构造函数法在高考解导数和数列问题

用构造函数法给出两个结论的证明．〔1〕构造函数，那么，所以函数在上单调递增，．所以，即．〔2〕构造函数，那么．所以函数在上单调递增，，所以，即．要证两边取对数，即证事实上：设那么因此得不等式构造函数下面证明在上恒大于0．∴在上单调递增，即∴∴以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用．例如：2009年广东21，2008年山东理科21，2007年山东理科22．1．【09天津·文】10．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是A．B．C．D．【答案】A【解析】由，首先令得，排除B，D．令，那么，①当时，有，所以函数单调递增，所以当时，，从而．②当时，有，所以函数单调递减，所以当时，，从而．综上．应选A．【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．2．【09辽宁·理】21．〔本小题总分值12分〕函数，．〔Ⅰ〕讨论函数的单调性；〔Ⅱ〕证明：假设，那么对任意，，有．解：〔Ⅰ〕的定义域为．…2分〔i〕假设即，那么，故在单调增加．〔ii〕假设，而，故，那么当时，；当及时，．故在单调减少，在单调增加．〔iii〕假设，即，同理可得在单调减少，在单调增加．〔II〕考虑函数．那么．由于故，即在单调增加，从而当时有，即，故，当时，有．………………12分3．【09全国Ⅱ·理】22．〔本小题总分值12分〕设函数有两个极值点，且．〔I〕求的取值范围，并讨论的单调性；〔II〕证明：．【解】〔I〕由题设知，函数的定义域是且有两个不同的根，故的判别式，即且…………………①又故．因此的取值范围是．当变化时，与的变化情况如下表：因此在区间和是增函数，在区间是减函数．〔II〕由题设和①知于是．设函数那么当时，；当时，故在区间是增函数．于是，当时，因此．5．2009届山东省德州市高三第一次练兵〔理数〕21．〔本小题总分值12分〕函数在是增函数,在〔0,1〕为减函数．〔1〕求、的表达式；〔2〕求证：当时,方程有唯一解；〔3〕当时,假设在∈内恒成立,求的取值范围．解：〔1〕依题意,即,．∵上式恒成立,∴① …………1分又,依题意,即,．∵上式恒成立,∴ ② …………2分 由①②得． …………3分 ∴ …………4分〔2〕由〔1〕可知,方程,设,令,并由得解知………5分令由…………6分列表分析：〔0,1〕1〔1,+〕-0+递减0递增可知在处有一个最小值0,…………7分当时,＞0,∴在〔0,+〕上只有一个解．即当x＞0时,方程有唯一解． …………8分〔3〕设,…………9分在为减函数又………11分所以：为所求范围． …………12分7．山东省滨州市2009年5月高考模拟试题〔理数〕20．〔此题总分值12〕函数〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕当时，设斜率为的直线与函数相交于两点，求证：．解：〔Ⅰ〕略〔Ⅱ〕当时，以下先证，所以只需证，即设，那么．所以在时，为减函数，．即．又，∴成立，即．同理可证．∴．9．山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22．〔此题总分值14分〕函数在上为增函数，且，，．〔1〕求的取值范围；〔2〕假设在上为单调函数，求的取值范围；〔3〕设，假设在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．解：〔1〕由题意，在上恒成立，即．故在上恒成立，……………2分只须，即，只有．结合得．…4分〔2〕由〔1〕，得在上为单调函数，或者在恒成立．……………．．6分等价于即而．…………………8分等价于即在恒成立，而．综上，的取值范围是．………10分〔3〕构造函数当