极坐标、参数方程题型总结

极坐标、参数方程题型总结一、大纲要求：1.了解坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。2.了解极坐标的根本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。3．能在极坐标系中给出简单图形的方程。4.了解参数方程，了解参数的意义。5.能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。二根底知识：1.把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，那么或。2.假设圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝；(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝.3.直线的极坐标方程假设直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，那么它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过M(b，eq\f(π,2))且平行于极轴：ρsinθ＝b.4.常见曲线的参数方程的一般形式〔1〕圆心在坐标原点，半径为r圆的参数方程为圆心在，半径为r圆的参数方程为：(2)椭圆的参数方程为：〔3〕抛物线y2＝2px的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)．〔4〕在直线的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα,y＝y0＋tsinα))(t为参数)中，(1)t的几何意义是什么？(2)如何利用t的几何意义求直线上任两点P1、P2的距离？t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的数量．|P1P2|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2).5.两个结论：点〔1〕〔2〕三、题型归纳题型一：参数方程化普通方程例1.直线为参数),曲线〔为参数〕.〔Ⅰ〕设与相交于两点,求；〔Ⅱ〕假设把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.解.〔I〕的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,那么.----------5分〔II〕的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最小值,且最小值为.---------10分训练1.极点与坐标原点O重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C:=4sin上任一点，点P满足．设点P的轨迹为曲线Q．〔1〕求曲线Q的方程；〔2〕设曲线Q与直线〔t为参数〕相交于A、B两点，且|AB|=4．求实数a．〔1〕设，，①,那么，代入①整理得，，点轨迹方程为.……5分〔2〕将为参数化为普通方程得，由〔1〕知曲线是圆心为,半径的圆，圆心到直线的距离.,解得或.……10分2.曲线C：曲线D：。〔1〕指出曲线C、D分别是什么曲线？并说明曲线C与D公共点人的个数。〔2〕假设把曲线C、D上各点的纵坐标压缩为原来的倍，分别得到曲线C1、D1，请写出曲线C1、D1的参数方程，说明其公共点的个数和曲线C、D公共点是否相同？3.点P为椭圆C：上一点，假设，求点P的坐标。4．假设直线与圆没有公共点，那么实数m的范围是。5.直线,曲线C：〔为参数〕.〔1〕当求：直线与曲线C的交点坐标。6.直线l:，圆C：那么圆心C到直线的距离是。题型二：普通方程化为参数方程例2.点为椭圆上一点，求〔1〕的范围；〔2〕假设垣成立，求a的范围。训练1.直线过点，倾斜角，〔1〕写出的参数方程；〔2〕直线与圆相交于A、B两点，求。题型三：极坐标化直角方程例3．某圆的极坐标方程为〔I〕将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；〔II〕假设点在该圆上，求的最大值和最小值．解〔Ⅰ〕；………3分〔为参数〕………5分〔Ⅱ〕因为，所以其最大值为6，最小值为2……………10分求曲线训练1.两圆的极坐标方程为。把它们化为直角坐标方程；〔2〕求两圆的交点所在直线的直角坐标方程。2．圆与直线相切，求实数a的值。3.与曲线的交点的极坐标。题型四：综合运用例4.曲线C：和定点，分别是曲线C的左、右两个焦点。以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；经过，且与直线垂直的直线交此曲线于两点，求的值。训练1.曲线C极坐标方程为，设直线的参数方程是。设直线与x轴相交于于为曲线C上的动点，求的最大值。2.直线的参数方程是。曲线C极坐标方程为。设直线与曲线C相交于于两点，点。求。4.曲线C：，M是曲线C上的动点，点P满足。〔1〕求点P的轨迹D的曲线方程；〔2〕射线与曲线C相交于异与极点的A点，与曲线D相交于异与极点的B点，，求.5.曲线的参数方程为〔为参数〕，将曲线上所有点的