形的个数是2个.故选：B.

2.（2022.全国•高三专题练习）在△回（?中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）

A./?=10,A=45°,C=70°B.a=60,c=48,3=60。

C.。=5,人=7,c=8D.a=14,0=16,A=45。

【答案】D

【解析】对于A选项，•.•A=45。，C=70°,;.B=65°,又b=10,

,-Jl

.I由正弦定理-^=4=—；；得：°I（）XT5也，1Osin70°

smAsmBs.nC3Mb/sin65°

三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；

对于B选项，-.■a=60,c=48,8=60°,.由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=3600+2304-2880=3024,>0,

三形::边唯一确定，，此时二:角形有一解，不合题意;

对于C选项，a=5,b=7,c=8,三边均为定值，三角形唯一确定，故选项C不合题意；

1A及

对于D选项，•.•“=14,。=16,A=45。，.••由正弦定理一^=—得：616X4显近,

sinAsinBsinnx=——T—=—^―>—

•：a<b,/.45°=A<B,45<3vl35",「.B有两解，符合题意,故选：D.

3.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，a=G，b=3,A=^，则此三角形（）

A.无解B.一解

C.两解D.解的个数不确定

【答案】C

【解析】在AABC中，a=h=3,4=2,由正弦定理得疝gA3smz=上川而A为锐角,

"ay/32

W.a<h,则8=?或8=与，所以AABC有两解.故选：C

4.（2022•全国•高三专题练习）若AABC的内角A,8,C所对的边分别为a",c,a=80,b=100,A=30。，

则B的解的个数是（）

A.2B.1C.0D.不确定

【答案】A

【解析】由正弦定理知，急=熹,即薪=黑'解得sinB4

又B€（0,7）,由三角函数性质知角8由两个解,

当角3为锐角时,满足4+8<乃，即存在;

8s8=-粤，sin(8+A)=3#+△=50后

当角8为钝角时,

216

则满足A+8<%,即存在；故有两个解.

故选：A

7F

5.（2022•全国•高三专题练习）在1BC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,A=§,。=3,若满

足条件的三角形有且只有一个，则边b的取值不可能为（）

A.3B.4C.272D.2下）【答案】B

【解析】由己知，C到直线AB的距离为6sin工=3人所以当a="b或a上方时，即6=26或“2人时,

322

满足条件的三角形有且只有一个.

所以对于A,符合故三角形有一解；

1T

对于B：当〃=4时，符合Ain1<a<8,故三角形有两解；

对于C：符合a*b,故三角形有一解；

对于D：符合。=且匕，故三角形有一解.

2

故选：B.

6.（2022•全国•高三专题练习）在AA3C中，角A8,C所对的边分别为“,0,c,下列条件使AABC有两解的

是（)

A./?=2,c=1,A=3OB.0=8,3=45,C=65

C.〃=3;c=2,A=30D.a=3夜力=4,8=45」

【答案】D

【解析】选项A.由余弦定理可得a?=/+c2-2反cosA=4+l-2xlx2x立=5-2行

2

△ABC的三边分别为8=2,c=l,a=后二五后，所以满足条件的三角形只有一个.

bca8

选项B.8=45,C=65,则A=7(T,由正弦定理可得

sinBsinCsinAsin70°

父sin45°qsin65°

所以b=吧娱,c=吧喘，AABC的三边为定值，三个角为定值，所以满足条件的三角形只有一个.

sin700sin700

bca

选项C.由a=3;c=2,A=30。，则由正弦定理可得—=6

sinBsinCsinAsin30°

21

所以sinC=》=不由则A>C,所以角C为一确定的角，且30°>C>0。，

63

则角角B为一确定的角，从而边匕也为定值，所以满足条件的三角形只有一个.

选项D.作NB=45。,在的一条边上取8C=a=3&，过点C作CH垂直于DB的另一边，垂足为

贝“8|=3,以点C为圆心，4为半径画圆弧,

因为|CH|<4<3应=a,所以圆弧与£»的另一边有两个交点A，&

所以均满足条件，所以所以满足条件的三角形有两个.

7.(2022•全国•高三专题练习)已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为a",c,若a=&,b=2,A=£,

o

则满足条件的AABC()

A.无解B.有一个解

C.有两个解D,不能确定

【答案】C

【解析】因为°=收<6=2，A=g,

O

由正弦定理可得」一=上，B>A，所以sin8=2sinA=YZ,

sinAsmBa2

因为8为三角形内角，所以9<8<:万，因此8=/或8=若，

6644

什门冗ini7万3人日平*廿"34_713八日内上

若5=:，则C=符r合题意；若8=-；-,则。=,符r合题意；

4127T412；7

因此AABC有两个解；故选：C.

题组六几何中的正余弦定理

，J

1.（2022•陕西•模拟预测）已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为〃也c,且C=60。，。=3,Sac=竽，

则A8边上的中线长为（）

八497

A.49B.7C.—D.-

42

【答案】D

【解析】因为L5c='"sinC=k3x/;x^="@,故可得6=5,

2224

根据余弦定理可得/=a2+b2-2abcosC=19,故c=M,

不妨取A8中点为M，故的=；（乱+而），

ICM|=|^|OA|2+|CB|2+2|C4||CB|COSC=1^25+9+2X5X3X1=1，B|J43边上的中线长为

故选：D.

2.（2022.内蒙古・霍林郭勒市第一中学）在△ABC中，cosNBAC=-g,AC=2,。是边8c上的点，且BD

=2DC,AD=DC,则AB等于—.

【答案】3

【解析】设。C=x,AB=y,

因为BD=2DC,AD=DC,所以=3x,AD=DC=xt

7rACLr+irHAHdzftFn~~pA-nAC~+CD2-A£）~4+X?——]

在△ADC中，由余弦定理可知：cosC=-----------------------=--------------=一，

2ACDC4xx

2

*/r4or^r+iHtAn天±rm-r/rti「AC"+CB—AB"4+9x?—y~

在.△ABC中，由余弦定理可知：cosC=-----------------------=.................—,

2ACBC\2x

T日七4+9X2—y~120o/八

J'是（j-------------=-n9r一y-=8（1）,

\2xx

22222

〜1人…TBMAB+CA-CBV+4-9X1

在中，由余弦定理可知：cosAx=-—―——--------=

n27d-3y2_4y=12(2),把⑴代入⑵中得，y=3,

故答案为：3

3.（2022•安徽安庆•二模（理））如图，在NBC中，点。在边43上，CQ垂直于BC,ZA=30°,BD=2AD,

AC=5百，则△ABC的面积为.

【解析】因为8£>=2A。，设A£>=m,则B£>=2m,

在八48中，山余弦定理得8?=A£>2+AC2—2A