2020-2021学年江苏省某中学高一（下）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年江苏省泰州中学高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.若复数z满足z（2-/）=11+7,M为虚数单位），财^为（）

A.3+5;B.3-5iC.-3+5zD.-3-5z

2.已知向量；、E满足|=|E1=1，则|2彳+己1=（）

A.3B.MC.7D.-fj

3.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正

方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体

称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好

抽到边缘方块的概率为（）

28「4

AA.—BD.——C.—D.—

92792

4

4.在一组样本数据中，1,3,5,7出现的频率分别为pi,P2,P3,P4,且Ep=l,若这

i=l

组数据的中位数为6,则〃4=（）

A.0.5B.0.4C.0.2D.0.1

5.已知空间三个平面a,p,y,下列判断正确的是（）

A.若aJ_0,a±y,贝!J0〃丫B.若。_10,a_Ly,则0J_Y

C.若a〃B，a〃丫，贝I0_LYD.若。〃0,a〃丫，贝UB〃丫

6.已知点A（3租，-m）是角a的终边上的一点，则星久2a土也一'工一的值为（）

l+cos2a

.7„5小5「7

A.——-B.——-C.—■D.—

181822

7.粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或碧叶、赣古子叶等）包裹

而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等.粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵

的贡品.南北叫法不同，北方产黍，用黍米做粽，角状，古时候在北方称“角黍”.由

于各地饮食习惯的不同，粽子形成了南北风味，从口味上分，粽子有成粽和甜粽两大类

某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成是一个正四面体，现需要在粽子内部放入一

个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的

高的比值为（）

8.在矩形ABCD中,A8=3,8C=2,设矩形所在平面内一点P满足|CP|=1，记11=屈-AP,

I2=AC'AP,I3=AD'AP,则（）

A.存在点尸，使得/1=/2B.存在点P,使得/1=/3

C.对任意点P,都有/1</2D.对任意点P,都有/1</3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请将答案填涂到答

题卡相应区域。

9.下列命题为真命题的是（）

A.若Zl,Z2互为共辗复数，则Z1Z2为实数

B.若i为虚数单位，〃为正整数，则泮+3=，

C.复数:、的共软复数为-2-i

D.复数为-2-i的虚部为-1

10.在直角梯形中，C£）〃AB,AB±BC,CD=1,AB=BC=2,E为线段8C的中点，

贝lj（）

A.AC=AD+yABB.DEABAD

CAB-CD=2D.AE-AC=6

11.下列命题中是真命题的有（）

A.在△ABC中，若A>8,则sinA>sinB

B.在△ABC中，若sin2A=sin28,则△ABC是等腰三角形

C.在△A8C中，若acosB-6cosA=c,则△ABC是直角三角形

5432.62

D.在△A8C中，若COSA=7^，sinB=~，则cost?的值为砥"或

1356565

12.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点3是圆O上异于A,。的动点，SO=OC=2,

则下列结论正确的是（）

s

A.圆锥SO的侧面积为472兀

B.三棱锥S-ABC体积的最大值为春

O

兀TT

C.N&4B的取值范围是（丁，—）

D.若AB=BC,E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2（正+1）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上，

13.某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生

被抽到的概率都是0.04,则这个样本的容量是.

14.已知复数z满足|z-，|=1（，是虚数单位），则|z+i|的取值范围是.

15.若cos（30°-a）-sina。，则sin（30°-2a）=.

16.2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔•弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫

是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每

一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1,

则该多面体表面积是.

开尔文躯体

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.已知复数zi=a+3i,Z2=2-ai（aeR,i是虚数单位）.

（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；

（2）若虚数zi是实系数一元二次方程N-6x+m=0的根，求实数m的值.

18.某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均

在75分以上(满分100分)，分成[75,80),[80,85)[85,90),[90,95),[95,

100]共五组后，得到的频率分布表如下所示：

组号分组频数频率

第1组[75,80)©

第2组[80,85)0.300

第3组[85,90)30②

第4组[90,95)200.200

第5组[95,100]100.100

合计1001.00

(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图(用阴影表

示)；

(2)为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分

层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识

答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率.

19.已知三棱柱ABC-AiBiCi中，底面AiBiCi是边长为2的正三角形，侧棱CC底面

AiBiCi,E为B1G的中点.

(1)若G为421的中点，求证：CiGXABi；

(2)证明：ACi〃平面4E8.

C,

20.某地实行垃圾分类后，政府决定为A,B,C三个小区建造一座垃圾处理站集中处

理三个小区的湿垃圾.已知A在2的正西方向，C在8的北偏东30°方向，M在B的北

偏西30°方向，且在C的北偏西60°方向，小区A与8相距2历"，8与C相距3初7.

(1)求垃圾处理站M与小区C之间的距离；(结果精确到小数点后两位)

(2)假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车

的行车费用为每公里。元，一辆小车的行车费用为每公里布元(0<A<l).现有两种

运输湿垃圾的方案：

方案1：只用一辆大车运输，从M出发,依次经A,B,C再由C返回到M；

方案2：先用两辆小车分别从A、C运送到然后并各自返回到A、C,一辆大车从M

直接到2再返回到试比较哪种方案更合算？请说明理由.(结果精确到小数点后两

位，依-1.732,小心2.646)

21.△ABC的内角A,B,C,的对边分别为a,b,c,已知26+c=2acosC且

(I)求角A的大小；

(II)若△ABC的周长为泥色而，求△ABC的面积；

(Ill)^b=V3，求cos(28-A)的值.

22.如图所示，四棱锥尸-ABC。的底面ABCD是边长为1的菱形，ZBCD=60°,E是

CD的中点，PAL底面ABC。，PA=2.

(1)证明：平面PBE_L平面PA&

(2)求点。到平面尸BE的距离；

(3)求平面尸4。和平面P8E所成锐二面角的余弦值.

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将答案填涂到答题卡相应区域.

1.若复数z满足z（2-D=ll+7z（力为虚数单位），财^为（）

A.3+5;B.3-5/C.-3+5，D.-3-5/

解：由z(2-0=11+7〃

」」

所以l+7i_(ll+7i)(2+i)5+25iy..

=(2-i)(2+i)=~5~351-

所以W=3-5i-

故选：B.

2.已知向量Z、E满足|a|=|b|=1>|a+b|=V3>则|2a+b|=()

A.3B.«C.7D.77

解：,・,|=1=1,Ia+b|=V31

•—•—•9—♦2—*2—♦—*--*・""*7*_1

,•(a+b)=a+b+2a・b=l+l+2a・b=3，

|2a+b|=V(2*a+b)2=Via+b+4a*b=^4+l+4X-^-=V7-

故选：D.

3.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正

方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体

称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好

抽到边缘方块的概率为（）

「

AA.—2BD.—8—C.—4D.—

92792

解：一共有27个小方块，其中边缘方块有12个，

...从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为：P~=^.

故选：c.

4

4.在一组样本数据中，1,3,5,7出现的频率分别为pi,pz,P3,P4,且汇pi=l,若这

i=l

组数据的中位数为6,则P4=（）

A.0.5B.0.4C.0.2D.0.1

解：：样本数据中只有1,3,5,7,没有6,

样本数据一共有偶数个数，且从小到大排序后中间两个数为5,7,

样本数据中有一半是7,.•74=0.5,

故选：A.

5.已知空间三个平面a,p,Y，下列判断正确的是（）

A.若a±p,a_Ly,贝!J0〃丫B.若a_L0,a±Y>贝U0，丫

C.若a〃0,a〃丫,则0_1_丫D.若a〃0,a//y,则0〃丫

解：空间三个平面a,p,丫,

对于A,若a_L0,a±y,则0与Y相交或平行，故A错误;

对于2,若a_L0,a_Ly,则0与丫相交或平行，故2错误;

对于C,若a〃0,a〃y,则B〃Y，故C错误;

对于。，若£1〃0,a〃丫,则由面面平行的判定定理得B〃Y，故。正确.

故选：D.

2

6.已知点4（3%,-加）是角a的终边上的一点，则地口2（工上班口一的值为（）

1+cos2a

解：•.•点A（3加，-加）是角a的终边上的一点,

■,-m1

..tana=——

3m3

•sin2a+sin2a_2sinCtcos+sina_2tana+tan2a_2X(--)

1+cos2a2cos2a2-------

5

18

故选：B.

7.粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或碧叶、筋古子叶等）包裹

而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等.粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵

的贡品.南北叫法不同，北方产黍，用黍米做粽，角状，古时候在北方称“角黍”.由

于各地饮食习惯的不同，粽子形成了南北风味，从口味上分，粽子有成粽和甜粽两大类

某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成是一个正四面体，现需要在粽子内部放入一

个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的

高的比值为（）

A-2B-3C-4D-I

解：当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，

设正四面体的棱长为。，高为心内切球的半径为厂，

如图，空a，CO'=-1cD=^a-则仁李a，

乙o0o

2

正四面体的表面积S=4XyXaXaX^y-=73a,

由等体积法得Vp_AR「ArS,

2

BpJXlXaXaX^x^lxV3aXr,解得厂=\^a.

3N/SSLZ

娓a

.r121

~3~

“，，，■■，..

8.在矩形ABC。中,AB=3,8C=2,设矩形所在平面内一点P满足|CP|」,记I[=AB•AP,

I2=AC-AP,I3=AD-AP,则（）

A.存在点P,使得/l=/2B.存在点尸，使得/l=/3

C.对任意点P,都有/l</2D.对任意点P,都有/l</3

解：以c为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系:

则尸点轨迹是以。为圆心，1为半径的圆；B(0,2),。(3,0),A(3,2),

设尸(X,y),则12+y2=l,

.■■■<.......

I1-I2=ABAP-ACAP=(AB-AC)-AP=CBAP,

又CB=(0,2),AP=(x-3,y-2),AI1-12=CB-AP=2y-4,

■：ye[-1,1],：.2y-4e[-6,-2],A/i-Z2<0,BPh<h,

Ij-^^AP-ADAP=(AB-AD)AP=DBAP,

又碌(-3,2),AP=(x-3,y-2),

11-1g=DB-AP=_3x+9+2y-4=_3x+2y+E,

不妨设x=cos。，y=sin0,

贝i]1-I=-3COS8+2sin8+5=/13sin(8-Q)+5,其中tanQ,

133

Vsin(0-cp)G[-L1],8-。)+5€[55+无§],

BPh-h>0,即h>h>

综上所述，对于任意点P,都有/l>/3,

故选：c.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请将答案填涂到答

题卡相应区域。

9.下列命题为真命题的是()

A.若Zl,Z2互为共轨复数，贝IZ1Z2为实数

B.若z•为虚数单位，〃为正整数，则产"+3=?

5

C.复数:、的共轨复数为-2-i

i-z

D.复数为-2-i的虚部为-1

解：若zi,Z2互为共朝复数，设zi=a+bi,z2—a-bi,则ziZ2=a2+/?2是实数，所以A正

确；

若i为虚数单位，n为正整数，则泮+3=9=-i,所以。不正确；

复数三=,-2-f,所以复数三的共辗复数为-2+i,所以C不正确;

复数为-2-i的虚部为-1,满足复数的定义，所以。正确；

故选：AD.

10.在直角梯形ABC。中，CD〃A3,AB±BC,CD=1,AB=BC=2,E为线段BC的中点,

则（）

»»1»i»Q»1.

A.AC=AD专ABB.DEABAD

C.AB-CD=2D,AE-AC=6

解：如图：作。。_LAB交AB于点。，可知而=前，由题意前=£标.

标•而=2X1Xcosir=-2,：・C错;

11。11*•*.•o•**■*1•1•.

AE*AC=（AB+BE）*（AB+BC）=AB+AB*BC+BE*AB+BE*BC=2+O+O+2X1x1=6,

；.£）对.

故选：ABD.

11.下列命题中是真命题的有（）

A.在△ABC中，若A>2,则sinA>sinB

B.在△ABC中，若sin2A=sin28,则△ABC是等腰三角形

C.在△ABC中，若acosB-bcosA=c,则△ABC是直角三角形

D.在△ABC中，若cosA=W>sinB=-1->则cosC的值为里或笑^

1356565

解：对于A：在△ABC中，若所以。>/?,利用正弦定理：则sinA>sin3,故A正

确；

对于B：在△ABC中，若sin2A=sin2B,整理得2A=28或2A=n-2B,故A=B,A+B

冗

则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C：在△ABC中，若acosB-bcosA=c,整理得：sinAcosB-sin/?cosA=sinC,所以A

-B=C,由于A+8+C=TT,解得A=子，则△ABC是直角三角形，故C正确；

51943

对于。：在△ABC中，若ccisA=不，则sinA=；7，由于sinB=w，所以cosB二±三，

Iolobb

,「2

根据A的范围cosB、"，

5

、/3

故当cosB==时，cosC=-cos（A+B）=-=-cosAcosB+sinAsinB=

故选：AC.

12.如图，AC为圆锥SO底面圆0的直径，点8是圆。上异于A,。的动点，SO=OC=2,

则下列结论正确的是（）

A.圆锥S。的侧面积为哂兀

B.三棱锥S-ABC体积的最大值为日

O

TTTT

C.NSAB的取值范围是（丁，—）

D.若A2=BC,E为线段AB上的动点，贝USE+CE的最小值为2（我+1）

解：对于4圆锥的底面半径与高均为2,则母线长/=2&,

圆锥的侧面积5=兀彘=4、历兀，故A正确；

对于8,当点B为弧AC的中点时，底面三角形A8C面积最大为，■XdX2=4，

1O

此时三棱锥S-ABC体积的最大值为仔又4乂2吟，故8正确；

OO

JTJT

对于C,当8与C趋于重合时，/SAB趋于丁，当8与A趋于重合时，/SA8趋于二

42

•.*AB的取值范围是（丁，故C错误；

对于£）,若A8=BC,以AB为轴把平面SA8旋转至与平面ABC重合，连接SC,交

于E,

则/ABC=150°,在△SBC中，SB=BC=272>

由余弦定理可得：5C=^8+8-2x2V2x2V2x（岑"）=2（立+1）,

即SE+CE的最小值为2（愿+1）,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上，

13.某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生

被抽到的概率都是004,则这个样本的容量是40.

解：根据题意得：这个样本的容量是1000X0.04=40.

故答案为：40.

14.已知复数z满足|z-4=1。是虚数单位），则|z+i|的取值范围是[1,3].

解：设Z=〃+。。由|z-4=1得〃2+（0-1）2=],_（/?-1）2=-Z?2+2Z?,

2222=

•••|z+i|=7a+（b+l）=V-b+2b+b+2b+lV4b+l，

由°2=1-（6-1）2=-62+2620得0W6W2,A|z+z|=V4b+1G[O,3],

故答案为：[0,3].

17

15.若cos（300-a）-sina若，贝ijsin（30。-2a）

oy

解：•「CQS（30°-a）-sina。，

■••空"cosa-Jsina乌，即cos（30。+a）],

Asin（30°-2a）=cos[90°-(30°-2a)]=cos(60°+2a)=2cos2(30°+a)-1

17

=2><丁A可

故答案为：-y-.

y

16.2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔•弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫

是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每

一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1,

则该多面体表面积是12赤+6.

开尔文胞作

解:棱长为1的正方形的面积为IX1=1,正六边形的面积为6XtXIXIX—=^~,

222

又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个

正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正

方形，正六边形有6义4+3=8个，所以该多面体的表面积为8义-^^-+6=12V3+6-

故答案为：12j^+6.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.已知复数zi=a+3i,Z2=2-山QeR,i是虚数单位）.

（1）若ZiF在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；

（2）若虚数zi是实系数一元二次方程尤2-6.什机=0的根，求实数m的值.

解：（1）Vzi=a+3i,Z2=2-ai,z[-z2=a-2+（W-a）i,

：zi-用在复平面内对应的点落在第一象限，

Ja-2>0

解得2<a<3,即实数。的取值范围是（2,3）；

(3-a>0,

（2）由虚数zi是实系数一元二次方程N-6x+m=0的根，

得z]2-6z]+m=0,即（o+3z）2-6（a+3i）+m—0,

整理得a2-6a+m-9+(6a-18)i—0,

2

{a-6a+m-9=0a=3

,解得，

l6a-18=0m-18

18.某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均

在75分以上（满分100分）,分成[75,80）,[80,85）[85,90）,[90,95）,[95,

100]共五组后，得到的频率分布表如下所示：

组号分组频数频率

第1组[75,80)①

第2组[80,85)0.300

第3组[85,90)30②

第4组[90,95)200.200

第5组[95,100]100.100

合计1001.00

（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表

示）；

（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分

层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识

答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率.

]频率

组距

0.08••

607—

0.06一

0.05--

0.04--

0.03…

0.02-

0.01--

7580859095100成绩

解：（1）第2组的频数为100X0.300=30,

所以①处应填的数为100-30-30-20-10=10,

②处应填的数为304-100=0.300,

频率分布直方图如图所示,

(2)因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手

进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：

第3组：裳义6=3人，第4组：某X6=2人，第5组：黑X6=1人，

606060

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答，

设第3组的3位学生为4,A2,A3,第4组的2位学生为BI,第5组的1位学生为

G,则从这6位学生中抽取2位学生有：

(Ai,人2),(Ai,A3),(Ai,B\),(Ai,&),(Ai,Ci),

(A2,A3),(A2,Bi),(A2,B2),(A2,Ci),

(A3,Bi),(A3,&),(A3,Ci),

(Bi,B2)，(Bi,Ci),

(&,Ci),共15种情况.

抽到的2位学生不同组的有：(Ai,Bi),(Ai,&),(Ai,Ci),(A2,BI),(A2,

B2),(A2,Ci),(A3，Bi),(A3,&),(A3,G),(Bi,Ci),(82,Ci),

共11种情况.

所以抽到的2位学生不同组的概率为圣.

1D

19.已知三棱柱ABC-AiBiCi中，底面是边长为2的正三角形，侧棱CG_L底面

AiBiCi,E为的中点.

(1)若G为481的中点，求证：CiGXABi；

(2)证明：AG〃平面AiEB.

【解答】证明：(1)•..侧棱CGJ_底面4B1C1,GGu底面AiBiCi,

：.CCi±CiG,

:三棱柱ABC-AiBiG中，CCi/ZBBi,

：.BBi±CiG..

：G为正三角形AiSCi的边43的中点，

ACiGXAiBi.

又881U平面A1B1U平面A41B1B,BB\AAiBi=Bi,

GG_L平面AAiBiB.

：42匚平面44出18,

：.CiG±ABi.

(2)记ABiCA由=0,连E0.

;三棱柱ABC-A出Ci中，A41BB是平行四边形，ABiHAiB^O,

，。为A8的中点，

又•.,△SAG中，E为81cl的中点，则£O〃ACi.

：EOu平面AiEB,ACi(p平面AiEB,

；.ACi〃平面AiEB.

20.某地实行垃圾分类后，政府决定为A,B,C三个小区建造一座垃圾处理站V,集中处

理三个小区的湿垃圾.已知A在8的正西方向，C在B的北偏东30°方向，M在8的北

偏西30°方向，且在C的北偏西60°方向，小区A与8相距2/机，8与C相距

（1）求垃圾处理站M与小区C之间的距离；（结果精确到小数点后两位）

（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车

的行车费用为每公里。元，一辆小车的行车费用为每公里布元（0<A<l）.现有两种

运输湿垃圾的方案：

方案1：只用一辆大车运输，从M出发,依次经A,B,C再由C返回到M；

方案2：先用两辆小车分别从A、C运送到8,然后并各自返回到A、C,一辆大车从M

直接到2再返回到试比较哪种方案更合算？请说明理由.（结果精确到小数点后两

位，返器1.732,由-2.646）

解：(1)在中，ZMBC=60°,90°,BC=3,

MC=V3BC=3V3^5.196=5.2C.

所以垃圾处理站M与小区C间的距离为5.20公里.

(2)在中，ZMBC=6Q°,ZMCB=90°,BC=3,照=3日，

所以M2=6.

又在△MBA中，ZMBA=60°,AB=2,

：.M^^AB-+MB2-2AB-MB-cos60°=28,

；.MA=2正=5.292,

方案一费用：yx=a(\MA\+\AB\+\BC\+\CM\)=a(5.292+2+3+5.196)=15.488。,

方案二费用：y2=2a\MB\+2Xa(|AB|+|BC|)=(10A+12)a,

当yi＞”时，方案二合算，止匕时0〈入W0.34,

当yiW”时，方案一合算，此时0.35W入＜1,

综上，当0〈入W0.34时，方案二合算；当0.35W入＜1时，方案一合算.

21.ZkABC的内角A,B,C,的对边分别为a,b,c,已知2b+c=2acosC且a=&.

(I)求角A的大小；

(II)若AABC的周长为戈班，求的面积；

(III)^b=V3-求cos(28-A)的值.

222

解：(I)因为2Z?+C=2QCOSG所以2Z?+C=2〃・^—-------,

2ab

整理可得：b2+c2-d2=-be,

由余弦定理可得：b2+c2-a2=2Z?ccosA,

所以cosA=-],AE(0,ii),

9

所以可得4=0；

(ID由三角形的周长为正+巡，a=屈,

所以b+c=，^,

由(I)可得d2=b2^-c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2/?ccosA,而cosA=-

所以可得5=6-2bc+bc,可得bc=\,

所以S^ABC=-^bcsinA=-^-X

所以AABC的面积为4；

4

ba2

(III)由正弦定理可得:，b=M，。=巡，A=f,

sinBsinAo

所以sinB=—*sinA=-r^9-i—=-T-f^,

aV522V5

A/T7

b<a,所以5为锐角，所以cosB=厂,