高考文数一轮课件3第三章导数及其应用第一节变化率与导数导数的计算

第一节变化率与导数、导数的计算总纲目录教材研读1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率考点突破2.函数y=f(x)在x=x0处的导数3.函数f(x)的导函数考点二导数的几何意义考点一导数的运算4.基本初等函数的导数公式1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为①

,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为②

.教材研读2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

=

为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'

,即f'(x0)=

=

.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点③(x0,f(x0))

处的④切线的斜率

.相应地,切线方程为⑤

y-f(x0)=f'（x0)(x-x0)

.3.函数f(x)的导函数称函数f'(x)=

为f(x)的导函数,导函数有时也记作y'.4.基本初等函数的导数公式5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=

f'(x)±g'(x)

;(2)[f(x)·g(x)]'=

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

;(3)

'=

(g(x)≠0).

1.下列求导运算正确的是

()A.

'=1+

B.(log2x)'=

C.(3x)‘=3xlog3eD.(x2cosx)'=-2sinx答案

B

'=x'+

'=1-

;(3x)'=3xln3;(x2cosx)'=(x2)'cosx+x2(cosx)'=2xcosx-x2sinx.故选B.B2.若f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)=

()A.-4

B.-2

C.2

D.4答案

B∵f(x)=ax4+bx2+c,∴f'(x)=4ax3+2bx,又f'(1)=2,∴4a+2b=2,∴f'(-1)=-4a-2b=-2.B3.(2016北京东城期中)若曲线f(x)=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,

则a=

.答案

解析

f'(x)=2ax-

,则f'(1)=2a-1,由题意得2a-1=0,所以a=

.4.曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为

.答案3x-y+1=0解析对函数y=xex+2x+1求导得y'=(x+1)ex+2,当x=0时,y'=3,因此曲线y=

xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为y-1=3x,即3x-y+1=0.3x-y+1=05.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)=

.

答案2解析由题意知f'(5)=-1,f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f'(5)=3-1=2.2典例1求下列函数的导数:(1)y=cos

;(2)y=ex·lnx.考点一导数的运算考点突破解析(1)∵y=cos

=cos

sin

-cos2

=

sinx-

(1+cosx)=

(sinx-cosx)-

,∴y'=

(cosx+sinx)=

sin

.(2)y'=ex·lnx+ex·

=ex

.方法技巧函数的求导原则1.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要

重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在

化简时,要注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.2.利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(xn)'=nxn-1中,n

∈N*,(cosx)'=-sinx,还要注意公式不要用混,如(ax)'=axlna,而不是(ax)'=xax-1.1-1已知f(x)=

x2+2xf'(2016)+2016lnx,则f'(2016)=

.答案-2017解析由题意得f'(x)=x+2f'(2016)+

,所以f'(2016)=2016+2f'(2016)+

,即f'(2016)=-(2016+1)=-2017.-20171-2求下列函数的导数:(1)y=(3x3-4x)(2x+1);(2)y=

;(3)y=exlnx+2x+e.解析(1)解法一:∵y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,∴y'=24x3+9x2-16x-4.解法二:y'=(3x3-4x)'(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+

9x2-16x-4.(2)y'=

=

=

.(3)y'=(ex)'·lnx+ex·(lnx)'+(2x)'+0=exlnx+

+2xln2.考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程典例2

(2016北京东城(上)期中)曲线f(x)=

在点(1,f(1))处的切线方程是

()A.y=1

B.y=

C.x+y=1

D.x-y=1答案

B由题意得f'(x)=

,故曲线f(x)=

在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=0,易知切点为

,所以切线方程为y=

,故选B.B命题角度二求切点坐标典例3(1)(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=

(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为

.(2)(2016北京东城(上)期中)若过曲线f(x)=xlnx上的点P的切线斜率为2,

则点P的坐标为

.答案(1)(1,1)(2)(e,e)解析(1)∵函数y=ex的导函数为y'=ex,∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=

的导函数为y'=-

,∴曲线y=

(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-

,易知k1k2=-1,即1·

=-1,解得

=1,又x0>0,∴x0=1.又∵点P在曲线y=

(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).(2)设切点P(m,n),由题意得f'(x)=1+lnx,由曲线f(x)=xlnx在点P处的切线斜率为2,得1+lnm=2,解得m=e,∴n=mlnm=elne=e,∴点P的坐标为(e,e).命题角度三求参数的值典例4(1)(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=

.(2)(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=

.答案(1)1(2)8∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.(2)令f(x)=x+lnx,求导得f'(x)=1+

,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-

1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y'

=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-

,又a

+(a+2)x0+1=2x0-1,即a

+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x0=-

,此时a=8.解析(1)由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=

(3a+1)·(x-1),又此切线过点(2,7),易错警示求函数图象的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需将切点设出.(2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点代入两者的函数解

析式建立方程组.(3)在切点处的导数值对应切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.(4)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点.如y=x3在(1,1)处的切线与

y=x3的图象还有一个交点(-2,-8).2-1设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函

数,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为

.答案9x-y-16=0解析

f'(x)=3x2+2ax+a-3,∵f'(x)是偶函数,∴a=0,∴f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3,∴f(2)=8-6=2,f'(2)=9,∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-2=9(x-2),即9x-y-16=0.9x-y-16=02-2

(2015北京丰台二模)曲线y=x3-x2-x+1在点(0,1)处的切线方程是

.答案

y=-x+1解析

y'=3x2-2x-1,所以y'|x=0=-1,则切线的斜率k=-1,故可得切线方程为y=

-x+1.y=-x