专题14 等角存在性问题（原卷版）

等角存在性问题一、知识导航除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；（3）等腰三角形：等边对等角；（4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．二、典例精析如图，已知抛物线过点A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C和点关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且，求点P的横坐标．【分析】（1）抛物线：；（2）由题意得：坐标为（2，-4），考虑到A、C、三点坐标均已知，故可求的三角函数值．思路1：构造直角三角形过点作⊥AC交AC于H点，不难求得H点坐标为（1，3），故，，∴，则．转化“”为“”，即．①当时，设PA解析式为，将A（4，0）代入，得：，联立方程：，解得：，，故坐标为；②当时，设PA解析式为，将A（4，0）代入，得：，联立方程：，解得：，，故坐标为．综上所述，P点坐标为或．思路2：发现特殊角．如图构造等腰直角三角形AMC，易解M点坐标为（4，-4），故△AMC是等腰直角三角形．∠MAC=45°，考虑，可知，下同思路1求解P点坐标．三、中考真题演练1．（2023·湖南常德·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．

(1)求二次函数的表达式；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．2．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．3．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．

(1)请求出抛物线的表达式．(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点．

(1)如图2，若抛物线经过原点．①求该抛物线的函数表达式；②求的值．(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由．5．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．(1)求抛物线的表达式；(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．6．（2022·四川达州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；7．（2022·湖北黄石·模拟预测）如图：已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且．

(1)求抛物线的解析式(3)P为抛物线上一点且，求点P的坐标．8．（2022·湖南株洲·二模）如图1，已知抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．

(1)若，求的长度；(2)若，