2020-2021学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.已知，为虚数单位，则等-=（）

A.iB.与1C.iD.-i

333

2.在直角三角形4BC中，ZC=90°,则向量标在向量正上的投影向量为（）

A-ACB-ABC.CAD.连

3.从一批羽毛球中任取1个羽毛球，如果其质量小于4.8g的概率是0.3,其质量不小于4.85g

的概率是0.32,那么其质量在［4.8,4.85）（单位：g）范围内的概率是（）

A.0.62B.0.68C.0.7D.0.38

4.近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市

名单中，徐州市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的

满意程度的指标，常用区间［0,10］内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现

随机抽取20位徐州市居民，他们的幸福感指数见如表，则这组数据的80百分位数是

（）

3345566677

778888991010

A.7.7B.8C.8.5D.9

5.在△ABC中，AC=1,BC=3,则△ABC的面积为()

3如R373c3^3口3、几

442v

6.将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为

2&兀，则该几何体的体积为（）

A力冗R2我兀2兀兀

c.D'T

333

7.已知cos(8■,则sin20=()

.24口121224

A-"25B-JD，25

2525

8.在三棱锥A-BCD中，平面平面3C。，BDA.CD,且CD=V3,

则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）

A.—兀B.15nC.三兀D.6冗

42

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的

身高都处在A,B,C,D,E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（）

女生身高情况直方图男生身高情况扇形图

频数/人A

ABCDE身高

A.女生人数多于男生人数

B.。层次男生人数多于女生人数

C.3层次男生人数为24人

D.A层次人数最少

io.设向量之，E满足由=%|=1,且则（）

A・a-LbB・

C・la+H=3D.；与石的夹角为60°

11.已知复数z满足（3+4力z=|3-4i|（其中i为虚数单位），则（）

4

A.z的虚部为

D

B.复数W在复平面内对应的点位于第一象限

C.z・z=l

D.当。e[0,2TT）时，|5z-coseDsinOI的最大值为6

12.在棱长为1的正方体ABC。-ASGA中，E,尸分别为2C,CG的中点，则（）

A.DD\±AF

B.直线”与平面ABC。所成的角的正弦值为

O

Q

C.平面AE厂截该正方体所得的截面面积为着

O

D.点C到平面AEF的距离为[■

O

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某工厂有A,B,C三个车间，A车间有1000人，3车间有400人.若用分层抽样的方

法得到一个样本容量为44的样本，其中B车间8人，则样本中C车间的人数为.

14.甲、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是高，4,则三

234

人都成功破译的概率是；密码被两人成功破译的概率

为.

15.如图，等边三角形SA2为该圆锥的轴截面，点C为母线*的中点，。为窟的中点，

则异面直线SA与CD所成角为.

16.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾

股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再

加上中间的一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3

个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设

AD=^AB+klAC-若丽=4AF＞贝1入-N的值为.

四、解答题、本题6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知Z，E为平面向量，且之=（-2,1）.

（1）若石〃之，且何=2代，求向量芯的坐标；

（2）若芯=（3,2）,且％与之+24垂直，求实数上的值.

18.已知tana=J,cos0=\上且0＜。＜三",.:

3522

⑴求tan2a的值;

(2)求a+0的值.

19.如图①，在正方体ABCO-AiSCQi中，E,F,G分别为AB,BC,的中点.

(1)求证：平面EFG_L平面BBiDiD；

(2)将该正方体截去八个与四面体2-EPG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，

若该多面体的体积是号，求该正方体的棱长.

O

20.2021年开始，江苏省推行全新的高考制度，采用“3+1+2”模式，其中语文、数学、外

语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结

合自己的兴趣爱好等因素，在物理、历史任选一门参加考试，满分100分，原始分计入

总分，在思想政治、地理、化学、生物学4门科目中自选2门参加考试(4选2),每科

满分100分，进行等级赋分计入总分.为了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选

科目进行检测，下面是100名学生的思想政治、地理、化学、生物学四科成绩总分，以

组距40分成8组：[80,120),L120,160),[160,200),[200,240),[240,280),

[280,320),[320,360),[360,400],画出频率分布直方图如图所示.

(1)求。的值；

(2)试估计这100名学生的思想政治、地理、化学、生物学四科成绩总分的中位数；

(3)为了进一步了解选科情况，在思想政治，地理、化学、生物学四科成绩总分在[240,

280)和[360,400]的两组中，用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机

抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.

频率

组距

Og5

0.O25

0.04

ZOI

80120160200240230320360400

21.(1)V3asinC=ccosA；(2)2asinB=(V6_V2)t>sinB-+C；(3)；(3)2cos2(A—4-兀^-)

_VW2

-1l-+r----------.

4

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.

在锐角三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.

(1)求角A;

(2)已知求的取值范围.

22.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCO是矩形，PA±PD,PA=PD,M,N分别为

棱AB,PO的中点，二面角尸-A£>-B的大小为60°,AB=3,8c=4.

(1)求证：直线MN〃平面PBC；

参考答案

一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分).

1.已知i为虚数单位，则毕二=()

A.+-^-iB.与jC.iD.-i

333

例l+2i(l+2i)(2+i)5i.

解:k=(2-i)(2+i)记=>

故选：c.

2.在直角三角形ABC中，ZC=9O°,则向量标在向量正上的投影向量为()

....

A.ACB.ABC.CAD.CB

解：如图：在直角三角形ABC中，ZC=90°,则向量标在向量正上的投影向量为正.

故选：A.

3.从一批羽毛球中任取1个羽毛球，如果其质量小于4.8g的概率是0.3,其质量不小于4.85g

的概率是0.32,那么其质量在［4.8,4.85)(单位：g)范围内的概率是()

A.0.62B.0.68C.0.7D.0.38

解：从一批羽毛球中任取1个羽毛球，

如果其质量小于4.8g的概率是0.3,其质量不小于4.85g的概率是0.32,

那么其质量在［4.8,4.85)(单位：g)范围内的概率是：

尸=1-0.3-0.32=0.38.

故选：D.

4.近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市

名单中，徐州市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的

满意程度的指标，常用区间［0,1。］内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现

随机抽取20位徐州市居民，他们的幸福感指数见如表，则这组数据的80百分位数是

3345566677

778888991010

A.7.7B.8C.8.5D.9

解：720X0.8=16,

•••这组数据的80百分位数是卓=8.5.

故选：C.

5.在△ABC中，AC=1,AB=V7-BC=3,则△ABC的面积为（)

R3愿「3愿

A.孥D.--------------D.3a

42

222l+32-(V7)21

解：在△ABC中，运用余弦定理可得，COSC=..AC~+BC-AB

2AC-BC2X1X3~方

:c为三角形的内角,

兀

.•.c=y

*,•521耽qAOBOsin/C=；XIX3X

乙乙24

故选：B.

6.将某一等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，若形成的几何体的表面积为

2企兀，则该几何体的体积为（）

A//R2中「空兀

D.---------------------

,333D-T

解：设等腰三角形的直角边长为。，等腰直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，形成

的几何体的表面积为2、历兀，几何体可知是两个圆锥的组合体，圆锥的底面半径为

高为。，底面周长为2am母线长为&软,

可得2x/-X2兀aX兀，解得〃=1,

所以几何体的体积为：2X^-X12XTTX12兀

T

故选：C.

7.已知CQS(8则sin26=()

24R1224

A.-B--25C—D

252525

JU、

解:由CQS(9-则sin26==cos(20--^―)=2cos^(9

10

,_24

=2X

故选：D.

8.在三棱锥A-BCD中，平面AB。_L平面BCD,BD±CD,且AB=8D=D4=3,CD=«,

则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）

1R2

A.乎兀B.15TtC.』兀D.6n

42

解：如图，

取等边三角形A3。的中心G,过G作平面ABD的垂线段GO,且6。=占第=乂3,

22

则O为三棱锥A-BCD的外接球的球心，

在等边三角形A3。中，由AB=3,WAG=1^32-（-|-）2=V3>

连接。A,贝UOA2=AG2+OG24+3¥，

44

915

...三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S=4兀R=4兀x今=15兀.

4

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的

身高都处在A,B,C,D,E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（)

A.女生人数多于男生人数

B.£>层次男生人数多于女生人数

C.2层次男生人数为24人

D.A层次人数最少

解：由条形图知，抽取女生学生有18+48+30+18+6=120（人），

所以抽取男生有200-120=80（人），女生人数多于男生人数，选项A正确；

。层次的男生有80义15%=12（人）,女生有18人，男生人数少于女生，选项8错误；

B层次的男生有80X（1-10%-15%-20%-25%）=24（人），选项C正确；

A层次有80X10%+18=26（人），E层次有80X15%+6=18（人），E层次的人数最少，

选项D错误.

故选：AC.

10.设向量；，工满足图=1%=1，且后+3之1=\^§，贝。（）

=1

A.a±bB.Ia-bl

C.Ia+bl=3D.Z与4的夹角为60。

解：因为%+3Zl=VT§,KPIbl2+9lal2+6|"allblcos<a>E>=l+9+6cos<W，b>=10+6cos

<a，b>=13，

所以cos<Z，即有Z，E夹角为60°,故D正确，A错误，

又因为R-就=1费+百-2|Z|R|cos<Z，1>=1+1-2义/=1,所以故8

正确；

域+百=1彳+1百+2日匠lcos<Z,E>=l+l+2X』-=3，所以工-力=遮,故C错误；

故选：BD.

11.已知复数z满足（3+4力z=|3-4i|（其中，为虚数单位），则（）

4

A.Z的虚部为

B.复数W在复平面内对应的点位于第一象限

C.z・z=l

D.当。e[0,2n)时，|5z-cos0-isinOI的最大值为6

=也2+(_4)2(3一九)5(3-4i)34.

解：由已知可得z=-------=----1

3+4i(3+4i)(3-4i)-2555

4.

选项人z的虚部为-去故A错误，

b

选项8：z=^~十鲁i，所以之对应的点(暂，■")在第一象限，故8正确，

5555

选项C：z*z=44i)44i)=磊糕=1，故c正确，

24

选项。：因为|5z-cos。-isin8|=|5(———i)-cos0-zsin0|=|(3-cos0)-(4+sin0)

55

22

V(3-coSe)+(4+sine)=V26+10sin(e-CC)(tand?0G[0,2n))，

所以当sin(0-a)=1时，|5z-cos®-(in]的最大值为426+10=6,故。正确，

故选：BCD.

12.在棱长为1的正方体ABCD-A/CQi中，E,尸分别为3C,CG的中点，贝U()

A.DDxLAF

B.直线AF与平面ABC。所成的角的正弦值为

O

9

C.平面AE/截该正方体所得的截面面积为卷

O

D.点C到平面AE尸的距离为[■

O

解：对于4,因为直线AF与直线CG不垂直，且。ZZ〃CCi,所以直线。。1与直线4F

不垂直，故A错误;

对于8,因为尸C_L平面ABCD,则NE4C为所求线面角的平面角，FC=-^-,AC=®

3

CC±AC,

FC1

sin/E4C=£m=《，故B正确；

AF3

对于C,截面为AEFQi,AE=FDi=^~,AD〔=2EF=圾,高为，除2-哈2=

372

4

S=/x(%+*■)*邛2=/，故C正确；

对于。，设C到平面AEF的距离为h,

VC-AEF—VA-CEF?

则&AEF・〃=&CEF.A3,AE=^,EF=^,AF=^~,

222

利用余弦定理可得COSNEAF=AE丁&F-二EF二=5亩/胡尸=返,

2AE-AF55

13

S^AEF=—9EA9FA9sinZEAF=—,

28

则〃=]■,故。正确.

o

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某工厂有A,B,C三个车间，A车间有1000人，2车间有400人.若用分层抽样的方

法得到一个样本容量为44的样本，其中8车间8人，则样本中C车间的人数为16.

解：根据分层抽样原理知，42车间抽样比例为1000：400=5：2,

所以在样本容量为44的样本中，B车间8人，A车间有8X>|=20（人），

所以样本中C车间有44-8-20=16（人）.

故答案为：16.

14.甲、乙、丙三人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是上，高，则三

234

人都成功破译的概率是上；密码被两人成功破译的概率为4.

一24一—4一

解：•.•甲、乙、丙三人能破译的概率分别是

三人都成功破译的概率为：Pi=1x《W=」7，

23424

密码被两人成功破译的概率为:

P2=~X-^-X（l-二）+-X-^-X（1-+（1-X-^-X-Y-=-y,

2342432344

故答案为："—r,-/•

244

15.如图，等边三角形SAB为该圆锥的轴截面，点C为母线SB的中点，。为■^的中点,

则异面直线SA与CO所成角为—十一

解：取AB的中点O,连接OC,OD,

,：C为母线SB的中点，OC〃AS,

/.ZOCD为异面直线SA和CD所成的角，

设底面圆。的半径为r,

•.•圆锥的轴截面SAB是等边三角形，

.•.设SA=SB=AB=2,：.OC=^-SA=1,OD=^AB=1,

由轴截面的性质知，平面SAB_L平面A3。，

为底面弧窟的中点，.,.OOLA2,

又平面SABn平面ABC=AB,平面SAB,

又OCu平面SAB,；.OC±OD,

nr冗

在RtzXOCZ）中，tan/OOC=/=l,ZODC=—.

D

16.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾

股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再

加上中间的一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3

个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设

而=入屈+|1而若而=4而，则入-U的值为一告一.

解：因为标=4而，不妨设。P=3AF=3,因此BD=AP=1,AZ)=4

又由题意可得NADB=120°,

所以ABZMAOZ+B。？_2AD-BD-COSZADB=42+12-2X4XlcosZ120°=21,

因止匕AB="历工，

延长AD交BC于M,

记ZAMB=a,

222222

mi.pnQfl-AD+AB-BD-16a+21a-a_9V21_3V21

2AD^AB—2X4aX亚a421T

所以sin0=--,

14

又由题意易知则a=120°-0,

BM_DM_BD

在三角形DBM中,由正弦定理可得:

sin/MDB—sin/DBM-sin/DMB

BM_DM_1

sin60°sin6sin(120°-9)

返

因此BM=sin(120--9)=V3―/1.

0飞一一可-BC,

-^-cosf-^-sinf

_____sin8______]

sin8

DM■^-cos0+^-sin05'

sin(120°-0)

所以AD—二1

»1...1..

因为BM即AM-AB=E（AC-AB），

DD

整理得AM-^AB+y-AC,

所以屈=,正二翁（4-AB+^-AC）=招屈■喙■而

NJ.NJ.33Z1

又因为AD=AB+HAC>

由平面向量的基本定理可得人=居，R~,

所以人一四=1针9=年4，

故答案为：事

四、解答题、本题6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知彳，E为平面向量，且之=（-2,1）.

（1）若芯〃彳，且忘=2代，求向量E的坐标；

（2）若三=（3,2）,且与2+2芯垂直，求实数上的值.

解:（1）由E4之可设％=（-2入，入），

••Ib|T(-27)2+入2=2>y5,

解得入=±2,

b=(-4,2)，或(4,-2)；

⑵••,a=(-2,1),b=(3,2)，

ka-b=(-2k-3,k-2),a+2b=(4,5),

,**ka-b与a+2b垂直，

(ka-b)•(a+2b)即4(-2k-3)+5(k-2)=0,解得k=-).

o

，，

18.已知tana=1,cos0=g^■且0<(1<与~,-~I/-<P<2TI.

3522

(1)求tan2a的值；

(2)求a+B的值.

解：(1)Vtana=—,

o

2X

•••tan2a=2tan：T_3

1-tana1-(i)2-4

，八../53TT

(2).coso0=-----,——<p<2n,

52

；•sin8=_Vl_coP=_2庭

5

2炳

..Rsin6_5

••tanP=--Q-=~7=-=-2>

cospN5

V

-2

•,fnR\tan0.+tanB

飞心+》小山力都二I

1X(-2)

3

V0<a<—兀,-3兀

...等<a+B<等，

a+p=-^--

19.如图①，在正方体ABCD-AiBiCiOi中，E,F,G分别为AB,BC,33的中点.

(1)求证：平面EPG_L平面

(2)将该正方体截去八个与四面体B-EFG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，

若该多面体的体积是挈，求该正方体的棱长.

O

【解答】(1)证明：在正方体ABCD-AiBGDi中，8Bi_L平面ABCD,

又：EFu平面ABC。，：.BBilEF,

连接AC,在△ABC中，E,尸分别是AB,BC的中点，.,.EF//AC,

在正方形4BCD中，-：AC1BD,J.EF1BD,

又；BBgBD=B,BOu平面BBu平面BBQiZ),

；.EF_L平面BBQiD,

而EFu平面EFG,：.平面EFG_L平面BBDD；

(2)解：设正方体的棱长为a,由(1)知，四面体B-EFG的体积为：

1I13

fsABEF・BG芍芍%。.=会,

3

所得多面体的体积为a3-8X==必，解得a=4.

483

即该正方体的棱长为4.

20.2021年开始，江苏省推行全新的高考制度，采用“3+1+2”模式，其中语文、数学、外

语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结

合自己的兴趣爱好等因素，在物理、历史任选一门参加考试，满分100分，原始分计入

总分，在思想政治、地理、化学、生物学4门科目中自选2门参加考试(4选2),每科

满分100分，进行等级赋分计入总分.为了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选

科目进行检测，下面是100名学生的思想政治、地理、化学、生物学四科成绩总分，以

组距40分成8组：[80,120),L120,160),[160,200),[200,240),[240,280),

[280,320),[320,360),[360,400],画出频率分布直方图如图所示.

(1)求a的值；

(2)试估计这100名学生的思想政治、地理、化学、生物学四科成绩总分的中位数；

(3)为了进一步了解选科情况，在思想政治，地理、化学、生物学四科成绩总分在[240,

280)和［360,400］的两组中，用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机

抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.

=1,解得a=0.005；

(2)因为(0.0005+0.0015+0.00325+0.00425)X40=0.38<0.5,

(0.0005+0.0015+0.00325+0.00425+0.005)X40=0.58>0.5,

所以中位数在［240,280),

设中位数为X,

则(x-240)X0.005=0.12,解得x=264,

这100名学生的思想政治、地理、化学、生物学四科成绩总分的中位数为264分；

(3)思想政治、地理、化学、生物学四科成绩总分在［240,280)和［360,400)两组中

的人数分别为：

0.005X40X100=20人，0.001X40X100=4人，

由分层抽样可知，从成绩在［240,280)的组中应该抽取需on丁X6=5人，成绩在［360,

20+4

400)的组中应该抽取1人，

cjc；51

所以抽取的这2名学生来自不同组的概率

lb3

21.(l)V3asinC=ccosA；(2)2asinB=(V6~V2)bsin^^-s(3)；(3)2cos2

一、娓-近

-l-r---------.

4

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.

在锐角三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.

(1)求角A;

(2)已知〃,求乒+(?的取值范围.

解：若选择(1),因为建asinOccosA,

由正弦定理可得J^sinAsinC=sinCcosA,

因为。为锐角，sinCWO

所以«sinA=cosA,

又A为锐角，cosAWO,

所以tanA=乂旦，可得A=3；

若选择⑵，因为2asinB=G/^~V^)bsin'12；⑶，

由正弦定理可得2sinAsinB=(遍-料)sinBsin^^-,

因为sinBv^O,所以2sinA=(，-&)sin^^=(正-亚)cos-1-,即4si*cos/=

(V6-V2)COSy,

因为A为锐角，cos^WO,即si吟=返/^,cos~1~=J]_sin2AsinA=

.AAV6-V2V6W21

20sin-cos—=2oXv------Xv-------=—,

22442

JT

因为A为锐角，可得A=k.

6

若选择⑶，因为2cos2(4■吝)=1+逅返，即cos(A+：)=返返，

28444

T7兀、4兀一.兀V2Z4.八一曰4.4V3-1

乂COS(AH---)=cosAcos----sinAsin---=——(cosA-sinA),nJ得cosA-smA=------,

44422

因为si/A+cos2A=i,A为锐角，所以sinA=',

jr

因为A为锐角，可得4=丁.

6

兀b_c__a

(2)由(1)可