2019-2020学年人教A版高一年级上册期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

A.①是棱台B.②是圆台C.③是四面体D.④不是棱柱

2.已知直线经过点4（愿，-1）和点8（0,2）,则直线48的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.圆（x-1）2+/=1与直线/应丫的位置关系是（）

3

A.相交B.相切C.相离D.直线过圆心

4.已知点4（1,2）,B（3,1）,则线段48的垂直平分线的方程是（）

A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5

5.下列叙述中，正确的是（）

A.因为PGa,0Ga,所以PQGa

B.因为Pea,OGB,所以aD|3=%

C.因为4比a,CGAB,D&AB,所以办Ga

D.因为/fita,4比B,所以/G（aCB）且8G（aD|3）

6.在正方体/483-48G4中，异面直线48与所成角的余弦值是（）

A.0B.1C.叵D.—

22

7.过点（1,2）,且与原点距离最大的直线方程是（）

A.A+2y-5=0B.2^+y-4=0C.A+3y-7=0D.x-2JH-3=0

8.长方体的长，宽，高分别为a,2a,2a它的顶点都在球面上，则这个球的体积是（）

A27na?B27冗a，C.呼D.中

,-S-,-2-

9.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）

A1+2兀-1+4冗门1+2兀c1+4冗

2兀4兀n2冗

10.直线X-2”3=0与圆（x-2）2+（y+3）?=9交于丘尸两点，则是原点）

的面积是（）

A.2a

11.两圆/+/=4和(妙2)2+(y-a)?=25相切，则实数a的值为(

A.土芯B.±375C.&或3点D.土西或±3、而

12.如图直三棱柱45c-48G的体积为V,点P、。分别在侧棱44和%上，AP=&Q,则

四棱锥夕-4例C的体积为()

A'C

二、填空题(本题共4个小题)

13.已知/(-2,3),B(0,1),则以线段45为直径的圆的方程为.

14.一个圆锥的底面半径为3c叫侧面展开图是半圆，则圆锥■的侧面积是cm.

15.若直线x+y=1与直线2(/1)x+my-4=0平行，则这两条平行线之间的距离是.

16.设久"是两条不同的直线，a,B,丫是三个不同的平面，给出下列四个命题：

(1)若ml.a,n//a,则ml.n,(2)若m//n,no.a,则m//a

(3)若加〃a,"〃a，则"〃"(4)若a_L丫，B_L丫，则a〃/3

(5)m//a,/wzP,aPI0=n,则m//n(6)若a〃B,B〃丫，ml.a,则m±丫

其中正确命题的序号是

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知三个顶点/(-1,4),8(-2,-1),C(2,3).

(1)求8c边中线4〃所在的直线方程

(2)求的面积.

18.已知一个几何体的三视图如图所示.

(1)求此几何体的表面积；

(2)如果点尺。在正视图中所示位置，P为所在线段中点，。为顶点，求在几何体侧面

的表面上，从夕点到0点的最短路径的长.

正视图侧视图

俯视图

19.在三棱锥。中，和△阳C都是边长为质的等边三角形，AB=2,0,〃分别

是AB,用的中点.

(1)求证：①〃平面以C;

(2)求证：P0工平面ABC;

20.已知圆C-.寸+/-2x-4y-20=0及直线/:(2M1)A+(mH)y=7/4(〃GR).

(1)证明：不论加取什么实数，直线/与圆C总相交；

(2)求直线/被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.

21.如图，在直四棱柱48m-4864中，点E为/区的中点，点尸为4。的中点.

(1)求证：EF〃①函ABCD,,

(2)求证：AA,rEF.

22.在平面直角坐标系中，△48,顶点的坐标为/(-1,2),B(1,4),C(3,2).

(1)求仇?外接圆£的方程；

(2)若直线/经过点(0,4),且与圆£相交所得的弦长为2«,求直线/的方程.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）

1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

①②③④

A.①是棱台B.②是圆台C.③是四面体D.④不是棱柱

【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果

解：图（1）不是由棱锥截来的，所以（1）不是棱台；

图（2）上、下两个面不平行，所以（2）不是圆台；

图（3）是四面体.

图（4）前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，

所以（4）是棱柱.

故选：C.

2.已知直线经过点/（日，-1）和点8（0,2）,则直线48的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150"

【分析】根据题意，设直线48的倾斜角为e,求出直线的斜率，由直线的斜率与倾斜角

的关系可得tane=M=-«,据此分析可得答案.

解：根据题意，设直线/夕的倾斜角为e,

直线经过点4（遮，-1）和点8（0,2）,则用3=彳三＞=-e，

贝有tan0=kAB=-贝"0=120°;

故选：C.

3.圆（x-1）与直线丫正乂的位置关系是（）

3

A.相交B.相切C.相离D.直线过圆心

【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直

线的距离d,和圆的半径r比较大小，即可得到此圆与直线的位置关系.

解：由圆的方程得到圆心坐标为（1,0）,半径r=1,

所以（1,0）到直线尸乂3=r,则圆与直线的位置

3

关系为相交.

故选：A.

4.已知点4（1,2）,B（3,1）,则线段48的垂直平分线的方程是（）

A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5

【分析】先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段46的垂直平分

线的方程，再化为一般式.

解：线段的中点为（2,日），〃产署=二，

23-12

线段的垂直平分线的方程是y-4=2（x-2）=>4x-2y-5=0,

故选：B.

5.下列叙述中，正确的是（）

A.因为尸ea,a,所以PQea

B.因为PGa,0GB,所以allB=

C.因为/比a,CGAB,AB,所以CDRa

D.因为a,B,所以4G（aDB）且8G（aD3）

【分析】因为PGa,a,所以用ca；因为夕ea,0GB,所以an0=户0或a

//P;因为45ba,CGAB,D^AB,所以CDaa；因为a,ABa0,所以4G（a

nB）且8G（ad。）.

解：因为PGa,0Ga,所以PKa,故/错误；

因为PGa,0G0,所以。（~）0=%或。〃（3,故8错误；

因为a,CGAB,D&AB,所以Qfca,故C错误；

因为4比a,/比B,所以4G（aD0）且BG（aD0）,故〃正确.

故选：D.

6.在正方体/脑-4SG〃中，异面直线48与4J!所成角的余弦值是（）

A.0B.1C.叵D.—

22

【分析】由题意画出图形，连接能，则4〃〃8凡则N4能为异面直线48与44所成

角，可得N48G=60°,由此可得异面直线48与所成角的余弦值.

解：如图，

连接8G,则/〃〃制，则N4制为异面直线48与所成角，

连接4G,可得△4的为等边三角形，则N48G=60°,

则异面直线48与44所成角的余弦值是寺.

故选：D.

7.过点（1,2）,且与原点距离最大的直线方程是（）

A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2jH-3=0

【分析】数形结合得到所求直线与。1垂直，再用点斜式方程求解.

解：根据题意得，当与直线04垂直时距离最大，

因直线）的斜率为2,所以所求直线斜率为-4，

所以由点斜式方程得：y-2=（%-1）,

化简得：x+2y-5=0,

故选：A.

8.长方体的长，宽，高分别为a,2a,2a它的顶点都在球面上，则这个球的体积是（）

A27兀.B27冗a?c9兀a，D9兀a，

'-8~-2--2~~S-

【分析】根据长方体的外接球直径等于体对角线可先求出球的半径，进而求得该球的体

积即可.

解：设这个求得半径为凡根据条件可知，

222=3a

外接球直径2R=7a+（2a）+（2a）>则-

所以该球的体积为#=9TTa,

32

故选：C.

9.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）

1+2兀„1+4兀c1+2兀n1+4兀

AA.--------D.----------v.----------U.----------

2冗4兀n2冗

【分析】设圆柱底面积半径为广，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比.

解：设圆柱底面积半径为々则高为2nr,

全面积：侧面积=[（2nr）2+2nr2]:（2nr）2

_2-+1

--2兀•

故选：A.

10.直线x-2y-3=0与圆（x-2）2+（尸3）?=9交于反尸两点，则△£OF（0是原点）

的面积是（）

A.2旄B.|C.|D.等

【分析】先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长|£F|,再由原

点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案.

解：圆（x-2）2+（八3）的圆心为（2,-3）

二（2,-3）到直线x-2y-3=0的距离d=忸义＞?\-3）甸=巡

弦长|明=2,北石=4

原点到直线的距离占位义「合0-3」-=3

7s

的面积为S==X4X-^=^Y5

2遍5

故选：D.

11.两圆/+/=4和（妙2）2+（y-a）?=25相切，则实数a的值为（）

A.土在B.±375C.、卮3、历D.土后或土3后

【分析】根据题意，由圆的标准方程分析两圆的圆心与半径，分两圆外切与内切两种情

况讨论，求出a的值，综合即可得答案.

解：根据题意：/+/=4的圆心为（0,0）,半径为2,圆（叶2）2+（y-a）?=25的圆

心为（-2,a）,半径为5,

若两圆相切，分2种情况讨论：

当两圆外切时，有（-2）2+a2=（2+5））解可得a=±3、后，

当两圆内切时，有（-2）2+a2=（2-5）2,解可得且=±遥，

综合可得：实数a的值为土遥或±3依；

故选：D.

12.如图直三棱柱48C-48G的体积为V,点夕、。分别在侧棱心和GG上，AP=GQ,则

四棱锥8-彳夕加的体积为()

DV

A.2D，5

【分析】把问题给理想化，认为三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长，均为1,凡

。分别为侧棱/M',CC上的中点

求出底面面积高，即可求出四棱锥6-的体积.

解：不妨设三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长力均为1

则V=S♦h=—'1«1*乂1=1认为P、。分别为侧棱4'，CC上的中点

224

则返(其中返表示的是三角形/8C边4c上的高)

32342

所以VB-APDC=-^V

故选：B.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.已知4(-2,3),B(0,1),则以线段48为直径的圆的方程为(/1)?+(y-2)

【分析】设圆上任意一点P(x,y),由还.诬=时简即可.

解：设圆上任意一点"(x,y),

由寇•而=0，(妙2,y-3)(x,y-1)=0,

即x+2j(+y-4y+3=0,

所以圆的方程为(>+1)2+(y-2)2=2,

故答案为：O1)2+(y-2)z=2.

14.一个圆锥的底面半径为3c叫侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是

【分析】由圆锥的侧面展开图是半圆可得圆弧为底面圆的周长，求出弧长，进而求出展

开图的半径，进而求出展开图的面积，由题意知侧面展开图即为圆锥的侧面，所以面积

相等.

解：由题意知侧面展开图即为圆锥的侧面，

设侧面展开图的半径为尺弧长为/=2n・3=6n,

因为侧面展开图是半圆，

所以6n="尺解得：R=6,

所以半圆的面积S=—/R=—,6n,6=18n,

22

15.若直线妙y=1与直线2（府1）*■处-4=0平行，则这两条平行线之间的距离是—当2_.

【分析】利用两条平行直线平行的性质求得加的值，再根据两条平行直线间的距离公式,

求得这两条平行线之间的距离.

解：:,直线x+y=1与直线2（加1）>（+如-4=0平行，.♦.山史工-=典手^支，求得m=

11-1

-2,

故直线A+_K=1与直线2（加■>!）x^my-4=0,即直线A+y=1与直线/厂2=0,

则这两条平行线之间的距离为巨豆=色巨，

V22

故答案为：口返.

2

16.设小"是两条不同的直线，a,B,丫是三个不同的平面，给出下列四个命题:

(1)若ml.a,n//a,则ml.n,(2)若m//n,nc.a,则m//a

(3)若加〃a,n//a,则m//n(4)若a_L丫，B_L丫，则a〃B

(5)m//a,g0,aD0=n,则m//n(6)若a〃0,B〃丫，ml.a,则ml.丫

其中正确命题的序号是(1)(5)(6)

【分析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平

行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同

一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③

④不正确.由此可得本题的答案.

解：对于(1),因为〃〃a,所以经过"作平面B,使BDa=/,可得"〃/,又因为

ml.a,/ua,所以ml./,结合n〃/得ml.n.由此可得(1)是正确;

对于(2),若m//n,naa,则a或ga,故(2)是错误；

对于(3),设直线久〃是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面a是正方

体下底面所在的平面，

则有〃〃a且〃〃a成立，但不能推出〃〃〃，故(3)错误；

对于(4),设平面a、丫是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有a_LY且B

±Y,但是a_LB,推不出a〃B,故(4)不正确；

对于(5),根据线面平行性质定理，当m//a,归B,aA0="时必有m//n,故(5)

正确；

对于(6)因为a〃B且B〃丫，所以a〃丫，结合加_La,可得m_L丫，故(6)是正确；

综上所述，正确的是(1)(5)(6),

故答案为：(1)(5)(6).

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知三个顶点/(-1,4),8(-2,-1),C(,2,3).

(1)求8c边中线47所在的直线方程

(2)求的面积.

【分析】(1)由中点坐标公式求得此中点坐标，再由两点式求得外边的中线47所在

的直线方程；

(2)首先求得顶点C到直线47的距离，中线4?的长度，然后由三角形的面积求法进行

解答.

解：(1),:B(-2,-1),C(2,3).

二%中点D(0,1),

/•k*t)=-3

二4)直线方程为3x+y-1=0;

(2)顶点C到AD所在直线3x号-1=0的距离d丝贝，

0

巾线AD长|皿|沂，

所以S2UBC=2X^|AD|d=8.

18.已知一个几何体的三视图如图所示.

(1)求此几何体的表面积；

(2)如果点?。在正视图中所示位置，P为所在线段中点，。为顶点，求在几何体侧面

的表面上，从P点到。点的最短路径的长.

正视图侧视图

俯视图

【分析】(1)首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积.

(2)利用展开面的关系，利用勾股定理的应用求出结果.

解：(1)根据几何体的三视图，转换为几何体，是由一个圆锥和一个圆柱组成.

该几何体的表面积是由圆锥的侧面积和圆柱的侧面积及圆柱的底面积组成.

所以s圆锥的侧面租=/,2兀a•收a娅兀a2.

S圆柱的侧面积=2兀a・2a=4兀a?.

S圆柱底面积=冗&.

S表面积&+5)兀a*.

(2)沿点夕与点。所在的母线剪开圆柱的侧面，

如图所示：

所以PQ=7AP2+AQ2=H1+兀，即最短路径.

19.在三棱锥P-46C中，和△阳C都是边长为、历的等边三角形，AB=2,0,〃分别

是AB,用的中点.

(1)求证：0D〃平茴PAC;

(2)求证：P0工平面ABC;

【分析】(1)由三角形中位线定理，得出必〃以，结合线面平行的判定定理，可得00

〃平面PAC;

(2)等腰△以8和等腰夕中，证出P0=0C=1,曲PC=M，由勾股定理的逆定理，

得POLOC,结合POLAB,可得P0工平面ABC;

(3)由(2)易知阳是三棱锥P-48C的高，算出等腰△48C的面积，再结合锥体体积

公式，可得三棱锥"-48C的体积.

解：(1)'：0,〃分别为46,阳的中点，：.OD//PA

又PAci平面PAG,ODi平面PAC

：.QD〃牛&PAC.…

(2)如图，连接0C

VAC=CB=V2«0为中点，＞45=2,

OCLAB,且旧JAC2GAs)2=1.

同理，POLAB,P0=\.•••

又；PC=我，

:.pe=2=oe+p。,得NPOC=90°.

:.poroc.

•：oc、住平面ABC,ABQOC=O,

:.P01平面ABC.・・・

(3).:P01平面ABC,：・OP为三棱裤P-ABC的高,

结合阵1,得棱锥f8C的体积为4ABe寺△妞IXl=y.-

20.已知圆C:/+/-2x-4y-20=0及直线/:（2M1）A+（Wl）y=7研4（〃GR）.

（1）证明：不论〃取什么实数，直线/与圆C总相交；

（2）求直线/被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.

【分析】（1）求出直线/过定点（3,1）,圆C的圆心为（1,2）,半径为5.定点（3,

1）到圆心（1,2）的距离小于半径，从而得到点（3,1）在圆内，由此能证明不论m

取什么实数，直线/与圆C总相交.

（2）设直线/与圆交于4、8两点.当直线/过定点"（3,1）且垂直于过点照的圆C

的半径时，/被截得的弦长最短.

【解答】证明：（1）把直线/的方程改写成（/>-4）+m（2/y-7）=0,

由方程组『切*。，解得（x=3,

I2x+y-7=0[y=l

所以直线/总过定点（3,1）.

圆C的方程可写成（x-1）2+（y-2）2=25,

所以圆C的圆心为（1,2）,半径为5.

定点（3,1）到圆心（1,2）的距离为｛g-I）2+（卜2）2=代<5,

即点（3,1）在圆内.

所以过点（3,1）的直线总与圆相交，即不论加取什么实数，直线/与圆C总相交.

解：（2）设直线/与圆交于4、8两点.当直线/过定点附（3,1）且垂直于过点照的

圆C的半径时,

/被截得的弦长|48|最短.

因为|/5|=2四|BC|2-|CHI2=2,25-(3-1)2+(1-2)2=2倔=4旄,

此时总=-"-=2,所以直线的方程为y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.

kCM

故直线/被圆C截得的弦长最小值为4灰，此时直线/的方程为2x-y-5=0.

21.如图，在直四棱柱m-48C4中，点£为/区的中点，点尸为4。的中点.

(1)求证：EF〃平面ABCD；