2022-2023学年江苏省镇江重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省镇江重点中学高二（下）期末

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1.已知随机变量X的分布列为

X-101

1

P1—4qq

4

则实数q=（）

2.在（，下-/）”的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则展开式的常数项为（）

A.-3B.3C.—学D.学

44

3.将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进

行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共

有（）

A.12种B.18种C.24种D.48种

4.下列结论正确的是（）

A.3x4x5x6=41B.《

C.程+偿+或+或=128D.若C万=C衿t,则正整数x的值是1

5.某学习小组八名学生在一次物理测验中的得分（单位：分）如下：83,84,86,87,88,

90,93,96,这八人成绩的第60百分位数是几若在该小组随机选取两名学生，则得分都比出氐

的概率为（）

A.5P15cD

B・加4-苒

6.平行六面体2BCD-4/iGA中，已知底面四边形4BCD为矩形=Z.A^D=120°,

44i=2,AB=AD=1,贝!=()

A.CB.2C.<yoD.10

7.已知正方体28CD-a/iGA的棱长为2,E、F分别为上底面

4/©小和侧面CDD©的中心，则点D到平面4EF的距离为（）

A.5

11

B.色

11

c.04

D.5

11

8.若对任意的修,犯€(科+8),且勺<冷，有*2:2g>1,则小的取值范围是()

X1x2

A.[e2,+co)B.[e,+oo)C.[^,+oo)D.[1,e)

9.已知一组数据%1，%2,…，X13构成等差数列，且公差不为0.若去掉数据与，则()

A.平均数不变B.中位数不变C.方差变小D.方差变大

10.李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公

交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；

自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时丫都服从正态分布,

则()

A.P(X>32)>P(Y>32)

B.P(X<36)=P(Y<36)

C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车

D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车

11.甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一球放

入乙盒，用事件4表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；

再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球"，则()

A.事件4与事件8是对立事件B.事件B与事件C是独立事件

C.P(C)=2D.PQ4|C)=V

12.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手

背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游

戏，每次游戏互不影响，记小明4次游戏得分之和为X,则下列结论正确的是()

A.每次游戏中小明得1分的概率是,B.X的均值是2

C.X的均值是3D.X的方差是,

二、非选择题(90分)

13.某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了5000人，计

算发现I=6.109,根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是

______%.

附：常用小概率值和临界值表：

a0.150.100.050.0250.0100.001

2.0722.7063.8415.0246.63510.828

14.设两个相互独立事件4B,若事件4发生的概率为p,B发生的概率为1-p,贝M与B同

时发生的概率的最大值为.

15.已知函数/(吗=2x+仇久，若过点(0,-1)的直线与曲线y=f(x)相切，则该直线斜率为

16.如图，在直三棱柱ABC—4/iG中，ABCA=90°,AC=CQ=

2,M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐

标系,若初1C^M,则异面直线CM与所成角的余弦值为

17.已知函数/'(x)=xlnx—ax+1在x=e?处取得极值.

(1)求f(%)的单调区间；

(2)若/(%)<2c2-c在久6上恒成立，求实数c的取值范围.

18.盒中装有6个同种产品，其中4个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，

求：

(1)取两次，两次都取得一等品的概率；

(2)取两次，第二次取得一等品的概率；

(3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率.

19.如图，在四棱锥P—4BCD中，PA，平面ABC。，PB与底面所成的角为45。，底面48CD为

直角梯形，^ABC=^BAD=90°,AD=2,PA=BC=1.

(1)求直线PC与平面所成角的正弦值；

(2)求平面P4B与平面PCD所成的锐二面角的余弦值.

20.某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛,

学生小明、小红打算报名参加大赛.赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练,

下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a

忘了记录，但知道36<aW60,aEZ.

第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

序号工1234567

小明成功次数162020253036a

小红成功次数16222526323535

(1)求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率;

(2)根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y关于序号久的线性回归方程，并估计

小明第七天成功次数a的值.

参考公式：回归方程y=bx+°中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为b=

第「办_E随卬「由

DX

-2—y-

f22i%?9一九第

参考数据：1x16+2x20+3x20+4x25+5x30+6x36=582；F+22+32+42+

52+62=91.

21.2017年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施,其中市

区公交站点重新布局和建设作为重点项目.市政府相关部门根据交通拥堵情况制订了“市区

公交站点重新布局方案”，现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该

“方案”.调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分，并将

结果绘制成如图所示的频率分布直方图.相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各

自独立评分；②采用百分制评分，［60,80)内认定为满意，不低于80分认定为非常满意；③市

民对公交站点布局的满意率不低于75%即可启用该“方案”；④用样本的频率代替概率.

(I)从该市800万人的市民中随机抽取5人，求恰有2人非常满意该“方案”的概率；并根据所

学统计学知识判断该市是否启用该“方案”，说明理由.

(口)已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占全现从评分低于60分的被调查者中按年龄

分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中抽取3人担任群众督查员，记f为群众督查员中

的老人的人数，求随机变量f的分布列及其数学期望

22.已知二项式(X+3%2)n.

(1)若它的二项式系数之和为128.

①求展开式中二项式系数最大的项；

②求展开式中系数最大的项；

(2)若x=3,n=2022,求二项式的值被7除的余数.

答案和解析

L【答案】D

【解析】解：根据题意，由随机变量的分布列，i+(l-4q)+q=1,

解得：q=li.

故选：D.

根据题意，由分布列的性质可得:+(1-4q)+q=1,解可得q的值，即可得答案.

本题考查随机变量的分布列，涉及概率的性质，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由题意知，第=第,

所以n=6,

所以T『+i=瞅口)6TJ*="(一旷/等，

□

令3--r=0=>r=2,

所以展开式的常数项为此(一)2%。=容

Z4

故选：D.

先求出几=6,再写出展开式的通项公式，令3-|r=0求出r,代入计算即可.

本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：志愿者小王不去文艺文化项目，则小王有3种分配方案，

剩下的三名志愿者有蜀=6种分配方案，

则不同的分配方案共有3X6=18种.

故选：B.

先考虑小王的分配方案种数，再排其他志愿者，根据分步乘法计数原理计算即可.

本题考查排列数的应用，考查分步乘法计数原理，属于基础题.

4.【答案】ABC

【解析】解：选项A,因为线=6x5x4x3,故A正确；

选项B,量+/=黑+签e=需=得，故B正确；

选项C,由(1+I)8=或+谶+量+盘+或+鹰+4+C；+舞=28,(1-I)8=C°-C^+

C及一底+Cj-喘+C。一或+*=0,得玛+丘+喘+或=27=128,故C正确；

选项。，因为笫=。衿-1,所以x=2x—l或％+2%-1=17,即％=1或6,故。错误.

故选：ABC.

选项4根据排列数公式直接判断；

选项8、D,根据组合数公式及性质直接求解；

选项C,根据二项式系数和公式，奇数项与偶数项的二项式系数和各占一半得出结果.

本题主要考查组合数与排列数的公式，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：8X60%=4.8,故这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即n=88,

在该小组随机选取两名学生共有废=28种情况，

其中得分都比汨氐的有量=6种，

所以所求概率P=^=2

Zo14

故选：C.

首先根据题意得到n=88,再利用古典概型公式求解即可.

本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：平行六面体2BCD—a/iG£)i中，已知底面四边形4BCD为矩形，乙41aB=乙4遇。=

120°,441=2,AB=AD=1,

>2>>>—>>)

■:AC^=AB+BC+CC]=AB+AD+AA^f

_____222.

•••=(AB+AD+AA1)2=AB+AD+京+2AB-AD+2AB-AA1+2AD-AA^

=l2+l2+22+0+2xlx2x(-1)+2xlx2x(-i)

=2,

|宿|=V"2.

故选：A.

根据空间向量运算可知碇=AB+AD+AA^,再利用平方后的数量积公式计算结果.

本题考查了平面向量数量积公式，属于中档题.

7.【答案】A

【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系,

贝见0,0,0),E(l,l,2),F(l,2,l).D(0,2,0),

贝IJ有荏=(1,1,2),AF=(1,2,1),AD=(0,2,0),

设平面4EF的法向量为元=(x,y,z),

AE•元=%+y+2z=0

则

AF-n=x+2y+z=0

可取元=(3,-1,-1),

所以点D到平面段的距离为嚅=冬=空.

建立空间直角坐标系，利用向量法得出点D到平面4EF的距离.

本题考查了等体积法求距离，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：因为对任意的右，x2E(m,+a>),且叼<%2,有件手竺1>1,

所以久ibl%2—X2lnXlV一%2,

nx

日即口-［-九--％--2-----^-----l--<j--1-------1----

%2X1x2X1

令/(%)=?_：，x>m,

则/'(%)=审

易得/(x)在(0,e2)上单调递增，在(e2,+8)上单调递减,

又由题意得f(%)在(m,+8)单调递减,

故>e2.

故选：A.

先对已知不等式进行变形，然后结合不等式特点构造函数，结合单调性定义及导数与单调性关系

即可求解.

本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：对于选项4原数据的平均数为X=,01+冷+…+%)=。*13X(q+X13)=的,

去掉％7后的平均数为％=(%1+%2++X6+X8+…+X13)=W*12(X1；*3)=的=%,即平均

数不变，故选项A正确；

对于选项8,原数据的中位数为与，去掉外后的中位数为；(%6+%8)=叼，即中位数没变，故选

项2正确；

对于选项C,则原数据的方差为S2=专[(%1-%7)2+(%2-％7)2+…+Q13-％7月，

222x2

去掉％7后的方差为S'？=—[[(%1-X7)+(%2-X7)+■■■(%6-X7)+(8一将+013—%7)],

故S2<S，2,即方差变大，故选项C不正确，选项。正确.

故选：ABD.

根据平均数的概念结合等差数列的性质判断4由中位数的概念可判断8,由方差计算公式即可判

断CD.

本题考查了样本数据的数字特征，属于中档题.

10.【答案】BCD

【解析】解:4由条件可知X〜N(30,62),y〜N(34,22),根据对称性可知P(Y>32)>0.5>P(X>

32),故A错误；

RP(XW36)=P(XW〃+O，P(y<36)=P(y</z+ff),所以P(XW36)=P(yW36),故B

正确；

C.PQX<34)>0.5=P(Y<34),所以P(X<34)>P[Y<34),故C正确；

D.P(X<40)<P(X<42)=P(X<4+2o),P(Y<40)=P(Y<n+3(r),所以P(X<40)<

P(Y<40),故D正确.

故选：BCD.

首先利用正态分布，确定〃和6再结合正态分布的对称性，和3。的原则，即可求解.

本题主要考查正态分布曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

11.【答案】AD

【解析】解：对于人事件4与事件B不能同时发生，且没有其他的可能结果，事件4与事件B是对

立事件，故A正确;

对于B：事件B发生与否与事件C有关，事件B与事件C不是相互独立事件，故2错误;

P(O=|xggxg=||,故C错误;

对于C：+

对于

9

P(4C)

所以P(4|C)=普=4，故D正确.

P(C)13

30

故选：AD.

根据互斥事件的定义即可判断4根据相互独立事件的定义即可判断B；分第一次取白球和红球两

种情况讨论，从而可判断C;根据条件概率公式即可判断以

本题考查相互独立事件，考查条件概率公式，是中档题.

12.【答案】AC

【解析】解：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,

规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，

现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X,

则X的可能取值为0,1,2,3,4,

设其他两位同学为a,上小明为c,列表得：

abC

手心手心手背

手心手背手背

手心手心手心

手心手背手心

手背手心手背

手背手心手心

手背手背手背

手背手背手心

共有8种情况，小明得1分结果有6种情况，

二小明每次得1分的概率P=',

故A正确；

3

故8错误，C正确；

3

・・.E(X)=4x：=3,

D(X)=4x3*1=3*.

故。错误.

故选：AC.

X的可能取值为0,1,2,3,4,利用列举法求出小明每次得1分的概率P=',从而X-B(4』)，

由此能求出E(X)和。(X).

本题主要考查离散型随机变量的均值，离散型随机变量的方差，概率统计的应用等知识，属于中

等题.

13.【答案】97.5

【解析】解:由已知可得已2=6.109>5.024,

所以市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是97.5%.

故答案为:97.5.

由f的观测值结合临界值表得出结论.

本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题.

14.【答案】；

【解析】解：「a,B是两个相互独立事件，

事件4发生的概率为P，B发生的概率为1-P，

则PQ4B)=P⑷P(B)=p(l-p)<(P+(；_P))2=1

Z4

当且仅当P=1—p=2时"="成立.

故答案为：2,

根据相互独立事件的定义以及基本不等式的性质计算即可.

本题考查了事件的相互独立性，考查基本不等式的性质，是基础题.

15.【答案】3

【解析】解：设切点为(m,2m+ton),

函数/'(x)=2x+仇久的导数为f'(x)=2+1,可得切线的斜率为k=2+5

即2+工=2劣+'必一(一1),

mm

解得m=1,即有k=2+l=3.

故答案为:3.

设出切点的坐标，求得/(%)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两点的斜率公式解

方程可得所求值.

本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

16.【答案】?

【解析】解：如图，在直三棱柱48。一4/16中，ABCA=90°,AC=CQ=2,"是4遇］的中点，

以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

z

C.

xy

由题意得，设CB=t>0,则有C(0,0,0),41(2,0,2),B(0,t,0),B^O,t,2),M(l,1,2),G(0,0,2),

硕=(—2,t,-2),CJW=(1,^,0),由审1汴得布•物=—2+(=0nt=2.

4Z

因为函=(1,1,2)，A^B=(-2,2,-2),所以cos〈而，初〉=一；=一?,

VoXZVJJ

故异面直线CM与夹角的余弦值为好.

故答案为：峥

设CB=t>0,由向量垂直的坐标表示可解得上即可由向量法求得cos〈奇,砧)，从而求得结果.

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

17.【答案】解：(1)尸(%)=lnx+l-a,

由题意得/'(，)=3-a=0,

所以a=3,此时/'(%)=Inx—2,

易得，%>”时，((%)>0,函数单调递增，》<e?时，/(%)<0,函数单调递减，

故函数在％=e2处取得极小值，符合题意，

故函数的单调递增区间为［4,+8),单调递减区间为(0,/)；

(2)因为/(%)=xlnx—3%+1<2c2—c在％e［1,”］上恒成立，

所以工仇%—3%+1—2c2+c<0在xG［1,”］上恒成立，

令9(%)=xlnx—3%+1—2c2+c,%6IL”］,

则g'(%)=Inx-2,

时，“(%)>0,函数单调递增，0<%</时，"(%)<0,函数单调递减，

故9(%)在［1,/］上单调递减，在忸2,”］上单调递增，

又g(l)=-2c2+c-2,g(e3)=-2c2+c+1,

故g(%)ma£=9(e3)=-2c2+C+1,

所以—2c之+c+1<0,

解得c>1或c<

故c的取值范围为｛c[c>1或c<

【解析】(1)先对函数求导，结合导数与极值关系可求a,进而可求函数的单调区间；

(2)由已知结合不等式恒成立与最值关系的转化即可求解.

本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现

了转化思想的应用，属于中档题.

18.【答案】解：(1)根据题意，第1次取得一等品的概率为B=%第2次取到一等品的概率为P2

根据相互独立事件的概率公式，可得两次都取得一等品的概率为P=PxP=^xl=l，

12ODD

(2)根据题意，可分为两类情况：

①第1次取得一等品，第2次取得一等品，其概率为「3=卜|=|；

②第1次取得二等品，第2次取得一等品，其概率为P4=[X?=2，

由互斥事件的概率加法公式，可得第二次取得一等品的概率p=|+2=|.

(3)根据题意，设第2次取得一等品为事件4第1次取得二等品为事件8,

由(2)知：P(4)=|，则P(4B)=|x看=卷，

4

所以所求概率为p=需=号=|.

P(4)£5

【解析】(1)根据题意，求得第1次取得一等品的概率和第2次取到一等品的概率，结合相互独立事

件的概率公式，即可求解；

(2)根据题意，可分为第1次取得一等品，第2次取得一等品和第1次取得二等品，第2次取得一等品，

求得其概率，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解；

(3)设第2次取得一等品为事件4得到P(4),设第1次取得二等品为事件8,求得P(4B),结合条

件概率的计算公式，即可求解.

本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件、相互独立事件的概率计算，属于基础题.

19.【答案】解：(1)PA1面4BCD,

•••PA1AB,PAA.AD,又NB4D=90°,

•••AB1AD,

•••为PB与底面所成的角为45。,

•••/-PBA=45°,PA=1,

以4为坐标原点，AB,AD,4尸所在直线分别为x,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

则B(1,O,O),D(0,2,0),P(0,0,l),C(l,l,0),

则定=PB=(1,0,-1)，PD=(0,2,-1),

设平面PBD的一个法向量为布=(%,y,z),

则口里=0,啮z；，取z=2,则x=2,y=1,

此时沅=(2,1,2),

设直线PC与平面PBD所成的角为仇

则s讥8=|cos(瑞正>|=|舒|=|等||=?.

所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为

(2)平面P4B的一个法向量了=(0,1,0)

设平面PCD的一个法向量为元=(x,y,z),

则『窑'啕二”

取y=Z,则z=2,x=I,此时元=(1,1,2),

,一？、n-j1V-6

cos<n,/>=——.=,

|n||j|AT6X16

所以平面P4B与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为学.

6

【解析】(1)建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求出线面角的大小.

(2)求出两个平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的大小.

本题主要考查空间直线和平面所成的角以及二面角的求解，建立坐标系求出平面的法向量，利用

向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题.

20.【答案】解：(1)因为36<a<60,且aeZ,所以a的取值共有25种情况,

又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，有£之1%+a)*=i4,

即16+20+20+25+30+36+a》16+22+25+26+32+35+35,得a>44,

所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a的取值共有17情况,

所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为与;

(2)由题设可知£乙%%=1x16+2x20+3x20+4x25+5x30+6x36=582,

-1+2+3+4+5+67-16+20+20+25+30+3649

x=—6—=5,y=------------6------------

582—6x(x竽27--49277

所以b=a=y-bx^---x-=11,

9-6X竽7

所以y关于序号X的线性回归方程为y=yx+11,

当x=7时，y=/x7+11=38,

估计小明第7天成功次数a的值为38.

【解析】（1）因为364a460,且aeZ,所以a的取值共有25种情况，根据题意小明成功的总次

数不少于小红成功的总次数时，a的取值共有17情况，即可求解；

（2）由题意求得春y,b,a可得丫关于序号x的线性回归方程为y=^%+ll，将x=7代入方程即

可求解.

本题考查了线性回归方程的应用计算，属于中档题.

21.【答案】（本题满分12分）

解：（I）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是（0.016+00004）X10=£…（1分）

用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，

该人非常满意该项目的概率为（，…（2分）

现从中抽取5人恰有2人非常满意该“方案”的概率为：P=Cj-（1）2•（§3=黑；…（4分）

根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，

评分在［60,100］的频率为：（0.028+0.030+0.016+0.004）x10=0.78>0.75

根据相关规则该市应启用该“方案”.…（6分）

（II）・••评分低于60分的被调查者中，老年人占全

又从被调查者中按年龄分层抽取9人，

••.这9人中，老年人有3人，非老年人6人,

随机变量§的所有可能取值为0,1,2,3…（7分）

P筐=2）=等号,

P筐=3）=箸=2，…（11分）

f的分布列为:

0123

51531

P

21281484

f的数学期望鹰=