三次样条插值课件

第五节

样条插值法插值法样条插值的研究背景样条函数的力学意义三次样条插值多项式的构造一般的插值问题拉格朗日(Lagrange)插值多项式，是插值基函数的线性组合，形式简单，结构对称，便于理论分析。一、拉格朗日(Lagrange)插值样条插值的研究背景牛顿(Newton)插值引入了差商的概念，在增加新的节点时，只是增加一项，前面结果可再利用。二、牛顿(Newton)插值样条插值的研究背景称为龙格Runge现象。三、分段插值样条插值的研究背景取等距节点做n次Lagrange插值多项式。当节点无限加密时，插值多项式出现振荡现象。

xjxj-1xj+1x0xn分段线性插值分段线性插值（低次多项式插值），误差小，整体逼近效果好，但曲线光滑性差。三、分段插值带导数的插值插值问题的较高要求：

保持插值曲线在节点处有切线（光滑），使插值函数和被插函数的密和程度更好。

Hermite插值四、Hermite插值但实际问题中，导数值往往很难获得！插值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑,从而导数不连续。而一些实际问题,不但要求一阶导数连续,

而且要求二阶导数连续。所以一般插值往往不不能满足实际需要。一般插值函数的不足

(1)

S(x)在每个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,

,n-1)上是次数不超过m的多项式;

(2)S(x)在区间[a,b]上有m-1阶连续导数;

则称S(x)是定义在[a,b]上的m次样条函数。x0，x1，x2,

称为样条结点,其中x1,

,xn-1称为内结点,x0,xn

称为边界结点。当m=3时,便成为最常用的三次样条函数设S(x)是区间[a,b]上的函数,在区间[a,b]上给定一组节点:a=x0<x1<x2<

<xn=b若S(x)满足条件一、样条函数的概念Spline样条插值取插值函数为样条函数的插值称为样条插值

所谓“样条”(Spline)是工程绘图中的一种工具,它是有弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求。样条插值

设y=f(x)在点

x0，x1，x2,

xn的值为y0，y1，y2,

yn，若函数S(x)满足下列条件（1）S(xi)=f(xi)=yi

,i=0,1,2,

,n(1.1)（2）在每个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,

,n-1)上S(x)是三次多项式，记为（3）S(x)在[a,b]上二阶连续可微。

则称S(x)为函数f(x)的三次样条插值函数,简称三次样条。二、三次样条函数的概念

以节点处的二阶导数M为参数的三次样条插值函数三、三次样条插值函数的构造再次积分得：三次样条插值函数的构造化简得：三次样条插值函数的构造由上式可解出：代入：得：三次样条插值函数的构造第j个区间上的三次样条插值函数三次样条插值函数的构造

因此，只要能求出所有的{Mi}，就能求出样条插值函数S(x).下面考虑Mi的求法由S(x)在节点的一阶导数的连续性

三次样条插值函数的构造化简得再化简得三次样条插值函数的构造n+1个方程n－1个未知量！称为三次样条的M关系式特点：n+1个未知数，n-1个方程称为三弯矩方程可得：三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的构造

上面的方程组有n-1个方程，但有n+1个变量Mi，故还需两个方程才能求唯一解，为此引入下列边界条件第二型边界条件：已知f(x)在两端点的二阶导数

要求

S″(a)=M0=f″(a),S″(b)=Mn=f″(b)

特别当

S″(a)=S″(b)=0时，S(x)称为自然三次样条

第一型边界条件：

已知f(x)在两端点的导数,要求三次样条插值函数的构造

第三型边界条件：

已知f(x)是以b

-a为周期的周期函数，要求S(x)满足周期条件三次样条插值函数的构造化简得三次样条插值函数的构造联立方程组：三次样条插值函数的构造三次样条插值问题的解是存在且唯一的。

（在线性方程组数值解法中讲述）三次样条插值函数的构造说明三次样条插值函数的构造

已知函数f(x)的数值表如下：

x 2 4 6

f(x) 3 7 13

f′(x)1 -1 试求f(x)

在[2,6]上的三次样条插值函数

解：这是第一类边界条件的问题，n=2,hi=h=2,由公式知α2=β0=1，例5.1三次样条插值函数的构造

得方程组

2M0+M1=30.5M0+2M1+0.5M2=1.5M1+2M2=-12解得：M0=0.25,M1=2.5M2=-7.25三次样条插值函数的构造故所求的三次样条插值函数三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的构造Maths程序如下：Clear[x,y,a,b,c,n,M]x[i_]:=2i;y[1]=3;y[2]=7;y[3]=13;B=Table[{x[i],y[i]},{i,1,3}];y'[1]=1;y'[3]=-1;h[j_]:=2;a[j_]:=h[j-1]/(h[j-1]+h[j]);a[3]=1;b[1]=1;b[j_]:=1-a[j];c[1]=6/h[1]((y[2]-y[1])/h[1]-y'[1]);c[j_]:=6((y[j+1]-y[j])/h[j]-(y[j]-y[j-1])/h[j-1])/(h[j-1]+h[j]);c[3]=6/h[3-1](y'[3]-(y[3]-y[3-1])/h[3-1]);三次样条插值函数的构造不能单独用cA=Table[Switch[i-j,-1,b[j-1],0,2,1,a[j+1],_,0],{i,1,3},{j,1,3}];MatrixForm[%]CC=Table[c[j],{j,1,3}];MatrixForm[%]LinearSolve[A,CC];MatrixForm[%];M[j_]:=LinearSolve[A,CC][[j]]Table[M[j],{j,1,3}]S[j_]:=M[j+1](x-x[j])^3/(6h[j])-M[j](x-x[j+1])^3/(6h[j])+(y[j+1]-M[j+1]h[j]^2/6)(x-x[j])/h[j]-(y[j]-M[j]h[j]^2/6)(x-x[j+1])/h[j]Table[S[j],{j,1,2}];Expand[%];MatrixForm[%]注意它的含义到此求出三弯矩方程的系数矩阵解方程求出M[I]构造三次样条插值函数三次样条插值函数的构造g1=Plot[%[[1]],{x,2,4}]g2=Plot[%%[[2]],{x,4,6}]g3=ListPlot[B,Prolog->AbsolutePointSize[15]]Show[g1,g2,g3,Prolog->AbsolutePointSize[15]]注：三对角矩阵的构造A=Table[Switch[i-j,-1,a,0,b,1,c,_,0],{i,1,m},{j,1,n}];MatrixForm[%]行标减列标=-1时为对角线上方元素。作图观察效果三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的构造程序运行结果如下：系数矩阵常数项求得的弯矩值M样条函数样条插值图形三次样条插值函数的构造2、若满足S″(a)=M0=f″(a),S″(b)=Mn=f″(b），则事实上只有n-1个未知数，其矩阵形式为：三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的构造总结以上论述，可得求三次样条的步骤为：（1）确定边界条件，判定是第几类插值问题；（2）根据所确定的条件计算各值，形成方程组(**)；（3）解三对角方程组(**)，求得M0,M1,M2,,

Mn；（4）将求得的Mi值代回S(x)的表达式中，从而可求得函数y=f(x)在任一点的近似值S(x)。三次样条插值函数的构造例2．已知f(x)在若干点处的值为f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=0,试求f(x)满足条件（1）f′(0)=1,f′(3)=2（2）f”(0)=1,f”(3)=2