高中数学选修12讲义第3章3.2复数的四则运算

第1课时复数的加减与乘法运算已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．2．复数乘法的运算律对于任意z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3问题：复数3＋4i与3－4i，a＋bi与a－bi(a，b∈R)有什么特点？提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．2．复数z＝a＋bi的共轭复数记作eq\o(z,\s\up6(－))，即eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi.3．当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝eq\o(z,\s\up6(－))，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[例1]计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨]解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析](1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通]复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________．解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)＝2，则x＋y＝________.解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.[例2]计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨]应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.[一点通](1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________．解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i.答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________．解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋bi，∴a＝1，b＝3，故a＋b＝4.答案：46．计算下列各题．(1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)；(3)(1－i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))(1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i＋9i－12i2＝9＋13i.(3)法一：(1－i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))(1＋i)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i＋\f(1,2)i－\f(\r(3),2)i2))(1＋i)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)＋\f(\r(3)＋1,2)i))(1＋i)＝eq\f(\r(3)－1,2)＋eq\f(\r(3)＋1,2)i＋eq\f(\r(3)－1,2)i＋eq\f(\r(3)＋1,2)i2＝－1＋eq\r(3)i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝(1－i2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝－1＋eq\r(3)i.[例3]已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z.[思路点拨]eq\x(\a\al(设z＝a＋bi,（a，b∈R）))→z＝a－bi(a，b∈R)→eq\x(\a\al(代入等式利用复,数相等的条件求解)).[精解详析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－3b＝1，,－3a＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3，))所以z＝－1或z＝－1＋3i.[一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．(2)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则z·z－z－1＝________．解析：∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z·z＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z·z－z－1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i－1＝－i.答案：－i8．复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________．解析：设z＝a＋bi，则z＝a－bi.∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i，∴a－bi＋2ai＋2b＝4＋3i，即(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝4，,2a－b＝3，))解之得a＝2，b＝1.∴z＝2＋i.答案：2＋i9．已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2bz＝(a＋2z)2成立．解：∵z＝1＋i，∴az＋2bz＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.∵a，b都是实数，∴由az＋2bz＝(a＋2z)2，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝a2＋4a，,a－2b＝4（a＋2）.))两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0.解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z＝a＋bi看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．一、填空题1．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为________．解析：(－i＋3)－(－2＋5i)＝－i＋3＋2－5i＝－6i＋5.答案：5－6i2．若复数z＝1－2i，则z·z＋z的实部是________．解析：∵z＝1－2i，∴z＝1＋2i，∴z·z＝(1－2i)(1＋2i)＝5，∴z·z＋z＝5＋1－2i＝6－2i.答案：63．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________．解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i＝5＋5i.答案：5＋5i4．(北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________．解析：(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，由复数相等的定义知x＝2.答案：25．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t＝________．解析：∵z2＝t＋i，∴z2＝t－i，∴z1·z2＝(3＋4i)(t－i)＝3t－3i＋4ti－4i2＝(3t＋4)＋(4t－3)i，又∵z1·z2是实数，∴4t－3＝0，即t＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)二、解答题6．计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)i))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2i))；(2)(3＋2i)＋(eq\r(3)－2)i；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2))i＝eq\f(5,2)－eq\f(5,2)i；(3)(3＋2i)＋(eq\r(3)－2)i＝3＋(2＋eq\r(3)－2)i＝3＋eq\r(3)i；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.7．计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)i))(4i－6)＋2＋i；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))(1＋i)．解：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)i))(4i－6)＋2＋i＝2i＋6i2－3－9i＋2＋i＝－7－6i.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))(1＋i)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)－\f(\r(3),4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－\f(1,4)))i))(1＋i)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))(1＋i)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))i＝－eq\f(1＋\r(3),2)＋eq\f(1－\r(3),2)i.8．(江西高考改编)z是z的共轭复数．若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，求z.解：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，∵z＋z＝2a＝2，∴a＝1.又(z－z)i＝2bi2＝－2b＝2.∴b＝－1.故z＝1－i.法二：∵(z－z)i＝2，∴z－z＝eq\f(2,i)＝－2i.又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.第2课时复数的乘方与除法运算问题1：在实数中，若a·b＝c(a≠0)，则b＝eq\f(c,a).反之，若b＝eq\f(c,a)，则a·b＝c.那么在复数集中，若z1·z2＝z3，有z1＝eq\f(z3,z2)(z2≠0)成立吗？提示：成立．问题2：若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则eq\f(z1,z2)如何运算？提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c－di，化简后可得结果，即eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．1．复数范围内正整数指数幂的运算性质对任意复数z，z1，z2和m，n∈N*，有(z)m·(z)n＝(z)m＋n；(zm)n＝zmn；(z1·z2)n＝zeq\o\al(n,1)·zeq\o\al(n,2)．2．虚数单位in(n∈N*)的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i．3．复数的除法运算及法则把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商．且x＋yi＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i．由eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i，可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化．[例1]求1＋i＋i2＋…＋i2016的值．[思路点拨]利用in的性质计算，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，还可以利用等比数列求和来解．[精解详析]法一：1＋i＋i2＋…＋i2016＝eq\f(1－i2017,1－i)＝eq\f(1－i2016·i,1－i)＝eq\f(1－i,1－i)＝1.法二：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)，∴1＋i＋i2＋…＋i2016＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2009＋i2010＋i2011＋i2012)＋(i2013＋i2014＋i2015＋i2016)＝1.[一点通]等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．1．若z＝－eq\f(1－i,\r(2))，则z2014＋z102＝________．解析：∵z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1－i,\r(2))))eq\s\up12(2)＝－i，∴z2014＋z102＝(－i)1007＋(－i)51＝(－i)1004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3＝i＋i＝2i.答案：2i2．设z1＝i4＋i5＋i6＋…＋i12，z2＝i4·i5·i6·…·i12，则z1与z2的关系为z1________z2(用“＝”或“≠”填)．解析：∵z1＝eq\f(i4（1－i9）,1－i)＝eq\f(i4（1－i）,1－i)＝1，z2＝i4＋5＋6＋…＋12＝ieq\s\up6(\f(（4＋12）×9,2))＝i72＝(i4)18＝1，∴z1＝z2.答案：＝[例2]计算：(1)eq\f(i－2\r(3),1＋2\r(3)i)＋(5＋i2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))eq\s\up12(2)；(2)eq\f(（\r(2)＋\r(2)i）3（4＋5i）,（5－4i）（1－i）).[思路点拨]解答较为复杂的复数相乘、除时，一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．[精解详析](1)原式＝eq\f(（1＋2\r(3)i）i,1＋2\r(3)i)＋(5＋i2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))eq\s\up12(2)＝i＋5－1－i＝i＋4－i＝4.(2)原式＝eq\f(2\r(2)（1＋i）3（5－4i）i,（5－4i）（1－i）)＝eq\f(2\r(2)（1＋i）4i,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(2\r(2)[（1＋i）2]2i,2)＝eq\r(2)·(2i)2i＝－4eq\r(2)i.[一点通]复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟悉以下结论对简化运算很有帮助．b－ai＝(a＋bi)(－i)，－b＋ai＝(a＋bi)i.3．设复数z＝eq\f(2i,－1＋i)，则复数z2的实部与虚部的和为________．解析：∵z＝eq\f(2i,－1＋i)＝eq\f(2i（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝eq\f(2i（－1－i）,2)＝－i＋1，∴z2＝(1－i)2＝1－2i－1＝－2i.实部为0，虚部为－2.因此，实部与虚部的和为－2.答案：－24．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z＝________．解析：∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(（11＋7i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.答案：3＋5i5．化简：eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\r(3)i))\s\up12(3),（1＋i）6)＋eq\f(－2＋i,1＋2i)＝________．解析：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(3)i,2i)))eq\s\up12(3)＋eq\f(（－2＋i）（1－2i）,5)＝i＋i＝2i.答案：2i1．复数除法的运算技巧在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦．我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简．2．注意复数计算中常用的整体(1)i的性质：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；(2)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(3)设ω＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝ω，ω3＝1.一、填空题1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝________．解析：z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(2i（1＋i）,2)＝－1＋i.答案：－1＋i2．设i是虚数单位，复数eq\f(10,3－i)的虚部为________．解析：eq\f(10,3－i)＝eq\f(10（3＋i）,（3－i）（3＋i）)＝3＋i.答案：13．如果z1＝－2－3i，z2＝eq\f(3－2i,（2＋i）2)，则eq\f(z1,z2)＝________．解析：∵z1＝－2－3i，z2＝eq\f(3－i,（2＋i）2)，∴eq\f(z1,z2)＝eq\f(（－2－3i）（2＋i）2,3－2i)＝eq\f(－i（3－2i）（2＋i）2,3－2i)＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.答案：4－3i4．(浙江高考)已知i是虚数单位，计算eq\f(1－i,（1＋i）2)＝________．解析：eq\f(1－i,（1＋i）2)＝eq\f(1－i,2i)＝eq\f(（1－i）i,－2)＝eq\f(－1－i,2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.答案：－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i5．i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________．解析：设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋8i8①则iS＝i2＋2i3＋…＋7i8＋8i9②①－②得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i8－8i9＝eq\f(i（1－i8）,1－i)－8i＝－8i.∴S＝eq\f(－8i,1－i)＝eq\f(－8i（1＋i）,（1－i