随机变量序列的极限

随机变量序列的极限本章要点本章讨论两类重要得极限分布、一、大数定律定义设是一个随机变量序列,如果存在常数使得对于任意常数总有则称随机变量序列依概率收敛于记作若随机变量序列依概率收敛于则定理如果且函数在点处连续,则定理设是两两不相关的随机变量序列,如果存在常数使得则特别地,若则上式表明注意该定理得条件为方差有界、定理(独立同分布情形下得大数定律)设就是独立同分布得随机变量序列,且则用独立同分布情形下得大数定律可以证明频率得稳定性。设进行n次独立重复得试验,每次试验只有两个结果引进随机变量相互独立,则在n次试验中A发生得频率例1设是独立同分布的随机变量序列,且则有些情况下,可以得到其分布、例如二、中心极限定理在数理统计中经常要用到个独立同分布的随机变量进一步地有的和的分布,但要给出其精确分布有时很困难、则则但很多情况下这样得分布并不能得到,有时也不一定有这个必要、人们在长期实践中发现,在相当一般得条件下,只要充分大,总认为近似服从正态分布.下面这个例子说明了这个情况、例(高尔顿钉板实验)高尔顿设计了一个钉板实验,图中每个黑点表示钉在板上得一个钉子,它们彼此间得距离相等,上一层得每一个钉子得水平位置恰好位于下一层得两个钉子得正中间、从入口处放进一个直径略小于两个钉子之间得距离得小球、在小球向下降落得过程中,碰到钉子后均以的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子、如此进行下去,直到滚到底板得一个格子里为止、把许大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点多同样大小得小球不断从入口处放下,只要球得数目相当大,它们在底板将堆成近似正态分布的密度函数图形、Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678高尔顿钉板试验？什么曲线共16层小钉小球碰第层钉后向右落下小球碰第层钉后向左落下高尔顿(FrancisGalton,1822-1911)英国人类学家与气象学家程序如下输出图形定理(独立同分布得中心极限定理)则对任意的有独立同分布得随机变量序列,且设是其中为标准正态分布的分布函数.该定理得实际意义就是,若随机变量序列满足定理条件,记则近似服从标准正态分布、即例2某人要测量甲、乙两地得距离,限于测量工具,她解设第段的测量误差为所以累计误差为又为独立同分布的随机变量,由得分成1200段进行测量,每段测量误差(单位:厘米)服从区间上的均匀分布,试求总距离测量误差的绝对值超过厘米的概率.由独立同分布得中心极限定理:作为上面定理得特例,如果则即随机变量序列满足上面定理得条件、从而有下面得定理、定理(中心极限定理)则对任意的有即当充分大时,近似服从标准正态分布.布的随机变量序列,且令设是一个独立同分该定理得实际意义就是:若则近似服从标准正态分布、即例3设一个车间有400台同类型得机床,每台机床需用解令表示在时刻时正在开动的机器数,则电瓦,由于工艺关系,每台机器并不连续开动,开动的时候只占工作总时间的问应该供应多少瓦电力能99%得概率保证该车间得车床能正常工作、(假定在工作期内每台机器就是否处于工作状态就是相互独立得)、由中心极限定理知:由条件所设,所求得概率为而为标准正态分布的分布函数,查表得即:从而即:只要供应瓦的电力,就能以99%的把握保证该车间得机器能正常工作、例4一本万字的长篇小说进行排版,假定每个字被排错的概率为试求这本小说出版后发现有6个字以解设错字总数为则则有上错字得概率,假定各个字就是否被排错就是相互独立得、所求概率为:即求概率为例5为了测定一台机床得质量,将其分解成75个部件解以表示第个部件的称量误差由从而来称量.假定每个部件的称量误差（单位:）服从区间上的均匀分布,且每个部件的称量是独立的,试求机床的称量总误差的绝对值不超过10的概率.条件所设,知为独立同分布序列,且由独立同分布得中心极限定理,可以近似认为于就是所求得概率为因此机床质量总误差不超过的概率近似为例6某单位有200台分机,每台使用外线通话得概率为15%,若每台分机就是否使用外线就是相互独立得,问该单位至少需要装多少多少条外线,才能以95%得概率保证每台分机能随时接通外线电话、解以表示在时刻使用的外线数,则此时有若以表示安装的外线数,则分机能使用外线意味着此时有由中心极限定理得:查表得:即:所以可取方能以95%得把握保证在该时刻分机可以使用外线、三、部分作业解答5.5已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为的指数分布,随机抽取只,试求这只晶体管的寿命总和超过的概率.解以表示第只晶体管的寿命,则此时所求概率为又由中心极限定理得所以原概率近似为试问,最多可以把这台机床分解成多少个部件,才能以5、6为了测定一台机床得质量,将其分解成若干个部件来称量.假定每个部件的称量误差（单位:）服从区间上的均匀分布,且每个部件的称量是独立的,不低于的概率保证总重量的误差的绝对值不超过解设将机床分解成个部件,而表示第个部件的重量,则所以由已知条件又即有所以取5.7已知生男婴的概率为求在个婴儿中男孩个数多于女孩得概率、解设个婴儿中