经济数学3.1-微分中值定理

22五月20241高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）22五月20242第三章微分中值定理与导数的应用第三节洛必达法则第二节泰勒(Taylor)公式第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第五节函数的极值与最大值、最小值第一节微分中值定理第六节函数图形的描绘第七节曲率22五月20243第一节微分中值定理

第三章二、微分中值定理一、函数的极值三、小结与思考题（TheMeanValueTheorem）罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理22五月20244一、函数的极值（ExtremumsofFunction）22五月20245

注意：函数的极大值、极小值与最大值、最小值的区别．函数的极值是对一点的邻域来说的，是局部性概念；而最值（最大值、最小值的简称）是整体性概念．22五月20246费马引理（FermatLemma）且存在证:

设则证毕22五月20247二、微分中值定理1.罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]

上连续(2)在区间(a,b)

内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.在(a,b)内至少存在一点22五月20248若M=m,则因此若M>m,则M和m

中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使则由费马引理得注意:定理条件不全具备,结论不一定成立.例如,22五月20249提示：22五月202410有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设例2证明方程（补充题）22五月2024112.拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕22五月202412推论:若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.证:

在

I

上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.令则拉格朗日中值定理的有限增量形式:22五月202413证:

设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在

I

上例3证明等式22五月202414证:

设中值定理条件,即因为故因此应有例4证明不等式22五月2024153、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证22五月202416且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:

柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.证:

作辅助函数22五月202417解题思路：22五月202418内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:

利用逆向思维设辅助函数费马引理22五月202419思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程22五月202420且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设2.

设22五月202421可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.3.

若22五月202422使证:法1

用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:4.试证至少存在一点22五月202423使法2

令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在4.试证至少存在一点22五月202424使法3

令则f(x)在[1,e]上满足零点定理条件,由于4.试证至少存在一点故由零点定理即证！22五月202425考研真题提示：22五月202426法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.费马(1601–1665)22五月202427法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.拉格朗日(1736–1813)22五月202428法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷