2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册 18.1 勾股定理同步分层训练基础题

2023-2024学年沪科版初中数学八年级下册18.1勾股定理同步分层训练基础题一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2A．13 B．5 C．5 D．132．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．13 B．5 C．2.2 D．3−3．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）A．3米 B．4米 C．5米 D．7米4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，CB于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠ACB内交于点G；③作射线CG．若AC=4，D为AC边的中点，E为射线CG上一动点，则A．3 B．25 C．235．如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是（）A．2510 B．2 C．226．如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为()A．10−1 B．5−1 C．2 7．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为52A．55 B．255 C．48．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AB=10，A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．2002年在北京石开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若AB=10，AF=8，则小正方形EFGH的面积为．10．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=3．点D为△ABC外一点，满足∠BAD=15°，∠ABD=30°，则△ABD的面积是．12．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点A在边DE的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结CE，则CE的长为．13．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠DAE=∠CAB=90∘，点C在边DE上，BC与AE交于点F，若CE=1，DC=3，记△ABF的面积为S1，△CEF的面积为三、解答题14．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．（1）如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．方法1：S大正方形=；方法2：S大正方形=（2）如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，若a=3，b=4，求斜边c的值．15．已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA=DB=DC．（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断ΔABC的形状，并说明理由．（2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC=BC，AB=16，DC=10，求CE和AC的长．四、综合题16．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°．（1）在斜边AC上求作线段AO，使AO=BC，连接OB；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）若OB=2，求AB的长．17．如图，四边形CEDF，∠CED=∠EDF=∠DFC=∠FCE=90°，CE=DE=DF=CF，A是边DE上一点，过点C作BC⊥AC交DF延长线于点B．（1）求证：BD=AE+CE；（2）设△ACE三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．

答案解析部分1．答案:D解析：由题意：解方程x2−5x+6=0得x=2或x=3，

∴该直角三角形的两条直角边长分别为2，3，

∴该直角三角形的斜边为22+2．答案:B解析：解：连接AD，则AD=AB=3，Rt△ADC中，由勾股定理可得，CD=A故答案为：B．分析：连接AD，Rt△ADC中，由勾股定理即可得出CD的长．3．答案:D解析：解：由题意可得：楼梯的水平宽度为：52−32=4（米），

∴地毯至少需要3+4=7（米），

4．答案:B解析：解：由作法得CG平分∠ACB，在CB上截取CD'=CD，连接AD'交CG于点E，

∵CE平分∠DCD'，

∴CE垂直平分DD'，

∴ED'=ED，

∴AE+DE=AE+D'E=AD'，

∴此时AE+DE的值最小，最小值为AD'的长，

∵AC=4，D为AC边的中点，

∴CD'=CD=2，

在Rt△ACD'中，AD'=22+42=25，

∴AE+DE的最小值为25．答案:A解析：解：设△ABC中BC边上的高为h，由勾股定理，得BC=1∵S△ABC=2×3−1即10ℎ解得：ℎ=故△ABC中BC边上的高是25故答案为：A．分析：根据勾股定理求出BC=10，根据题意得出△ABC6．答案:A解析：解：∵四边形ABCD是长方形，

∴∠B=90°，BC=AD=1，

∴AC=AB2+BC2=32+12=10，

∵以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，

∴AM=AC=10，

∵点A所表示的数为-1，故答案为：A.分析：由矩形的性质得∠B=90°，BC=AD=1，进而由勾股定理算出AC=10，由同圆的半径相等得AM=AC=10，然后找出点M到原点的距离，并结合点M在原点的右边即可得出点M所表示的数.7．答案:B解析：解：∵DG＝GE，

∴S△ADG=S△AEG=52，即S△ADE=5，

由翻折得：△ABD≌△AED，AD垂直平分BE，

∴S△ABD=S△ADE=5，

∴12AD·BF=12（AF+DF）·2=5，解得DF=1，

∴DB=BF2+DF2=12+22=5，

设点F到BC的距离为h，

故答案为：B.分析：先求出△ABD的面积，利用三角形的面积公式求出DF，再利用勾股定理求出DB，设点F到BC的距离为h，再利用S△BDF=12·BF·DF=18．答案:A解析：解：∵∠C=90°，AB=10，AC=6，

∴BC=AB2−AC2=102−62=8，

∵BD=5，

∴CD=BC-BD=3，

9．答案:4解析：解：在Rt△ABF，∠AFB=90°，AB=10，AF=8，由勾股定理得：BF=1∴小正方形面积=S故答案为：4．分析：利用勾股定理求得BF=6，再利用小正方形面积=S10．答案:100解析：解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝12∠ACB，∠ACF＝12∠ACD，即∠ECF＝又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100分析：根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2．11．答案:9解析：解：延长BD，过点A过AE⊥BE的延长线于点E，如图，

∵∠BAD=15°，∠ABD=30°，

∴∠ADE=∠BAD+∠ABD=45°，

∵AE⊥BE，

∴∠E=90°，

∴AE=DE，

∵∠C=90°，∠ABC=30°，AC=3，

∴AB=2AC=6，

∵∠ABD=30°，

∴AE=12AB=3，

∴DE=AE=3，

由勾股定理得，BE=33，

∴S△ABD=S△ABE-S△ADE=12×3×33−12×3×3=93−92.

12．答案:17解析：解：延长ED到F，使得DE=DF，连接CF，BF，∠BDE=90°，由等腰三角形的性质可得BE=BF，

∵BD=DE=2，

∴∠BEA=∠BFA=45°∵∠EBA+∠ABF=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠EBA=∠FBC，∵BE=BF，BA=BC，∴△EBA≅△FBC(SAS)，∴∠BEA=∠BFC=45°，AE=CF，∴∠CFE=∠BFC+∠AFB=90°，∵点A为DE的中点，∴AE=1，∴CF=1，

DE=2，∴EF=4，

在△CEF中，由勾股定理得：EC=E故答案为：17．分析：延长ED到F，使得DE=DF，连接CF，BF，∠BDE=90°，由等腰三角形的性质可得BE=BF，∠BEA=∠BFA=45°，由“SAS”可证△EBA≅△FBC，可得∠BEA=∠BFC=45°，AE=CF，在△CEF中，利用勾股定理即可求解．13．答案:3解析：解：如图，过A作AH⊥DE于点H.∵CE=1，DC=3，

∴DE=CE+DC=4.

∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥BE，

∴DH=AH=EH=2.

∴S△CEA=12×CE×AH=12×1×2=1.

在Rt△AHC中，AC=AH2+HC2=22+1=5

分析：过A作AH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到DH=EH=AH=2，AC=AB.在Rt△AHC中可以求出AC的长.观察发现S114．答案:（1）(a+b)2；a2（2）解：方法1：S小正方形方法2：S小正方形∴c2∴a2（3）解：把a=3，b=4代入a2c2∴c=25解析：解：（1）用方法一得到大正方形面积为：a+b2，

用方法二得到大正方形面积为：a2+2ab+b2，

得到的等式为：(a+b)2=a2+2ab+b2，15．答案:（1）解：ΔABC是直角三角形，理由：∵DA=DB=DC，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACB=90°，∴ΔABC是直角三角形；（2）解：∵DA=DB，∴点D在线段AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴点C在线段AB的垂直平分线上，∴CD垂直平分AB，∴∠AEC=∠AED=90°，∵AB=16，DC=10，∴AE=8，AD=CD=10，∴DE=A∴CE=CD−DE=4，∴AC=A解析：（1）利用等边对等角可证得∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，利用三角形的内角和定理可证得结论.

（2）利用线段垂直平分线的判定定理去证明CD垂直平分AB，可证得∠AEC=∠AED=90°，利用勾股定理求出DE，AC的长.16．答案:（1）解：所作线段AO如图所示：（2）解：∵∠A=30°，∠ABC=90°，∴AC=2BC，∵AO=BC，∴AC=2AO，∴OC=AO，即点O为AC的中点，∵OB=2，∴AC=2OB=4，∴BC=2，∴AB=解析：（1）以点A为圆心，BC为半径画弧，交AC于点O，连接BO即可.

（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得AC=2BC，利用作图可证得点O是AC的中点，可求出AC的长，然后利用勾股定理求出AB的长.17．答案:（1）证明：如图所示：∵∠CED=∠EDF=∠DFC=∠FCE=90°，BC⊥AC，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，∠CFB=90°，∴∠1=∠2，∠CEA=∠CFB=90°，在△CBF和△CAE中，∠1=∠2∠CEA=∠CFB=90°∴△CBF≌△CAE