【高中数学】直线的两点式方程+讲义+高二年级上册数学苏教版（2019）选择性必修第一册

课题:§122直线的两点式方程

教学课时安排

1、上课时间：.

2、课时安排：.

3、上课班级.

学科目标要求

1、理解并掌握直线方程的两点式的形式特点和适用范围.

2、理解并掌握直线方程的截距式的形式特点和适用范围.

3、能正确利用直线的两点式、截距式求直线方程.

4、能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题.

学科素养目标

本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到

学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识.如

在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜

率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系.数形结合是本章

重要的数学思想.这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的

性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性.

本节重点难点

重点：利用直线的两点式、截距式求直线方程.

难点：利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题.

教学过程赏析

基础知识积累

1.直线的两点式、截距式方程

名称两点式截距式

两点

Pl（Xi,>1）,

两点A（a,0）,

条件

Pl（X2,>2）B（0,b）,abWQ

（汨7%2,）“会'2）

方程毕

ab

【思考】

(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示?

(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示?

【课前基础演练】

题1.在X轴和y轴上的截距分别为-2,3的直线方程是（）

4XV,

3-22-3

c"l

-23-32

题2.直线过第一、三、四象限，则()

ab

A.。〉0,b>。B.a>0,b<0

C.«<0,b>0D.«<0,b<0

题3（多选鹏）.已知直线/过点P（T,D,且与直线h2x-y+3=0以及x轴围成

一个底边在x轴上的等腰三角形，则（）

A.直线/与直线L的斜率互为相反数

B.直线/与直线八的倾斜角互补

C.直线/在x轴上的截距为一1

D.这样的直线/有两条

题4.已知点A（3,2）,8（-1,4）,则经过点C⑵5）且经过线段AB的中点的直线方程为

题5.直线/在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A（6,-2）,则直线/的方程为.

【当堂巩固训练】

题6.过（1.2），（5.3）的直线方程是（）

8匹巴

5-13-13.25-1

C.B"D二二

5-22-3

题7.已知直线/的两点式方程为小二,则/的斜率为（）

-3-03-（-5）

333

8._C.--D.-

8822

题8.已知直线/过点（1.2）,且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍,则直线/

的方程为()

A.2x-y-0

B,2x+y-4=0

C.2x~y=0或x+2y-2=0

D.2x-y=0或2元+y4=0

题9.过点(1.2)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为()

A.1B.2C.3D.4

题10(多造博).下列说法正确的有()

A.若直线丫=代+6经过第一、二、四象限，则(k,b)在第二象限

B.直线公:一>一2左+3=0必过定点

C.过点(2,-1),且斜率为一小的直线的点斜式方程为、+1=一4(x-2)

D.斜率为-2,且在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±3

题11(多选购).过点4(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()

A.y=-x+5B.y=x+5

xx

C尸彳D.y^--

题12.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一■动点P(%,>'),则孙的最大值是.

题13.如图，已知直线/过点P⑵1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原

点,则三角形OAB面积的最小值为.

题14.已知4(3,0),8(0,4),直线48上一动点P(x,y),则孙的最大值是.

题15.过点尸(1,2)且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为—

此直线与两坐标轴围成的三角形面积为.

题16.过点m(2,1)作直线/,分别交x轴，y轴的正半轴于点A,B.

(1)当〃为AB中点时，求直线/的方程；

(2)设O是坐标原点，当△AOB的面积最小时，求直线/的方程.

【课堂跟踪拔高】

题17.若直线过点(73--3)和点(O,-4),则该直线的方程为()

人/恁-4B.y=』&+4C.y=y/y-6D.y=&+2

题18.已知动点P(t,f),Q(10F0),其中0VQ0,则点M(6,1),N(4,5)与直线PQ的关系是

()

A.MN均在直线产。上

B.MN均不在直线PQ上

C.M不在直线PQ上,N可能在直线PQ上

D.M可能在直线PQ上,N不在直线PQ上

题19.经过点M(l,1)且在两轴上截距相等的直线方程是()

A.x+y=2B.x+y=].

C.或尸1D.x+y=2Wcx=y

题20.过A3,y)和8&,y2)两点的直线方程是()

Ay'yi_X'X1

'y2-yi■打

B二二222n

X-X1

C.(y2-yi)(尸即)一&』)(y-y)=0

D.(x2-xi)(x-xi)-(y2-yi)(y-yi)=0

题21(多选断).下列说法正确的是()

4截距相等的直线都可以用方程表示

aa

B.方程户加y2二0("?£R)能表示平行于y轴的直线

C.经过点P(l,1),倾斜角为0的直线方程为y-l=tan。(k1)

D.直线工2=7在y轴上的截距为h.

ab

题22.己知直线/的斜率为上且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线/的方程

6

为•

题23.过点尸(3,7)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有条，方程

为.

题24.设直线/的方程为(a+l)x+y+2-a=0(neR).

(1)若/在两坐标轴上的截距相等，求/的方程；

(2)若/不经过第二象限，求实数a的取值范围.

题25.根据下列条件分别求直线I的方程：

(D直线过点P(2,3),直线/在x轴、y轴上的截距之和等于0;

(2)直线/经过点8(-2,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.

题26.已知直线方程为尹2=Mx+l).

(1)若直线的倾斜角为135°,求k的值；

(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,O为坐标原点,求AAOB面积的最小值

及此时直线的方程.

编号：003课题:§122直线的两点式方程

教学课时安排

1、上课时间：.

2、课时安排：

3、上课班级.

学科目标要求

1、理解并掌握直线方程的两点式的形式特点和适用范围.

2、理解并掌握直线方程的截距式的形式特点和适用范围.

3、能正确利用直线的两点式、截距式求直线方程.

4、能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题.

学科素养目标

本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到

学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识.如

在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜

率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系.数形结合是本章

重要的数学思想.这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的

性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性.

本节重点难点

重点：利用直线的两点式、截距式求直线方程.

难点：利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题.

教学过程赏析

基础知识积累

1.直线的两点式、截距式方程

名称两点式截距式

两点

P\（笛,yi）,两点A（a,0）,

条件

P2（X2,》2）B（0,b）,abW0

xy

方程）‘斗广八―一二1

ab-

思考？

（D什么样的直线的方程不能用两点式表示?

提示:与x轴、），轴平行的直线,x轴,y轴.

(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示？

提示:与x轴、y轴平行或重合及过原点的直线.

【课前基础演练】

题1.在x轴和y轴上的截距分别为-2,3的直线方程是()

A二+'l8;+”1

3-22-3

c"i0sl

-23-32

【解析】选C.由直线的截距式方程可得工+乙1.

-23

题2.直线、以1过第一、三、四象限，则()

ab

Aa>0,b>0B,a>0fb<0

C.a<0,h>0D.水0,KO

【解析】选3.因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距

为负，所以。>0,b<0.

题3(多选博).已知直线/过点P(T，1),且与直线/“2L)，+3=0以及x轴围成

一个底边在x轴上的等腰三角形，则()

A.直线/与直线人的斜率互为相反数

B.直线/与直线人的倾斜角互补

C.直线/在x轴上的截距为一1

D.这样的直线/有两条

【解析】选AB.因为直线/与八及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以/与八的

倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A,8均正确；由直线2x—y+3=0的斜率为2,知

直线/的斜率为-2,可得直线/的方程为y—1=-2(x+l),令y=0,可得在x轴上的截

距为一：，故选项C错误；过尸(一1,1)且斜率为-2的直线只有一条，故选项£>错误.

题4.已知点A(3,2),8(-1,4),则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为一.

【解析】AB的中点坐标为(1,3),由直线的两点式方程可得匕三即2x-y+l=0.

5-32-1

答案：2x-y+l=0

题5.直线/在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线/的方程为.

【解析】设直线在x轴上的截距为a(aWO),则在y轴上的截距为4T,由截距式可得:工+工=1,

aa-1

将(6.-2)代入直线方程,解得：4=2或3,所以代入直线方程可得,$y=l或

答案:-+产1或-+工1

232

【当堂巩固训练】

题6.过（1.2），（5.3）的直线方程是（）

Ay-2_x-iy-2_x-i

5-13-13-25-1

C,昼二三D,二二二

5-15-35-22-3

【解析】选&所求直线过点（1.2）,（5.3）.将两点坐标代入两点式,得篝言.

题7.已知直线/的两点式方程为汩,则/的斜率为（）

-3-03-（-5）

3333

A.；B：G--

8822

【解析】选人由两点式方程型=汩，

-3-03-（-5）

知直线I过点（-5,0）,（3,-3）,

所以/的斜率为此强三.

-5-38

题8.已知直线/过点（1,2）,且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍,则直线/

的方程为（）

A.2x-y=0

B.2x+y-4=0

C.2x-y=0或x+2y~2=0

D.2x-y=0或2x+k4=0

【思路导引】直线/在两坐标轴上的截距成倍数关系,应考虑直线过原点和不过原点两类,分

别设出方程,再由直线/过点（1.2）求得直线方程•

【解析】选D.根据题意,直线/分2种情况讨论：

①当直线过原点时，又由直线经过点（1.2）,

所以所求直线方程为尸2%整理得2x-y=o,

②当直线不过原点时，

设直线/的方程为%z=1,

a2a

代入点（1.2）的坐标得±I+工9=1，解得”=2,

a2a

此时直线/的方程为Wl,

整理为2x+y-4=0.

故直线/的方程为2x-）=0或2x+y-4=0.

题9.过点（1.2）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为（）

A.1B.2C.3£）.4

【解析】选B.由题意知直线在两坐标轴上的截距互为相反数.当直线过原点时直线方程为

y=2x；

当直线不过原点时设直线方程为E+L1,

ab

又因为截距互为相反数,则b=-a,

1?

将点（1.2）代入有W1,

解得CF-1,此时直线方程为:x-y+l=O.

综上,满足过点（1,2）且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条.

题10（多册网）.下列说法正确的有（）

A.若直线），=履+》经过第一、二、四象限，则（k,b）在第二象限

B.直线依一丫一2%+3=0必过定点

C.过点（2,-1）,且斜率为一m的直线的点斜式方程为卜+1=一m（x-2）

D.斜率为-2,且在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±3

【解析】选A8C.对于A,由直线经过第一、二、四象限可得：M0,6>0,所以（k,b）在

第二象限，A正确；对于8,由"一y-2A+3=0得（x—2）%+（3—y）=0,则直线恒过定

点（2,3）,8正确；对于C,由点斜式方程知该直线方程为：y+l=一小（x—2）,C正

确；对于。，由斜截式方程知该直线方程为y=-2x+3,。错误.

题11（多选博）.过点A（4,1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（）

A.y=­x+5B.y=x+5

Y

【解析】选AC.当直线过坐标原点时，直线方程为y=［；当直线不过坐标原点时，设直线

XV

方程为一+-=1,代入点A（4,1）,可得。=5,即y=-x+5.

aa

题12.已知A（3,0）,2（0,4）,直线AS上一动点P（x,y）,则冲的最大值是.

【解析】直线AB的方程为三+1=1,设P（x,y）,则x=3-三y,所以

题13.如图，已知直线/过点尸⑵1),且与x轴,)，轴的正半轴分别交于A,B两点,0为坐标原

点，则三角形OAB面积的最小值为.

【思路导引】利用直线/过点P⑵1)得到直线在两个坐标轴上截距的关系，由均值不等式得

解.

【解析】设直线/为工+213>0,6>0),

ab

因为直线/过点P(2,D,则有Wo+1L1,

ab

三角形0A8的面积为Sdb.对£+工1,

2ab

利用均值不等式得£工婆,即岫》8.于是,三角形OAB的面积为S=Lb2

ab7aby/ab2

当且仅当a=4,b=2时等号成立.

答案：4

题14.已知4(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则孙的最大值是.

【解析】直线A8的方程为楙=1,设PG,y),则x=3—%,所以孙=3厂,(一

J4qTTT

y+4y)=~[―(y—2)?+4]W3.

即当P点坐标为他2)时，孙取得最大值3.

答案：3

题15.过点尸(1,2)且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为,

此直线与两坐标轴围成的三角形面积为________.

【解析】当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直

线方程短+三=1,因为直线过尸(1,2),所以！+J-=1,即“=一1,直线方程为y

aaaa

=x+l.当直线方程为y=x+l时，与X轴的交点坐标为

(―1,0),与〉轴的交点坐标为(0,1),所以三角形面积为:X1X1=1.

答案：>=x+l；

题16.过点M(2,1)作直线/,分别交x轴，y轴的正半轴于点A,B.

(1)当例为48中点时，求直线/的方程；

(2)设。是坐标原点，当△408的面积最小时，求直线/的方程.

【解析】⑴设A(a,0),3(0,b)U>0,b>0),则直线/的方程为*+1=1,因为M(2,

ab

1)为AB中点，所以］=2,|=1,

所以a=4,b=2,则直线/的方程为X+自V=1.

⑵设0),8(0,b)33b>0),则直线/的方程为3=1,又点M(2,1)在直线

ab

/上，

所以2+<=1.因为1=2+：22、三,所以而28,当且仅当2=!,即a=4,b=2

abababab

时，等号成立，所以S=g"24,所以直线/的方程为:+-=1.

【课堂跟踪拔高】

题17.若直线过点(、后,-3)和点(0,-4),则该直线的方程为()

A.产g-4B.产怎+4C.y=gx-6D.>=g+2

333

【解析】选A.方法一：因为直线过点(百,-3)和点(0,-4),

所以直线的方程为竺二2=卫土,整理得产国-4;

-3(4)b-0-3

方法二:因为直线过点(、后,-3)和点(0,-4),

所以直线的斜率为h更，

3

所以直线的方程为y+4=g,整理得厂里r-4.

33

题18.已知动点Q(107,0),其中0*10,则点M(6,1),N(4,5)与直线PQ的关系是

()

AMN均在直线PQ上

B.MN均不在直线PQ上

C.M不在直线PQ上,N可能在直线PQ上

D.M可能在直线PQ上,N不在直线PQ上

【解析】选C.因为动点P(f,f),Q(l(M,0),其中0<«10,所以直线PQ：k=±_,

x-t10-t-t

即:a+(10-20”y-10/=0,把〃(6,1)代入直线PQ,得:户6什10=/3)2+1N1,所以用一定不在

直线PQ上；

把N(4,5)代入PQ,得:产-16什50=0,所以N有可能在直线PQ上.

题19.经过点M(l,1)且在两轴上截距相等的直线方程是()

A.x+y=2B.x+y=l

C.x=l或y=lD.x+y=2或x=y

【解析】选D.当直线过原点时,斜率为1,由点斜式求得直线的方程是厂l=xT即产x;当直

线不过原点时,设直线的方程是工+21,把点“(1,1)代入方程得。=2,直线的方程是x+y=2.综

aa

上,所求直线的方程为产X或x+y=2.

题20.过4(孙》)和BL竺)两点的直线方程是()

y2-yix2-Xi

X-Xj

C.(y2-yi)(x-xi)-(x2-xi)(y-yi)=0

D.(x2-Xi)(x-xi)-(y2-yi)(y-yi)=0

【解析】选C.当时,过点A,B的直线的斜率抬立直线方程是厂)产丝22(厂汨)，整

"^2-^1

理得(^2-Vi)(x-xi)-(x2-xi)(y-yi)=0;当xi=x2时，过点A,B的直线方程是方为或x=x2f即尸汨=0

或x-x2=0,满足(y2-yi)(x-xi)-(x2-xD(y-^i)=0.

所以过A,B两点的直线方程是(竺-%)(X-%)-(即F)(广)1)二0.

题21(多选博).下列说法正确的是()

A.截距相等的直线都可以用方程空=1表示

aa

B.方程工+加y2=0("?£R)能表示平行于y轴的直线

C.经过点P(l,1),倾斜角为0的直线方程为y-l=tan火"1)

D.直线±'=-1在y轴上的截距为b.

ab

【解析】选BD.若直线过原点,横纵截距都为零,则不能用方程工+21表示,所以A不正确；

aa

当m=o时,平行于y轴的直线方程形式为广2,所以B正确；

若直线的倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在，不能用广l=tan火尸1)表示，所以C不正确；

原方程整理为二工1,所以在y轴上的截距为b,所以D正确.

-ab

题22.已知直线/的斜率为上且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线/的方程

6

为.

【解析】设直线/的方程为、工1,则占必1=3,且-幺2

ab2a6

解得(Q=6或(Q=-6所以直线/的方程为工+工1或工+2=1,即尸6)，+6=0或X-6厂6=0.

U=-1lb=1-616-1

答案:x-6y+6=0或x-6y-6=0

题23.过点P(3,-l)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有条，方程

为.

【解析】①当截距不为0,且截距相等时，

设直线的截距为a,则直线方程为:W=l,

将点P坐标代入直线方程解得g所以直线方程为器];

②当截距不为0,且截距互为相反数时,

设直线的横截距为”,则纵截距为则直线方程为:生匕1,

将点P坐标代入直线方程,解得:。=4,

所以直线方程为:孑「

③当截距为0时,设直线方程为:产区，代入点P,可得:

"直线方程为产。，故直线有3条.

答案：3户3/0：+以工1

2244

题24.设直线/的方程为(a+l)x+y+2—a=0(aGR).

(1)若/在两坐标轴上的截距相等，求/的方程；

(2)若/不经过第二象限，求实数”的取值范围.

【解析】(1)当。=-1时，直线/的方程为y+3=0,不符合题意；当。会一1时，直线/在

a—2