专题2.3 三角形（全章分层练习）（提升练）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题2.3三角形（全章分层练习）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022秋·重庆·八年级统考期末）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（

）A．B．C． D．2．（2023·全国·八年级专题练习）在下列所给的条件中，能组成三角形的是（）A．三条线段的比为2：3：4 B．三条线段的比为1：2：3C．三条线段的比为4：5：9 D．三条线段的比为7：4：33．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，平分．则、、的数量关系为（

）

A． B．C． D．4．（2023秋·九年级课时练习）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（

）A．互为逆命题B．互逆定理 C．公理 D．假命题5．（2023春·甘肃张掖·七年级校联考期末）高台县崇文楼始建2011年，取“崇文尚德·大运高台”之意，总高米，由台明、楼身和宝顶三部分组成．建这座楼的主要目的是为了延续高台人杰地灵、源远流长的文脉，在当今文化大发展时代，激励莘莘学子努力学习、求学上进，将来回报和建设家乡、建设祖国．如图，“崇文楼”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（

）

A．B．C． D．6．（2023秋·广西桂林·八年级统考期末）如图所示，点、是的边上的两点，线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，连接、，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．（2023春·河南郑州·八年级统考期末）如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上（），将绕点D按顺时针方向旋转a度（F始终在点B上方），则与重叠部分的面积为（

）

A．1 B．2 C．3 D．48．（2023春·七年级单元测试）如图，一个“U”字形框架，于点B，于点C，，点M在线段上，点E，F分别在射线，上，若，要使与全等，则线段的长度为（）A． B．18或 C． D．6或9．（2022秋·湖北·八年级统考期中）如图，点是等腰中直角边延长线一点，过点作于点，若，则=（

）A． B．2 C． D．10．（2022秋·福建厦门·八年级校考期中）如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（）A．∠B＝∠ADCB．2∠B＝∠ADCC．∠B+∠ADC＝180°D．∠B+∠ADC＝90°填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2021春·山东济南·七年级统考期中）如图，将△ABC沿直线AC翻折得到△ADC，连接BD交AC于点E，AF为△ACD的中线，若BE＝2，AE＝3，△AFC的面积为2，则CE=．12．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考期中）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90º，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为．13．（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，长方形的周长为12，面积为4．以为直角边向外作等腰直角三角形（），以为直角边向外作等腰直角三角形（），连接，则五边形的面积为．

14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，锐角内有一定点A，连接，点B、C分别为、边上的动点，连接、、，设（），当取得最小值时，则________．（用含的代数式表示）15．（2023春·陕西西安·七年级统考期末）如图，是等腰三角形，，且B，C，D三点共线．连接，分别交于点M，N，连接，则＝．16．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，已知，过E作于F，且的三条角平分线交于点G，连接，则度．

17．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在直角三角形中，，D为线段上一点，连接．过点A作，连接，当平分时，延长至点F使得，连接．若且，则．18．（2022·安徽合肥·统考一模）已知：如图，△ABC中，BA=BC，∠ABC=70°，AC=4，点D是平面内动点，且AD=1，将BD绕点B顺时针旋转70°得到BE，连接AE．（1）在点D运动的过程中，AE的最小长度为；（2）在点D运动的过程中，当AE的长度最长时，则∠DAB=三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023秋·全国·八年级专题练习）学习了证明的必要性，张明尝试证明三角形内角和定理，下面是他的部分证明过程．已知：如图，，求证：．证明：过点A作直线…20．（8分）（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）如（图1），已知，点D在AC的延长线上，且．给出下列信息：①；②；③．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是、，结论是（只要填写序号），并说明理由；（2）如（图2），已知，在直线AC上求作一点P，使得（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．21．（10分）（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP=NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．22．（10分）（2022春·重庆·七年级重庆八中校考期中）如图，在等腰直角三角形中，，，于点，为延长线上一点，连接交于点，过点作交延长线于点．（1）求证：点为的中点；（2）若，，求的长；（3）如图2，若为延长线上一点，且，连接，请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论．23．（10分）（2023春·上海·七年级专题练习）如图1，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE交于点O，△ABC和△ECD是等边三角形．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求∠BOD的度数；（3）如图2，若B、C、D三点不在一条直线上，∠BOD的度数是否发生改变？（填“改变”或“不改变”）24．（12分）（2023春·辽宁锦州·七年级统考期末）【模型构建】如图1，在等腰中，，点在线段的延长线上，连接，则在和中，边的对角和之间的数量关系为；【模型应用】如图2，在和中，为锐角，，，，试说明：；【模型拓展】如图3，，，，，和交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由．参考答案1．C【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；故选：C【点拨】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．2．A【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边逐项判断即可解答．解：A、∵，所以能够组成三角形，故本选项正确；B、∵，所以不能够组成三角形，故本选项错误；C、∵，所以不能够组成三角形，故本选项错误；D、∵，所以不能够组成三角形，故本选项错误．故选：A．【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．3．D【分析】根据平分，则，再根据三角形的外角和，即可．解：∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故选：D．【点拨】本题考查角平分线，三角形的外角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的外角和．4．A【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可．解：“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”“相等的角是直角”的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”条件和结论互换，所以是互为逆命题．定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理．故选：A．【点拨】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键．5．C【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．解：，，，即是的高线，是等腰三角形，，是的角平分线，故A选项不符合题意；是等腰三角形，，是的角平分线，故B选项不符合题意；若，不能说明是的角平分线，故C选项符合题意；，，是的角平分线，故D选项不符合题意；故选：C．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．6．D【分析】根据线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理计算判断即可．解：∵线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选D．【点拨】本题考查了线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线，三角形外角性质，等腰三角形的性质是解题的关键．7．B【分析】由“”可证和全等，可得，即可求解．解：如图，连接，

∵，，，点D是的中点，∴，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故选：B．【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．8．B【分析】设，，分，两种情况，得出对应边相等，根据列出方程，分别求解即可．解：设，，若，∴，，∴，解得：，即；若，∴，，∴，解得：，即；∴的长度为18或，故选B．【点拨】本题考查全等三角形的性质及分类讨论思想，正确分类才不会漏解．9．B【分析】由可证，可得，由可证，可得，即可求解．解：如图，延长交于点，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴故选：B．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．10．C【分析】由题意在射线AD上截取AE=AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，证得∠B=∠CDE，即可得出结果．解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠EAC，在△ABC与△AEC中，，∴△ABC≌△AEC（SAS），∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，∵CB＝CD，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴∠B＝∠CDE，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°．故选：C．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE．11．1【分析】根据已知条件以及翻折的性质，先求得S四边形ABCD，根据S四边形ABCD，即可求得，进而求得解：∵AF为△ACD的中线，△AFC的面积为2，∴S△ACD＝2S△AFC＝4，∵△ABC沿直线AC翻折得到△ADC，∴S△ABC＝S△ADC，BD⊥AC，BE＝ED，∴S四边形ABCD＝8，∴，∵BE＝2，AE＝3，∴BD＝4，∴AC＝4，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣3＝1．故答案为：1．【点拨】本题考查了三角形中线的性质，翻折的性质，解题的关键是利用四边形的等面积法求解．12．135°【分析】利用三角形的内角和定理求解即可解：在Rt△ABC中，，由∵AD，BE分别平分，，∴=，=∴=，∴，故无论怎么变动Rt△ABC，只要∠C＝90º，∠AFB的度数是定值，始终为135°故答案为：135°【点拨】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．20【分析】根据长方形的周长和面积得出，，再结合等腰直角三角形，表示出五边形的面积为，再利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可．解：∵长方形的周长为12，面积为4，∴，，∵三角形和三角形是等腰直角三角形，∴五边形的面积为：；故答案为：20．【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握整体思想，灵活运用完全平方公式．14．【分析】当取得最小值时，即三点共线，作图，把真正的点B、C作图出来即图中的点和的位置，连接，，解答即可．解：作A关于和的对称点，分别记作和，连接分别交和于点和，连接，，如图所示：∵作A关于和的对称点，分别记作和，∴，，∵，∴，∵作A关于和的对称点，分别记作和，∴，∴是等腰三角形，即，∵作A关于和的对称点，分别记作和，∴，，∵当取得最小值时，即三点共线，此时，即当取得最小值时，则，故答案为：．【点拨】本题主要考查的是线段最短以及垂直平分线的性质内容，正确理解题意并正确作图是解题的关键．15．60【分析】根据已知证明都是等边三角形，得到，即可证明，推出，进一步证明，可得，求出，证明是等边三角形，可得结果．解：∵都是等腰三角形，且，∴都是等边三角形，∴，∵，∴．在与中，，∴，∴．∵，∴．在与中，，∴，∴．∵，∴是等边三角形，∴，故答案为：60．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解此题的关键是推出和，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．16．135【分析】由可得是直角三角形，从而，又的三条角平分线交于点G，可得，再根据三角形内角和定理可求出，易证，得到，即可解答解：∵∴∴∵的三条角平分线交于点G∴，∴∴∵，，∴∴故答案为：135【点拨】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的证明与性质，熟练运用三角形内角和定理的解题的关键．17．1.8【分析】延长到点G，使，证明，得，再证明，然后根据即可求出的长．解：延长到点G，使，则，∵∴，∵，∴，在和中，∴，∴．∵平分时，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案为：1.8．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，以及平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．18．3125°/125度【分析】（1）证明△ABD≌△CBE，当点E在线段AC上时，AE最小，据此求解即可；（1）当AE的长度最长时，点E在AC的延长线上，此时AE最大，证明△ABD≌△CBE，利用等腰三角形的性质求解即可．解：（1）连接CE，∵BD=BE，BA=BC，∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴CE=AD=1，当点E在线段AC上时，AE最小，AE最小值=4-1=3；（2）在点D运动的过程中，当AE的长度最长时，点E在AC的延长线上，此时AE最大值=4+1=5；同理可证△ABD≌△CBE，∴∠DAB=∠ECB，∵BA=BC，∠ABC=70°，∴∠BCA=55°，∴∠DAB=∠ECB=180°-55°=125°；故答案为：（1）3；

（2）125°【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．19．见分析【分析】过点A作直线，根据平行线的性质可证得，，再根据平角的性质，即可证得．解：证明：如图：过点A作直线，，，，．【点拨】本题考查了三角形内角和定理的证明方法，熟练掌握和运用三角形内角和定理的证明方法是解决本题的关键．20．（1）①、②；③；理由见分析（答案不唯一）；（2）见分析【分析】（1）利用等腰三角形的性质得∠D＝∠CBD，利用三角形的内角和定理及三角形外角的性质先求∠DCB，再求出∠CBD即可；（2）参照（1）作图，利用等腰三角形的性质即可．（1）解：选择的条件是①②，结论是③．理由：∵CB＝CD，∴∠D＝∠CBD，∵∠DCB＝∠A＋∠ABC＝16°＋28°＝44°，∴∠CBD＝＝68°，故答案为：①、②；③．（答案不唯一）（2）延长AC，以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AC的延长线于点P，连接BP，则∠CBP＝∠APB，∠ACB＝∠CBP＋∠APB，∴∠APB＝∠ACB．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握“等边对等角”、三角形的内角和定理及推论“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”是解决本题的关键．21．（1）见详解；（2）0.5a．【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可；（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．解：（1）如下图所示，过点M作MQCN，∵为等边三角形，MQCN，∴，则AM=AQ，且∠A=60°，∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，又∵MQCN，∴∠QMP=∠CNP，在，∴，

则MP=NP；（2）∵为等边三角形，且MH⊥AC，∴AH=HQ，

又由（1）得，，则PQ=PC，∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．22．（1）证明见分析；（2）2；（3）GH＝CG＋AE，证明见分析【分析】（1）证△DCG≌△DBF（AAS），得DG＝DF，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得FB＝GC＝3，即可得出AF的长；（3）证△HBD≌△EAD（SAS），得∠BDH＝∠ADE，再证△HDF≌△HDG（SAS），得GH＝FH，进而得出结论．解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，GC⊥AC，∴CG∥BF，∴∠DCG＝∠DBF，∠DGC＝∠DFB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，∴△DCG≌△DBF（AAS），∴DG＝DF，∴点D为FG的中点；（2）解：由（1）得：△DCG≌△DBF，∴FB＝GC＝3，∵AB＝AC＝5，∴AF＝AB−FB＝5−3＝2；（3）解：GH，CG，AE之间的数量关系为：GH＝CG＋AE，理由如下：连接DH，如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠HBD＝180°−45°＝135°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，AD为BC边上中线，∴∠CAD＝∠BAC＝×90°＝45°，AD＝BD＝CD，∴∠EAD＝180°−45°＝135°，∴∠HBD＝∠EAD，又∵BH＝AE，BD＝AD，∴△HBD≌△EAD（SAS），∴∠BDH＝∠ADE，∴∠BDH＋∠BDF＝∠ADE＋∠BDF，即∠HDF＝∠ADB＝90°，∴∠HDF＝∠HDG＝90°，由（1）得：DG＝DF，又∵DH＝DH，∴△HDF≌△HDG（SAS），∴GH＝FH，由（2）得：FB＝GC，∵FH＝FB＋BH，BH＝AE，∴GH＝CG＋AE．【点拨】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，证明三角形