福建百校联考高三下学期正月开学考试数学试题（原卷版）

2023~2024学年福建百校联考高三正月开学考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘跕在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数在复平面内所对应点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（）A. B. C. D.4.已知，，则（）A. B. C. D.5.如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，，则（）A B. C. D.36.如图，在边长为2的菱形中，，点E，F分别在边，上，且，若，则（）A. B. C.1 D.7.已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.据国家统计局网站2023年9月15日消息，8月份，社会消费品零售总额为37933亿元，同比增长（同比一般情况下是指本年第N月与去年第N月比）.其中，除汽车以外的消费品零售额为33820亿元，增长.1∼8月份，社会消费品零售总额为302281亿元，同比增长.其中，除汽车以外的消费品零售额为271888亿元，增长．2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速如下：则下列说法正确的是（）A.2023年1~8月份，社会消费品零售总额的月平均值约为25422.6亿元B.2022年8月份，社会消费品零售总额约为36264.8亿元C.除掉2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的最大值和最小值所得数据的标准差比原数据的标准差小D.2022年8月至2023年8月社会消费品零售总额同比增速数据的极差比中位数的8倍还多10.在前n项和为的正项等比数列中，，，，则（）A. B.C. D.数列中的最大项为11.如图，在棱长为1的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，则下列说法正确的是（）A.正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的3倍B.存在一点E，使得点和点C到平面的距离相等C.正方体被平面所截得的截面的面积随着的增大而增大D.当正方体被平面所截得的上部分的几何体的体积为时，E是的中点12.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为A，直线l与以O为圆心，为半径的圆相切，切点为P．则（）A.双曲线C的离心离为B.当直线与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个焦点C.当直线l与双曲线C的一条渐近线平行吋，若直线l与双曲线C的交点为Q，则D.若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则______．14.已知的展开式中的系数为240，则实数______．15.已知函数的值域为，则实数a的取值范围为______．16.方程的最小的29个非负实数解之和为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知正项数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和，求满足的正整数n的集合．18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长．19.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．（1）证明：平面；（2）已知，，，平面底面，若平面与平面夹角的余弦值为，求．20.驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为，科目二：平均通过的概率为，科目三平均通过的概率为．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试．（1）记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差；（2）根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生）参考数据：，21.已知抛物线的焦点为F，过抛物线C的准线