山西省阳泉市程家中学高一数学文模拟试题含解析

山西省阳泉市程家中学高一数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|参考答案：C【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．【解答】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．2.若弧长为4的弧所对的圆心角是2，则这条弧所在的圆的半径等于（

）

A．8

B．4

C．2

D．1参考答案：C略3.定义在R上的函数满足：的图像关于轴对称，并且对任意的有，则当时，有(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.函数f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零点之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【分析】函数f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx的零点，即为函数f（x）=2cosπx与函数g（x）=ln|x﹣1|的图象交点的横坐标，由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．【解答】解：f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx的零点，即为函数f（x）=﹣2cosπx与函数g（x）=ln|x﹣1|的图象交点的横坐标，由图象变化的法则可知：y=ln|x﹣1|的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，在向右平移1个单位得到y=ln|x﹣1|的图象又f（x）=﹣2cosπx的周期为2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有A，B，C，D，E，F，6个交点，由中点坐标公式可得：xA+xF=2，xB+xE=2，xC+xD=2，故所有交点的横坐标之和为6，故选：C．【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．5.已知，，，且与垂直，则实数λ的值为（）A． B． C． D．1参考答案：C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由，所以，然后根据与垂直，展开后由其数量积等于0可求解λ的值．【解答】解：因为，所以，又，，且与垂直，所以==12λ﹣18=0，所以．故选C．【点评】本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了计算能力，是基础题．6.（4分）若f（x）满足f（﹣x）=f（x），且在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则（） A． B． C． D． 参考答案：D考点： 奇偶性与单调性的综合．专题： 计算题．分析： 观察四个选项，是三个同样的函数值比较大小，又知f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，由f（﹣x）=f（x），把2转到区间（﹣∞，﹣1]上，f（2）=f（﹣2），比较三个自变量的大小，可得函数值的大小．解答： ∵f（﹣x）=f（x），∴f（2）=f（﹣2），∵﹣2＜﹣＜﹣1，又∵f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，∴f（﹣2）＜f（﹣）＜f（﹣1）．故选D．点评： 此题考查利用函数单调性来比较函数值的大小，注意利用奇偶性把自变量转化到已知的区间上．7.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图2所示，则时速超过60km/h的汽车数量为（）A．38辆

B．28辆

C．10辆

D．5辆参考答案：【知识点】样本的频率估计总体分布.A解：根据频率分步直方图可知时速超过60km/h的概率是10×（0.01+0.028）=0.38，

∵共有100辆车∴时速超过60km/h的汽车数量为0.38×100=38（辆）

故选A．【思路点拨】根据频率分步直方图看出时速超过60km/h的汽车的频率比组距的值，用这个值乘以组距，得到这个范围中的频率，用频率当概率，乘以100，得到时速超过60km/h的汽车数量．8.已知a>0且a≠1，函数，，在同一坐标系中的图象可能是（

）

A

B

C

D参考答案：C略9.（4分）函数在区间[5，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（） A． [6，+∞） B． （6，+∞） C． （﹣∞，6] D． （﹣∞，6）参考答案：C考点： 复合函数的单调性．专题： 函数的性质及应用．分析： 令t=x2﹣2（a﹣1）x+1，则二次函数t的对称轴为x=a﹣1，且f（x）=g（t）=2t，故函数t在区间[5，+∞）上是增函数，故有a﹣1≤5，由此求得a的范围．解答： 令t=x2﹣2（a﹣1）x+1，则二次函数t的对称轴为x=a﹣1，且f（x）=g（t）=2t，根据f（x）在区间[5，+∞）上是增函数，故二次函数t在区间[5，+∞）上是增函数，故有a﹣1≤5，解得a≤6，故选：C．点评： 本题主要考查复合函数的单调性、二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．10.三角函数值，，的大小顺序是（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】先估计弧度角的大小，再借助诱导公式转化到上的正弦值，借助正弦函数在的单调性比较大小．【详解】解：∵1弧度≈57°，2弧度≈114°，3弧度≈171°．∴sin1≈sin57°，sin2≈sin114°＝sin66°．sin3≈171°＝sin9°∵y＝sinx在上是增函数，∴sin9°＜sin57°＜sin66°，即sin2＞sin1＞sin3．故选：B．【点睛】本题考查了正弦函数的单调性及弧度角的大小估值，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列各数、

、、中最小的数是____________。参考答案：把各数都化为10进制数后比较。，，，，故最小的数为。答案：。12.已知幂函数的图象过点(2，4)，则k+a=_________．参考答案：3略13.在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于

．参考答案：，或【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinB的值，结合B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵a=4，b=4，∠A=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，又∵B为三角形内角，∴B=，或．故答案为：，或．14.已知点，点满足，则的最小值是

.参考答案：20略15.已知三个事件A，B，C两两互斥且，则P(A∪B∪C)=__________.参考答案：0.9【分析】先计算，再计算【详解】故答案为0.9【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型.16.函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是________．（只填相应序号）参考答案：④

略17.函数f（x）=+的定义域为

．参考答案：（0，1）∪（1，2]

【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得0＜x≤2且x≠1．∴函数f（x）=+的定义域为（0，1）∪（1，2]，故答案为：（0，1）∪（1，2]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求A∪B，A∩B，（?RA）∩B． 参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合． 【分析】找出两集合中解集的公共部分，求出两集合的交集；找出既属于A又属于B的部分，求出两集合的并集；找出全集中不属于A的部分，求出A的补集，找出B与A补集的公共部分，即可确定出所求的集合 【解答】解：A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}， ∴A∪B={x|2＜x＜10}， A∩B═{x|3≤x＜7}， ?RA={x|x＜3，或x≥7}， ∴（?RA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键． 19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．(1)求证：DE∥平面PAC；(2)求证：AB⊥PB；

参考答案：(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA．因为PA平面PAC，且DE平面PAC，所以DE∥平面PAC．…………6分(2)因为PC⊥平面ABC，且AB平面ABC，所以AB⊥PC．又因为AB⊥BC，且PC∩BC＝C．所以AB⊥平面PBC．又因为PB平面PBC，所以AB⊥PB．…………12分20.已知，且f（1）=3．（1）试求a的值，并用定义证明f（x）在[，+∞）上单调递增；（2）设关于x的方程f（x）=x+b的两根为x1，x2，问：是否存在实数m，使得不等式m2+m+1≥|x1﹣x2|对任意的恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出a的值，根据单调性的定义证明函数的单调性即可；（2）由韦达定理求出x1+x2=bx1x2=1，问题转化为只需m2+m+1≥（|x1﹣x2|）max=3，根据二次函数的性质求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵f（1）=3，∴a=1，∴，设x1，x2是[，+∞）上任意两个实数且x1＜x2，则，∵，又x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在[，+∞）上单调递增；（2）∵f（x）=x+b∴x2﹣bx+1=0由韦达定理：x1+x2=bx1x2=1，∴，又，假设存在实数m，使得不等式m2+m+1≥|x1﹣x2|对任意的恒成立，则只需m2+m+1≥（|x1﹣x2|）max=3，∴m2+m+1≥3，m2+m﹣2≥0，而m2+m﹣2=0的两根为m=﹣2或m=1，结合二次函数的性质有：m≤﹣2或m≥1，故存在满足题意的实数m，且m的取值范围为：m≤﹣2或m≥1．21.已知函数的定义域为,且满足条件:①；②；③当时,.（1）求证:为偶函数；（2）讨论函数的单调性；（3）求不等式的解集.参考答案：（1）证明：令x=y=1

有f(1)=f(1)+f(1)

∴f(1)=0令x=y=-1

有f(1)=f(-1)+f(-1)

∴f(-1)=0令y=-1

有f(-x)=f(x)+f(-1)

∴f(x)=f(-x)且定义域关于原式对称∴f(x)是偶函数法二：f(x2)=f(x)+f(x)=f(-x)+f(-x)∴f(x)=f(-x)法三：令y=-1

f(-x)=f(x)+f(-1)

①x=-x

y=-1f(x)=f(-x)+f(-1)②①-②∴f(x)=f(-x)（2）任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则（3）∵f(x)是偶函数∴f(|x(x-3)|)≤f(4)∴解集为[-1，0）∪（0，3）∪（3，4]22.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在50分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的频率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（2）根据平均数的定义和中位数的定义即可求出．（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为，则[0.016+0.03+（m﹣70）×0.040]×10=0.5，解得m=71，=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a