2019-2020学年人教A版浙江省台州市高三年级上册期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高三上学期期末数学试卷

一、选择题

1.已知集合［={0,1,2},B={0,1,3),若全集〃=ZU民贝此UCAHB)=()

A.⑵3}B.{0,1}C.{0,1,2,3}D.0

2.已知a=log248,2b=1~,则K6=()

，3

A.4B.5C.6D.7

2x+3y^6

3.已知实数x,y满足＜x》0，则2=才+夕的最大值为（)

y)0

A.4B.3c.-H

5D.2

4.二项式(l-2x)"的展开式中系的系数为()

A.党B.-Clc.c^-26D.-c^26

5.函数/1(x)=x+sin(JIX)的图象是()

»•

A-y-y.............

八…,卜/:

A.•，—：*

A.7'\B-y-M

••\r・•

:...<....-一…

•1以

.2

................J・・…•••…•

……「'|J

D.・------，

二J-1

/Viji

••J

22

6.已知点尸为椭圆c：的右焦点，点〃为椭圆。与圆(x+2)2+y2=16一个交点,

y5

则|用=()

A.2B.4C.6D.275

7.已知a,6GR,“|a|+|”<1”是“[卜叫的()

[|a-b|<l

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.如图，三棱柱ABC-AMG的底面是边长为2的正三角形，侧棱44」底面ABC,且卜“二如,

则异面直线4昆ZG所成的角的大小为(

A兀K

B.c21

,V,3

9.已知双曲线。的离心率,过焦点尸作双曲线。的一条渐近线的垂线，垂足为必

e-3

直线版交另一条渐近线于儿则■®-=(

|NF|

A.2C.返

2D•竽

10.已知数列｛&?｝满足：&>0,且为2=2期「-&+i(〃GN*),下列说法正确的是()

A.若a1金■，则a〉a.

12

B.若aVHn+l,贝I4>1

C.a+asW2a3

D，।an+2~an+l

anM-an

二、填空题

11.已知复数Z满足Z=(4-/)工其中，为虚数单位，则z的实部为"z|=

12.已知定义在R上的奇函数f(x),当x£[0,+8)时满足：f(x)

;方程Ax)--0的解的个数为

七U")=

13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

B3

322

主视图侧视图

俯视图

14.在我国东汉的数学专著《九章算术》中记载了计算两个正数的最大公约数的一种方法,

叫做“更相减损法”，它类似于古希腊数学家欧几里得提出的“辗转相除法”.比如求

273,1313的最大公约数：可先用1313除以273,余数为221（商4）：再用273除以221,

余数为52；再用221除以52,余数为13；这时发现13已是52的约数，所以273,1313

的最大公约数就是13.运用这种方法，可求得5665,2163的最大公约数为

15.如图，点P。。，卷）为锐角a的终边与单位圆的交点，能逆时针旋转子得OP、

0P,勿"逆时针旋转冷得。则cos2a=

逆时针旋转2,/侬的横坐

标为

16.有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用自表示两名老师之间的学生人数，

则&=1对应的排法有种；£（宫）=；

17.如图，正方形4仇力的边长为2,E,尸分别为BC,Q）的动点,且|幽=2|加，设

AC=xAE+yAF（x,y€R）,则x+p的最大值是

B

三、解答题

18.如图，在四边形/腼中，已知45=3,BC=5,缪=7,ZABC^120°,/ACB=NACD

=a.

(I)求sina的值;

19.如图，七面体/优颇'的底面是凸四边形力氏力,其中/8=47=2,/BAA120°,AC,

M垂直相交于点。，0C=20A,棱CF均垂直于底面/阅9.

（I）求证：直线庞与平面攻不平行;

（II）若CF=1,求直线切与平面〃刃所成的角的正弦值.

20.设数列｛aj的前n项和为S,Sn=rf,递增的等比数列｛4｝满足：4=1,且尻,坊，b3

~4成等差数列.

（I）求数歹U｛an｝,出｝的通项公式;

aa

23+…+

(II)求证:b2-1+b3-1

21.如图，过点P（0,£）作直线，交抛物线C：/=才于48两点（点/在P,6之间），

设点Z,3的纵坐标分别为%,也，过点Z作x轴的垂线交直线处于点〃.

（I）求证：—+一

了1了2

（II）求△物2的面积S的最大值.

22.已知函数/'(x)=(x+2)In(1+^)-ax.

(I)当a=0时，求f(x)在x=0处的切线方程；

(II)如果当x>0时，f(X)>0恒成立，求实数a的取值范围;

(III)求证：当a>2时，函数/1(x)恰有3个零点.

参考答案

一、选择题（共10小题）

1.已知集合/={0,1,2},8={0,1,3）,若全集〃=/U氏贝wu（4C6）=（）

A.{2,3}B.{0,1}C.{0,1,2,3}D.。

【分析】先求出〃={0,1,2,3）,/06={0,1},由此能求出[口（/AM.

解：：集合4={0,1,2},6={0,1,3},全集〃=4U6,

二〃={0,1,2,3},A^B=[0,1},

uGCW={2,3}.

故选：A.

2.已知软=log248，2b=p则a+6=（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】利用对数的运算性质即可得出.

b

解：a=lo2=-1->-'•^=log2y

o

则a+Z?=log2（48X—）=5.

3

故选:B.

2x+3yC6

3.已知实数x,y满足《x>0，则？=才+夕的最大值为（）

tya0

14

A.4B.3C.—D.2

5

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用Z的几何意义，利用数形结合即可得到结

论.

2x+3yC6

解：作出不等式组<x>0对应的平面区域如图：

设Z=A+P得y=~x+z,

平移直线y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z经过点夕（3,0）时，

直线y=-x+z的截距最大，此时z最大，

此时z=3,

故选：B.

4.二项式（1-2x）9的展开式中V的系数为（）

A.CgB.-Cgc.Cg-26D.

【分析】二项式（l-2x）9的展开式中f的系数可从相乘的9个（1-2%）中选6个，使

这6个括号中都提供-2x,剩下的三个括号均提供1,即可得到答案.

9

解：二项式（1-2x）9=_,其展开式中d的系数可从9个括

（l-2x）'（l-2x）-（l-2xj

号中选6个，使这6个括号中都提供-2x,剩下的三个括号均提供1,

于是，二项式（l-2x）9的展开式中Y的系数为：4（-2）6=Cg'26.

故选：C.

【分析】由函数的奇偶性及特殊点，运用排除法即可得到答案.

解：F（-x）=-x+sin（-兀x）=-x-sin（兀x）=-f（^）,故函数F（x）为奇函

数,其图象关于原点对称，故排除4C,,

又F（l）=l+sin兀=1,故排除8.

故选：D.

22

6.已知点尸为椭圆C.1的右焦点，点尸为椭圆C与圆（x+2）2+y=16一个交点,

95

则|方=（）

A.2B.4C,6D.2反

【分析】求出椭圆的焦点坐标，圆的圆心与半径，利用椭圆的定义转化求解即可.

22

解：点厂为椭圆C：的右焦点，则户（2,0）,左焦点（-2,0）,

95

圆（x+2）?+/=16的圆心（-2,0）,半径为4,圆的圆心是椭圆的左焦点，

一点P为椭圆C与圆（x+2）2+/=16一个交点，

贝！II依|=2a-4=6-4=2.

故选：D.

|a+b|<1

7.已知a,右GR,“|a|+|引<1”是，”的（）

|a-b|<1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】由不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案.

解：a,6GR,由|a|+|引<1,得|a+引W|a|+1引<1且|a-引W|a|+1引<1,即

|a+b|<1

|a-b|<1'

-l<a+b〈l

反之，由|a+引VI且|a-引VI,得,,,即㈤+引<1.

-l<a-b<l

“优舄”的…

A((\a\+\b\<r是

故选：C.

8.如图，三棱柱/火-4出G的底面是边长为2的正三角形，侧棱44」底面ABC,且hb[=&,

则异面直线4氏4G所成的角的大小为（）

兀

D.7

【分析】根据题意可得出AA[=&,A1B1=A1C1=2,ZM5=ZMG=90°,ZB^G

=60。，然后根据AiB・AC[=(AiBi+A[A)・(AiCi-A[A)进行数量积的运算即可

求出不•百=0,从而可得出异面直线4氏4G所成的角的大小.

,O

解：VAA^A/2-A1B1=A1C1=2,ZMJ5I=ZMG=90,/a4G=60°,

不•而=(A]B；+AjA)-(A,C；-不)

.....—.—♦...T2

=A1B1«A1C1-A1B1-A1A+A1A-A1C1-A1A

=2X2Xy-2

=o,

ATB!AC7,

，异面直线4昆力G所成的角的大小为

故选：D.

9.已知双曲线C的离心率e3无，过焦点尸作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为〃,

3

直线助交另一条渐近线于也则胆|-=

)

|NF|

A.2B.—C.返

22

【分析】画出图形，利用已知条件转化求解即可.

解：由题意双曲线的离心率为：@心巨，

可得£上返，可得/+*2=4_,所以t=遮，渐近线方程为：尸+返如图:

2

a3a3a3-3

/初尸=30°,F(c,0)则MF=I,.b,OM=a,

V32+(V3)

所以MN=Ma,

a

所以IM=b=_3=1

圻以‘INFIV3a-b厂M2.

故选：B.

10.已知数列｛&｝满足：a〃>0,且a/=2a--a加i（T?WN*）,下列说法正确的是（）

A.若a1=-^,贝I]a>ag

12

B.若4V&7+1,则仇>1

C.Wi+asW2a3

D.lan+2-an+lIan4-l-an

【分析】首先可分析得（4-1）（益「1）>0,再逐项判断即可.

解：・a，n=2a+/—am,

••Qn-1=2a〃i-H/T+I-1,

(为-1)(a+1)=(a^\-1)(24/7+1+1),

又为>0,

（a一1）（a加1-1）〉0；

对于力,若二.，贝I软「1=—贝I&—1<0,

1212

22=2=

•*•^n-an+ian1_i-an+1an+1则为〈以1,故选项4错误；

对于B,若加1,贝।4112-@口+]2=a/J-an+i=软口+1（@/]一1）<0，则为VI,故

选项6错误；

对于。，考虑函数y=72x2-x，如图所示，

当4>1,｛a｝单调递减，且｛a-a加1｝越来越小，

・・8-&>。3-己5,即&+a>2a3,故选项C错误；

对于仅设a.尸x,则a^Tzx2-x，a=141+8♦…

nMan+24

由上图可知，laq-a4|《返|a-「aI，即

1an+2an+l121nHn1

I唔正X|《阴X石耳I，

等价于1+8XJ2X2-X4A/1+8X2（4X-1），等价于W2X2-X43X-1，等价于f-2x+l

20,

而-2x+120显然成立，故选项〃正确.

故选：D.

二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.

11.已知复数Z满足Z=（4-/）7,，其中/为虚数单位，则Z的实部为1,z|=_V17_-

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求得Z的实部，再由复数模的计算公式

求模.

解：''z=(4-/)7=1+4/,

的实部为1；

^l=V12+42=V17-

故答案为：1；717.

12.已知定义在R上的奇函数/1(X)当x£[0,+8)时满足：fQx)=

/「011

，则一(2)=1；方程f(x)--1-=o的解的个数为5.

f(x-l),x€(1,+8)

【分析】根据函数解析式直接可求f(x),通过数形结合,观察图象即可得出方程f(x)

--1-=0的解的个数.

解：易知/'(2)=y(2-i)=f(i)=1,

方程/1(x)-女=0解得个数即函数y=f(x)与函数y=|■图象的交点个数,

在同一坐标系中作出函数(x)与函数■的图象如图所示,

由图象可知，函数y=f(x)与函数y=1•的图象共有5个交点，即方程f(x)~

的解的个数为5.

故答案为：1,5.

13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9.

22

主视图侧视图

俯视图

【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积.

解：根据几何体的三视图转换为几何体为:

下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体,

如图所示:

所以:r=^-x^-(2+4)X3X3=c,

故答案为：9

14.在我国东汉的数学专著《九章算术》中记载了计算两个正数的最大公约数的一种方法，

叫做“更相减损法”，它类似于古希腊数学家欧几里得提出的“辗转相除法”.比如求

273,1313的最大公约数：可先用1313除以273,余数为221（商4）：再用273除以221,

余数为52；再用221除以52,余数为13；这时发现13已是52的约数，所以273,1313

的最大公约数就是13.运用这种方法，可求得5665,2163的最大公约数为103.

【分析】利用辗转相除法即可得出.

解：5665=2163X2+1339,2163=1339+824,1339=824+515,824=515+309,515=

309+206.309=206+103.206=103X2.

.,.5665,2163的最大公约数为103.

故答案为：103.

15.如图，点P0传，/）为锐角a的终边与单位圆的交点，曲逆时针旋转子得如，OP、

逆时针旋转鸟得阴，…，/-1逆时针旋转乌得。2,贝Ucos2a=-L,月物的横坐

33-25一

标为乐Y.

一10—

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosa、sina的值，再利用二倍角

公式求得cos2a的值，诱导公式、诱导公式、两角和的余弦公式，求得202。的横坐标COS

TT

（a+2020X——）的值.

3

解：；点P。。，卷）为锐角a的终边与单位圆的交点，能逆时针旋转子得〃凡

04逆时针旋转?得利，…，1逆时针旋转?得打，

33

.'.cosa,sinacos2a=2cos2a-1=」-.

5525

,TVTTA'll"

%2o的横坐标为cos（a+2020X——）=cos（a+673n+——）=cos（a+———）

333

4兀..4兀4，1、3,北、3^3-4

33525210

故答案为：亲；3匠,

2510

16.有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用自表示两名老师之间的学生人数,

则自=1对应的排法有36种;E0=1；

【分析】自的可能取值为0,1,2,3,自=1对应的排法有：C；A?A§=36.分别求出户

（自=0）,尸（&=1）,尸（自=2）,尸（自=3）,由此能求出£（自）.

解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用自表示两名老师之间的学生人

数,

则自的可能取值为0,1,2,3,

自=1对应的排法有：C*：A；=36.

/.5=1对应的排法有36种;

p(i=o)

51205

A5

C3A2A3

p(i=i)36

A，120)

A第期,

p(&=2)24

5120,

A5

A3A212

P(&=3)

A5-1201

A5

42362412

+2XT20+3X720=L

•・£(&)=0X彘+1X120

故答案为：36,1.

17.如图，正方形ABCD的边长为2,E,户分别为BC,"的动点，且|庞|=2|少|,设

AC=x^+yAF（x,y€R），则x+y的最大值是一理之―，

【分析】设边长为1,l〃1=a,建立直角坐标系，求得菽，AE,菽的坐标，根据题设

用a表示出x+y,再利用函数即可得解.

解：建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1,|CF\=a,则月（0,0）,<7（1,1）,

E（1,2a），6（1-a,1）,

故正=(1,1),AE=(1,2a),AF=(l-a,1)，

又菽=x"^+yIF(x,y€R)，

a

x+(l-a)y=l2a2-2a+l

则《(04a4/),

2ax+y=ll-2a

ty:

2a2-2a+l

l-a

/.x+y=

2a'-2a+l

14=____t_________1___1_V2+1

令t=l-a£耳，1］，贝/〜2t2-2t+「2td-2%&-2-2，当且仅当

乙乙ITX乙

三、解答题(共5小题，满分74分)

18.如图，在四边形/及苏中，已知49=3,BC=5,CD=7,/A3C=120°,NACB=NACD

(I)求sina的值;

(II)求42的长度.

【分析】(/)在中，利用余弦定理可得44由正弦定理可得：sina.

为锐角，在△/切中，由余弦定理可得力〃

(//)acosaVxOX/XXCl•

解：(/)在中，^=32+52-2X3X5COS120°=49,解得4-7.

由正弦定理可得：-r^-7解得sina=心叵

sinO-sinl20014

(77)a为锐角，cosa=4^看.

1o

在△/缪中，由余弦定理可得：^77=72X2-2X72X—=7,

14

解得/〃=夜.

19.如图，七面体/8G宏尸的底面是凸四边形/及/,其中/BAD=120°,AC,

劭垂直相交于点。，0C=20A,棱丝,CF均垂直于底面/比D

(I)求证：直线应1与平面比F不平行;

(II)若CF=1,求直线欧与平面何所成的角的正弦值.

【分析】(I)以。为原点，%为x轴，切为y轴，过。作垂直于平面ABCD的直线为z

轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线龙与平面比尸不平行.

(II)求出平面跳》的法向量，利用向量法能求出直线比与平面〃"所成的角的正弦值.

解：(I)证明：以。为原点，。。为x轴，切为y轴，

过。作垂直于平面幻的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

设CF=a,AE=b,则〃(0,代，0),£(-1,0,6),B(0,-遮，0),C(2,0,

0),F(2,0,a),

血=-I，-；0),BC=(2,M，0),而=(2,弧,a),

设平面比尸的法向量三=(x,y,z),

,fn*BC=2x+V3y=0l一r-

贝叶__,取*=愿，得n=(«，-2,0),

n•BF=2x+J^y+az=0

DE，n=-弧+26=如羊。,

..•直线龙与平面比F不平行.

(II)解："CF=1,：.F(2,0,1),

BC=⑵如，0),而=(2,1),BD=(0,2^3-。)，

设平面〃”的法向量：=(x,y,z),

,m•BF=2x+V3y+z=0

则｛______,取X=l,得1r=(1,0,-2),

m*BD=2V3y=0

设直线勿与平面弧?所成的角为e,

则直线勿与平面叫“所成的角的正弦值为:

辰・孟|22V35

sin9

iBCl-ImlV7-V5^5

20.设数列｛aj的前n项和为S,S=/A递增的等比数列｛4｝满足：》=1,且也,也,员

-4成等差数歹L

（I）求数列面｝,｛4｝的通项公式;

aaan+l

23十・・・+

(II)求证:b1■<3.

2"'-Ibn+111

【分析】（I）运用数列的递推式：/2=1时，团=5,时，a产S「S…化简可得

a〃；再由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得

到所求bn；

2n+l<2(n+l)

（II）方法一、先证明（〃22）,再由数列的错位相减法求和、不等式

3n-l3n

的性质即可得证;

2n+l,下一步运用分析法证明“皿-<5”，再由等比数列的求和公

万法一、令Cn=

3n-lcn2

式和不等式的性质，即可得证.

解：（I）数列｛aj的前〃项和为Sn=n",n€N*.可得a=S=1,

2

刀22时，an=Sn-Sn-i=n-(/?-1)=2n-1,对〃=1也成立,

则a=2〃-1,〃£N*；

递增的等比数列｛4｝的公比设为dq>l,由4=1,且4,bi,63-4成等差数歹L

可得2友=61+63-4,即2q=q~3,

解得(7=3(-1舍去)，

则〃GN*；

a2n+l

(II)证法一:n+1

bn+l-1-3n-f

当时，3"-1=(1+2)"-1>-1+1+2C1+4C2>2ZTM,由a>b>0,m>0,—

nnaa一

2n+l

可得‘(〃22),

3n-l

占——4〈果空当…洱匕设^2X3+2X4+

2323

b2-lb3-lbn+1-l233333

2(n+l)

3n

1_2X32X42(n+l)001112(n+l)

相减可得(^r+-r+•••+—)

33334313333343n3nH

2(n+l)工_L2(n+l)

-

on4-ln9n9rd-l

7

可得

6

a2a3an+l

所以b2-1+b3-1+…+-----------------+------------Jo.

bn+111263

证法二、令Cn=WL,下一步运用分析法证明“二出<!”，

n

3-lcn2

要证.(2匚¥)(3/D_<!■,即证(4加6)(3"-1)<(2加1)(3^-1),

(2n+l)(3n+1-l)2

即证-2〃-5<(2/7-3)(3--1),对〃eN*时，显然成立，则&!±<工,

%2

1—―

则C1+C2+…+以=旦+至+“+呼"一£旦+3义工一・+亘义(―)^'=-X——二_.=3(1-^7)

283-122222212n

1节

<3.

21.如图，过点P(0,作直线，交抛物线C：/=X于48两点(点/在R6之间)，

设点4,3的纵坐标分别为%,再，过点/作x轴的垂线交直线处于点〃.

(I)求证：—•<---=2；

丫1了2

(II)求△物2的面积S的最大值.

【分析】(I)可设直线，的方程为y=4x+£,联立抛物线方程，运用韦达定理，化简

可得证明；

(II)由△>(),可得人的范围，点/在只6之间，可得me(0,1),求得〃的坐标,

运用三角形的面积公式和导数，判断单调性和极值、最值，可得所求最大值.

解：(I)证明：可设直线/的方程为y=Kx+/,联立抛物线y=x,

可得政一7+/=0,则%+%=工，K刃=去，

乙K4K

11丫产2

即有---4----■=2

V1丫2y^2

(II)由△=1-24>0,即4〈工,由/(y?,K)在尸,6N.间,

2

l-Vl-2k_1x

所以71KG(0,1),可设加,，在直线勿：y=

~2k-l+Vl-2k丫2

上可得力=工，

y2

2]1

所以△如〃的面积为5=焉2(%-口-),由北一=2-丁，可得S=yi3-yi4(0<yi<l),

yy

2y22l

S'—y\(3-4%),

可得0<K<g时，S'>0,函数S递增；时，S'<0，函数S递减，可

44

得了尸导，即"=卷时，△/，的面积S的