2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 18.1 勾股定理同步分层训练培优题

2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册18.1勾股定理同步分层训练培优题一、选择题1．已知如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC=（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x-6)(x-10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24或25 B．24 C．25 D．85或243．如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点A．(−1，0) B．(2−5，0) C．4．如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于12A．78 B．1 C．325．将一副直角三角板和一把宽度为2的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上.这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（）A．2−3 B．23−2 C．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点B为圆心，BD长为半径画弧，交线段BC于点E．若BD=CE，则AC的长为（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm7．如图，在RtΔABC中，AC=BC，点D为AB中点，∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点，下列结论：①AE+BF=22AB；②AE2+BFA．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.若已知A．18 B．24 C．25 D．36二、填空题9．如图，一架15m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙OA上，这时梯子的顶端A离地面距离OA为12m，如果梯子顶端A沿墙下滑3m至C点，那么梯子底端B向外移至D点，则BD的长为m.10．如图，在△ACD中，∠ACD=90°，∠A=30°，①△BCD是等边三角形，②a+c<b，③a=c，④b=2a11．如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则BM的长为．12．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=10，点D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），将△ABD沿AD翻折，点B的对应点为点E，AE交BC于点F，若DE∥AC，则点C到线段AD的距离为．13．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC与点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG=1，BC=6，则AF=．三、解答题14．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为△ABC内部一点，AD=AC，连接DC，将DC绕点D逆时针旋转90°得到DE，连接CE交AD于点F，连接AE，BD．（1）求证：△ADE≌△BCD；（2）如图2，当点E落在AB上时，求∠DBE的度数；（3）如图3，若F为AD的中点，BD=2，求AD的长．15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-43（1）求AB的长.（2）求点C和点D的坐标.（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=12S△OCD四、综合题16．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，且A(−1，（1）求k的值；（2）若将一次函数y=kx+2的图象绕点B顺时针旋转90°，所得的直线与x轴交于点C，且S△ABC=5，求点（3）在（2）的条件下，若P是x轴上任意一点，当△PBC是以BC为腰的等腰三角形时，请求出点P的坐标.17．如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−4（1）求AB的长（2）求点C和点D的坐标（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB

答案解析部分1．答案:A解析：∵矩形ABCD，BC=10m，

∴AD=BC=10m，

∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，

∴AF=AD=BC=10m，DE=EF，

在Rt△ABF中，BF=AF2−AB2=102−82=6，

∴CF=BC-BF=10-6=4cm，

设EC=x，则DE=EF=6-x，

在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，

∴42+x2=（6-x）2，

解得：x=3，

2．答案:D解析：解：∵(x-6)(x-10)=0，

∴x-6=0或x-10=0

解之：x1=6，x2=10，

当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，

∴此三角形是等腰三角形，

底边上的高为62−42=25，

∴此时三角形的面积为12×8×25=85；

x=10时，

∵62+82=102，

故答案为：D.

分析：先求出方程的解。再分情况讨论：当x=6时，三角形的两边长分别是8和6，利用勾股定理求出底边上的高，再利用三角形的面积公式求出此时的三角形的面积；x=10时，利用勾股定理的逆定理可证得三角形是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可求出此时的三角形的面积.3．答案:D解析：解：如图，A(3，0)、B(0，2)

∴OA=3，OB=2

在直角△AOB中，由勾股定理得

AB=32+22=13

∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半x轴于点C

∴AC=AB

∴OC=AC-OA=13-3

又∵点C在x轴的负半轴上

∴C（13-3，0）4．答案:C解析：解：根据题意可得：AD平分∠BAC；

过D作DH⊥AB于H，如图：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=AC2+BC2=32+42=5；

∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，

∴DH=DC；

在Rt△ACD与Rt△AHD中，

CD=DHAD=AD

∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），

∴AH=AC=3，

∴BH=AB-AH=5-3=2，

∵BH2+DH2=BD2，

分析：根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得AB=5，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DH=DC，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等得Rt△ACD≌Rt△AHD，由全等三角形的对应边相等可得AH=AC=3，求得BH=2，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可得到结论.5．答案:B解析：解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，

∴∠CAD＝45°＝∠ACD，∴AD＝CD＝2cm，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴BC＝2CD＝4cm，∴BD=BC2∴AB＝BD﹣AD＝（23−故答案为：B．

分析：先由等腰直角三角形的性质求出AD＝CD＝2cm，然后利用30°角的直角三角形的性质求出BC的长，再根据勾股定理求出BD的长，最后由AB＝BD﹣AD即可解答．6．答案:A解析：根据题意可得：AD=AC，BD=BE=CE，

∵BC=BE+CE=2BE=16，

∴BE=BD=CE=8，

设AC=AD=x，则AB=x+8，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

∴x2+162=（x+8）2，

解得：x=12，

∴AC的长为12cm，

故答案为：A.

分析：先求出BE=BD=CE=8，设AC=AD=x，则AB=x+8，利用勾股定理可得x2+162=（x+8）2，再求出x的值即可.7．答案:D解析：解：连接CD，在RtΔABC中，AC=BC，点D为AB中点，

∴AC=BC=22AB，CD=BD，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，∵∠GDH=∠CDE+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°，

∴∠CDE=∠FDB，

∴△CDE≌△BDF（ASA），

∴CE=BF，DE=DF，S△CDE≌S△BDF，

同理可证△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，

∴AE+BF=AE+CE=AC=22AB，△DEF为等腰直角三角形，

S四边形CEDF=S△CED+S△CDF=S△BDF+S△CDF=S△BDC=12SΔABC，

故①③④分析：连接CD，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=22AB，CD=BD，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，用ASA证明△CDE≌△BDF，得CE=BF，DE=DF，S△CDE≌S△BDF8．答案:A解析：解：过点F作FD⊥AM，连接FP，如图，

∵AF=BA，FD=AC，∠TAC=∠KFD，

∴Rt△ADF≌Rt△BCA（HL），Rt△TAC≌Rt△KFD（HL），

∴S2=S△ABC，

∵Rt△TAC≌Rt△KFD，

∴AT=FK，

∴AF-AT=FE-FK，

∴FT=EK，

∴△FPT≌△EMK（AAS），

∴S1+S3=S△ABC，

∵AB=EB，∠ABC=∠EBN，

∴△ABC≌△EBN（AAS），

∴S4=S△ABC，

∴S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3×12×AC×BC=3×12×12=18.

故答案为：A.

分析：过点F作FD⊥AM，连接FP，通过证明Rt△ADF≌Rt△BCA，Rt△TAC≌Rt△KFD，△FPT≌△EMK，△ABC≌△EBN可得S1+S2+S3+S4=3S△ABC9．答案:3解析：解：在Rt△ABO中，∵AB＝15m，AO＝12m，∴OB＝AB2同理，在Rt△COD中，DO＝CD∴BD＝OD﹣OB＝12﹣9＝3(m).故答案是：3.分析：先根据勾股定理求出OB的长，再在Rt△COD中求出OD的长，进而可得出结论.10．答案:①③解析：解：∵∠ACD=90°，∠A=30°，∴∠D=90°−∠A=90°−30°=60°，由尺规作图得CB=CD=a，∴△BCD是等边三角形，故①正确；在△ABC中，AC=b，AB=c，CB=a，∴a+c>b，故②错误；∵△BCD是等边三角形，∴BD=CD=a，∵∠ACD=90°，∠A=30°，∴AD=2CD，∴c+a=2a，∴a=c，故③正确；∵∠ACD=90°，∠A=30°，AD=2a，AC=b，CD=a，∴b=AD2∴说法正确的是①③．故答案为：①③．分析：根据尺规作图可得CB=CD=a，由三角形的内角和定理得∠D=60°，根据等边三角形的判定可判断①；在△ABC中利用三边关系定理可判断②；根据等边三角形的性质和30°的直角三角形的性质可判断③；根据勾股定理可判断④.11．答案:2解析：解：根据题意知：OB=4，BC=BA=2，

∴OC=OB2+BC2=42+22=25，

∵OM=OC=25，

∴BM=OM-OB=12．答案:33解析：解：过点A作AM⊥BC于点M，∵AB=AC=6，BC=10，∴∠C=∠B，CM=由勾股定理得：AM==∵DE∥AC，∴∠CAF=∠E，∠C=∠EDF，由折叠的性质得：∠E=∠B，AE=AB=6，ED=BD，∠EAD=∠BAD∴∠CDA=∠BAD+∠B=∠EAD+∠E=∠CAE+∠E=∠CAD∴CD=AC=6∴DM=CD−CM=1由勾股定理得：AD=设点C到AD的距离为ℎ，则S△ACD=解得：ℎ=33故答案为33．分析：过点A作AM⊥BC于点M，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠C=∠B，∠C=∠EDF，由折叠的性质得：∠E=∠B，ED=BD，得出∠CDA=∠BAD+∠B=∠EAD+∠E=∠CAE+∠E=∠CAD，证出CD=AC=6，得出DM=1，又由勾股定理得AM=6213．答案:4解析：解：如图，连接BG，∵AB=AC，AD⊥BC，由等腰三角形的性质可得：∠BAD=∠CAD，∵EF⊥AB，∴∠AGF+∠BAD=90°，∴∠AGF=∠B=∠C，∵∠AGF=∠EGD，∴∠C=∠EGD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，在△DEG和△DEC中，∵∠C=∠EGD，∠ADE=∠CDE，DE=DE，∴△DEG≌△DEC(AAS)，∴DG=CD=3，∵AG=1，∴AD=AG+DG=4，

在△ABD中，由勾股定理得：AB=AS△ABG即12解得：FG=3在△AFG中，由勾股定理得：AF=A故答案为：4分析：连接BG，由等腰三角形的性质可得：∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，BD=CD=12BC=3，结合EF⊥AB，证明△DEG≌△DEC，可得DG=CD=3，从而得到AD=4，再由勾股定理求出AB=5，然后根据三角形等面积S14．答案:（1）证明：∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC∵∠ACB=∠CDE=90°，∴∠ADE=∠BCD，∵AC=BC，∴AD=BC，∵DE=DC，∴△ADE≌△BCD（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，连接DH，过点D作DP⊥DH，交CH于点P则∠DCP=∠DEH，∠CDP=∠EDH，∵DC=DE，∴△DCP≌△DEH，∴DP=DH，∴∠DHC=45°=∠DHB∵AC=BC，∴CH=BH∵DH=DH，∴△DCH≌△DBH∴CD=BD，∴BD=DE∵△ADE≌△BCD，∴AE=BD，∴AE=DE∵∠ACD=∠ADC，∴∠CAD=180°−2∠CAD∵∠BCD=90°−∠ACD，∴∠CAD=2∠BCD设∠BCD=α，则∠CAD=2α，∠DAE=∠CBD=∠BCD=α∵∠CAB=45°，∴2α+α=45°，∴α=15°∴∠DBE=30°（3）解：过点A作AG∥DE，交CE于点G则∠FAG=∠FDE，∠FGA=∠FED=45°∵AF=DF，∴△AFG≌△DFE∴AG=DE，EF=FG∵CD=DE，∴AG=CD∵∠ACD=∠ADC，∴∠CAD=180°−2∠CAD∵∠BCD=90°−∠ACD，∴∠CAD=2∠BCD∵∠BCD=∠ADE=∠FAG，∴∠CAD=2∠FAG∴∠CAG=∠FAG=∠BCD∵AC=BC，∴△CAG≌△BCD，∴CG=BD，∠ACG=∠CBD∵△ADE≌△BCD，∴AE=BD=2∴∠EAG=∠FAG+∠DAE=∠CAG+∠ACG=45°∴∠EAG=∠EGA，∠AEG=90°，∴EG=AE=2，∴EF=1∴AF=22+12=5解析：（1）根据SAS即可证明△ADE≌△BCD；

（2）过点C作CH⊥AB于点H，连接DH，过点D作DP⊥DH，交CH于点P，可证明△DCP≌△DEH，△DCH≌△DBH，再结合（1）中△ADE≌△BCD，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠CAD=2∠BCD，设∠BCD=α，列方程求解即可得出答案；

（3）：过点A作AG∥DE，交CE于点G，根据三角形全等的判定得出△AFG≌△DFE，△CAG≌△BCD，再由（1）中△ADE≌△BCD，利用全等性质，结合等腰直角三角形判定与性质及勾股定理即可得出答案。15．答案:（1）解：令x=0，得y=4，∴B(0，4)，∴OB=4.令y=0，得0=-43x+4，解得x=3，∴A(3，0)，∴在Rt△OAB中，AB=OA（2）解：由折叠，得AC=AB=5，∴OC=OA+AC=3+5=8，∴C(8，0).设OD=m，则CD=DB=m+4.在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即(m+4)2=m2+82，解得m=6.∵点D在y轴的负半轴上，∴D(0，-6).（3）解：y轴上存在一点P，使得S△PAB=12S△OCD∵S△OCD=12OD·OC=12×6×8=24，∴S△PAB=12∵点P在y轴上，∴S△PAB=12即12∴点P的坐标为(0，12)或(0，-4).解析：（1）由一次函数解析式求得A、B的坐标，再利用勾股定理即可求出AB；

（2）由折叠，得AC=AB=5，从而得C的坐标，设OD=m，则CD=DB=m+4，在Rt△OCD中，利用勾股定理得方程，解方程即可求解；

（3）根据面积公式求得S△OCD=24，从而得S△PAB=12，根据面积公式求得PB长，从而可得解.16．答案:（1）解：把A(−1，0)代入得0=k×(−1)+2，解得k=2.（2）