2021届高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第1讲函数及其表示创新教学案（含解析）新人教版

第二章函数、导数及其应用

第1讲函数及其表示

［考纲解读］1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概

念.（重点）

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函

数.（重点）

3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（难点）

［考向预测］从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点.预测2021年会考查函数

的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.

基础知识过关

1.函数与映射

函数映射

两个集合

设4,8是两个叵］非空数集设48是两个画非空集合

A,B

如果按某一个确定的对应关系

如果按照某种确定的对应关系f,使对于f,使对于集合A中的画任意

对应关系集合A中的两任意一个数x,在集合B

一个元素”,在集合8中都有

£A-

中都有网唯一确定的数/'（X）和它对应画唯一确定的元素y与之对

应

称ft月一6为从集合A到集合6的一个函称£力f8为从集合力到集合

名称

数6的一个映射

函数记法函数所］y=数x），x^A映射：f：A-B

2.函数的有关概念

（1）函数的定义域、值域

在函数y=f（x）,xe/中，x叫做自变量，x的取值范围4叫做函数的画定义域;与x

的值相对应的■值叫做回函数值,函数值的集合"（x）lx®4｝叫做函数的圆值域.

（2）函数的三要素：叵|定义域、画对应关系和画值域.

（3）相等函数：如果两个函数的叵］定义域和画对应关系完全一致,则这两个函数相等，

这是判断两函数相等的依据.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有回解析法、画图象法和圆列表法.

4.分段函数

(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的回对应关

至，这样的函数通常叫做分段函数.

(2)分段函数的相关结论

①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的国并集,值域等于各段函数的值域的国

并集.

Q诊断自测

1.概念辨析

(1)对于函数/■：4-反其值域就是集合8()

(2)4={1,4,9},8={-3,-2,-1,1,2,3}.

f：的平方根是1到8的映射.()

(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.()

(4)函数y=l与是同一个函数.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)X

2.小题热身

⑴函数y=M2x—3+一^的定义域为(

X0

A5+8)

B.(一8,3)U(3,+8)

C.3)U(3,+°0)

D.(3,+°°)

答案C

]2x-320,3「3、

解析由」解得且xW3,所以已知函数的定义域为J,3U(3,+8).

[x-3#0,2L2)

(2)下列函数中，与函数y=x+l是相等函数的是()

A.y=(,y[x+l)2B.尸"+1

C.y=?+lI).y—y[^+l

答案B

解析对于A,函数广=(、问)2的定义域为{川*》一1}，与函数/=矛+1的定义域不同,

2

不是相等函数；对于B,定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C,函数y=?+l的定

义域为{x|x#O},与函数y=*+l的定义域不同，不是相等函数；对于D,定义域相同，但对

应关系不同，不是相等函数.

2x+2,xWO,

(3)若函数/•(*)=L、八则的值为()

[2"-4,x>0,

A.-10B.10

C.-2D.2

答案C

解析/U)=2i—4=一2,Hf(l)]=F(-2)=2X(—2)+2=-2.

(4)函数尸F(x)的图象如图所示，那么，/'(x)的定义域是，

值域是一，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是

_.(图中，曲线/与直线0无限接近，但永不相交)

答案[-3,0]U[1,4)[1,+8)[1,2)U(5,+8)

解析观察函数y=f(x)的图象可知，/"(X)的定义域为[-3,0]U

[1,4),值域是[1,+8),当ye[1,2)U(5,+8)时，只有唯一的x

值与之对应.

(5)已知«T)=V+5X,则F(x)=

5x+l

答案(学0)

ELL.1rt1/\,15t+l/\5x+l/,\

解析令％=；，贝U，W0，x=z，f(t)=M'+5•-j=­1.所以t/Xx)=——(%^0).

经典题型冲关

题型一函数的定义域

【举例说明】

-X

1.函数y(X—1)°的定义域是()

AJ12+x—x

A.{x|—3<x<l}B.{x|—3<x<2且;r#l}

C.{x|0VxV2}D.{x\l<x<2}

答案B

(2—x>0,'x<2,

解析要使函数解析式有意义，须有｛12+*—/>0,

解得・一3Vx<4,所以

L—1W0,

xWl,

-3<%<2且xWl.故已知函数的定义域为{x-3<x<2且#1}.

fx

2.函数『(*)的定义域是[2,+8),则函数y=-十的定义域是()

X—2.

A.[1,+°°)B.(—8,1]

C.[1,2)U(2,+8)D.[2,+8)

答案C

2x22,fx

解析依题意得_解得>21且xW2,所以函数尸一的定义域是[1,2)

X一2/0,x-乙

U(2,+oo).

3.(2020•安阳三校联考)若函数/■(才)=取戒+加x+1的定义域为一切实数,则实数0的

取值范围是()

A.[0,4)B.(0,4)

C.[4,+8)D.[0,4]

答案D

解析由题意可得加+RX+1N0恒成立.

当m=0时，1•0恒成立；

[/»>0>

当勿W0时，则。解得0</z;W4.

[m—4/nWQ,

综上可得，QWmW4.

【据例说法】

1.函数y=F(x)的定义域

2.抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数/"(x)的定义域为[a,b\,则复合函数外g(x)]的定义域由aWg(x)W6求

出.如举例说明2中/'(X)的定义域是[2,+8),/'(2X)中x应满足2x22.

(2)若已知函数/tg(x)]的定义域为[a,b\,则/Xx)的定义域为g(x)在xG[a,3时的值

域.

3.己知函数的定义域求参数问题的解题步骤

(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问

题.如举例说明3.

(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围.

I【巩固迁移】

,________9

1.函数f(x)=#—1+9x+10----1----的定义域为()

A.[1,10]B.[1,2)U(2,10]

C.(1,10]D.(1,2)U(2,10]

答案D

—x+9x+1020,

解析要使原函数有意义，则rT>0,解得1<W1O且正2,所以函

1W1,

.________9

数f[x)=八一〉+9.+10------——的定义域为(1,2)U(2,10],故选D.

2.(2020•东北师大附中摸底)已知函数/Xx)的定义域是[0,2],则函数式才)=(*+习+

《X—J的定义域是()

"11ri

A.2f1B.5，2

「131r31

r——ni—

2j\_2_

答案c

2iQi3

解析由题意得J解得5WXW5,所以函数g(x)的定义域是5,

3.已知函数y=/〈『+2/〈v+3的定义域为比则实数左的取值范围是.

答案[0,3)

1%>0,

解析当4=0时，y=1,满足条件；当4W0时，由12c,A得ov4V3.综上,

314尸一12AV0,

0WY3.

题型二求函数的解析式

【举例说明】

1.已知l)=lgX,则f(x)=________.

2

答案lg—(力一1)

XI1

292(2\

解析令£=一一1,则由"0知一一1>—L所以由/匕-1=lgx,得f(t)=

XXLI1J

22

1g二]Z7(力—1),所以f(x)=lgFY(X>—1).

£+1x-r1

2.已知/(%+^=/+才-2,则-J)=.

答案f-2(x22或g一2)

解析因为(*+})=才2+/2=(彳+；)—2,

且当x>0时，x+，22；当x<0时，2,

xx

所以/*(才)=/一2(才22或^<—2).

3.已知F(x)是二次函数且F(0)=5,F(x+1)—F(x)=x—1,则F(x)=.

13

答案-x—~x+5

解析因为/'(x)是二次函数且F(0)=5,

所以设f(x)=a/+6x+5(aW0).

又因为F(x+D—f(x)=x—L

所以a(x+iy+b(x+l)+5—(a/+Z?x+5)=x—1,

[2a—1=0,

整理得(2a—l)x+a+6+l=0,所以

[a+b+l=0f

i3i3

解得a=,b=—/所以F(x)=5「—,x+5.

4.已知f(x)满足2F(x)+d=3x,则f{x)=.

答案2x」(x#0)

x

解析因为2/•(x)+/(；|=3x，①

所以将A■用工替换，得2/f3+f(x)=2②

X\x)X

由①②解得/'(x)=2x—：(xW0),

即f(x)的解析式是f\x)=2x—：(x#0).

【据例说法】

求函数解析式的四种方法

由已知条件/TgG)]=*(x),可将尸(1)改写成

关于gG)的表达式，然后以r瞽代g(#),便得

/(%)的解析式，如举例说明2.

对于形如)=Ig(])]的函数解析式.令，=g(x).

从中求出nV(0,然后代入表达式求出/(力.

再将“奂成工，得到/(#)的解析式，要注意新元

的取值范围，如举例说明1.

先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性

T质.或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解

方程(组)求出相应的待定系数，如举例说明3.

巳知关于八4)与/(4)或/(T)的表达式，可根

据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，

通过解方程组求出/(%),如举例说明4.

I【巩固迁移】

1.若函数Ax)是一次函数，且/tf(x)]=4x+3,则函数Ax)的解析式为

答案f{x)=2x+l或F(x)=—2入一3

解析设f(x)="+b(aWO)，

则f\_f{x)}=af{x)+b=ax+ab-\~Z?=4^+3,

fa=4,a=2fa=-2

[a6+b=3,解得g或

b=T

f{x)=2x+l或f(x)=-2x—3.

2.己知F(W+l)=x+2W，则函数的解析式为_______.

答案F(x)=*—1(x21)

解析解法一：Vf(^/x+l)=x+2y[x=+2y[x+l—l=(^/%+l)2—1,且正+

121.

f(x)=f—1(x2i).

解法二：设1=W+1,则产=(--1)2121).

代入原式有/'(z)=(t—1)’+2(t—1)=t2—2匕+1+21—2=f2—1.

故f(x)=♦—1(x》l).

题型三分段函数多角探究

【举例说明】

9角度1求分段函数的函数值

iogsx,x>0,

1.己知函数/'(x)='/则f等于()

2',xWO,

1

4-

A.4

I

C.-4D.

4

答案B

解析(€=l°g4=-2,

=A-/2)\=-1

9角度2分段函数与方程、不等式的综合问题

4x+a,XL

2.设函数F(x)=若/2=4,则实数a=)

2\后1,

_2_4

A.-3B.-3

42i2

C.—口V—D.-2或一耳

3史3o

答案A

28

解析b所以2=4X-+a=^+~

«Jo

OCO

若々+可21,即a2一金时，23+可=4,

oOo

Q25

即a+w=2=>a=一鼻>一鼻(成立)；

O«5o

若d+?<l,即水一，时，则4升学+a=4,

452

即a=一可o>一可<3(舍去)，综<3上a=—~

[2'\xWO,

3.(2018•全国卷I)设函数F(x)=八则满足f(x+D〈F(2x)的x的取值范

1,王〉0,

围是()

A.(—8,—1]B.(0,+°°)

C.(-1,0)D.(一8,0)

答案D

[2K0,

解析将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知.「解得\、=2-

水0,所以满足/'(x+l)<f(2x)的x的取值范围是(一8,0).故选D.

【据例说法】

1.求分段函数的函数值

(1)基本步骤

①确定要求值的自变量属于哪一区间.

②代入该区间对应的解析式求值.

(2)两种特殊情况

①当出现HHa)］的形式时，应从内到外依次求值.如举例说明1.

②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端

点.如举例说明2,求/(|)后再求/'(I)要分类讨论.

2.解分段函数与方程或不等式问题的策略

求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式.应根据每一段

的解析式分别求解.若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需

依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解.解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段

的自变量的取值范围.如举例说明3.

【巩固迁移】

1.设函数F(x)=，]「则4)]—

lgx,

答案一1

解析=/(16-4-2)=f(10)=-1.

展-1,x20,

2.函数/1(分=!

若F(a)Wa,则实数a的取值范围是一

1

一，x<0,

lx

答案［-1,+8)

解析当a20时，由/'(a)=；a—lWa解得己2—2,所以a20；当水0时，由f(a)

解得一IWaWl且aWO,所以一1W水0.综上所述，实数a的取值范围是［—1,+°°).

a

［2x+a,x<\,

3.已知实数a/0,函数F(x)={、若F(l—a)=f(l+a),则a的值为

［—x—2a,x^\.

3

答案-4

解析当a>0时，1—a<1,1+1,由/'(1—a)=f(l+a),可得2(1—a)+a=—(1+a)

3

—2a,解得a=-5,不符合题意.当丛0时，1—a>l,l+a<l,由/'(1—a)=f(l+d),可得

3

—(1—<a)—2a=2(l+a)+a,解得a=一?符合题意.

课时作业

A组基础关

i.下列各组函数中不表示同一函数的是()

A.F(x)=lgx,g(x)=21g\x\

B.F(x)=x,双力=羽

C.f(x)=7^—4,g(x)=yjx+2•yjx—2

x+1，X3—1,

D.f(x)=|x+l|,g(x)=《，/,

—x—1,K—1

答案c

解析A中，g^x)=21gUI=lgx,则f(x)与g(x)是同一函数；B中，g(x)=W7=x,

则f(x)与g(x)是同一函数；C中，函数/"(x)的定义域为(-8,-2]U[2,+8),

函数g(x)=、x+2•、x—2的定义域为[2,+8),则/'(x)与g(x)不是同一函数；D中，/'(x)

{x+1,X2一1

/则/1(*)与g(x)是同一■函数.故选C.

-%—1,X-1,

2.若则当xHO,且xWl时、F(x)等于()

答案B

解析当xWO,且xWl时、所以/'(x)=」一；■.

\xj\—xx~1

x

3.已知等腰△/%的周长为10,则底边长？关于腰长x的函数关系式为尸10—2%则

函数的定义域为()

A.{x|x£R}B.{x\x>0)

C.{x|0VxV5}D.{x

答案D

x>0

f5

解析由题意知J10-2^>0,即5<XV5.

、2x>10—2x,

I—、/x0

4.设f(x)=〈N'"'则九以—2)]等于()

12V,X0,

A.-1B.；

13

C.~D.-

答案C

解析由已知得，/(—2)=2'=1,/I/(—2)]=/Qj=1—^4=1—2=21

2*一|-2,

5.已知函数f(x)={且F(a)=—3,则/'(6—a)=()

—Iog2x+,x>l,

75

_--

Ac.4B.4

31

--

-4D.-4

答案A

解析当aWl时，不符合题意，所以a〉l,即一log2(a+l)=-3,解得a=7,所以/\6

7

—a)=F(—1)—2'—2——-

6.己知[=〃GN},给出下列关系式：①f(x)=*；②/■(%)=*；③/(入)=*3；

④f(x)=x'；⑤/'(*)=*+1,其中能够表示函数工力一力的个数是()

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析A—{x\x—rf,〃WN},①中/1(%)="¥,若xW月，则"GN,则/'(x)=/A

"WN,满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；②中/•(*)=*,

2

若则x=/,〃CN,则f(x)=(力2,neN,满足4中任何一个元素，在4中都有唯一

的元素与之对应，故正确；③中/'(%)=矛3,若XG4则x=*〃GN,则/■(x)=(z/)2,/?GN,

满足4中任何一个元素，在4中都有唯一的元素与之对应，故正确；④中f(x)=x',若

则x=，，"CN,则f(x)=(")2,/?'6N,满足4中任何一个元素，在/中都有唯一的元素与

之对应，故正确；⑤中/Xx)=f+l,若x=l,则/Xx)=244不满足4中任何一个元素，在

4中都有唯一的元素与之对应，故错误；故能够表示函数£/一4的个数是4.

fl,x为有理数，厂

7.(2020•马鞍山质量检测)已知函数Hx)=则f(l)+f(也)+

10,才为无理数，

f(y[3)+-+f(y/2020)=()

A.44B.45

C.1009D.2018

答案A

解析因为44、1936,45?=2025,所以44〈地碗<45,所以1,小，小，…,小丽

中有44个有理数，所以F⑴+/■■②+f(小)+•••+/6「丽)=44.

8.若函数f(x)=/x—2a+ln(6—x)的定义域为⑵4),则a+6=

答案5

x—2a20

‘二’解不等式组得一：・・•函数f(x)=

{b-x>0f[x<b.

2a=2,a—]

y[x—2a+ln(6—x)的定义域为[2,4),・二.\c?+Z?=1+4=5.

6=4,b=4.

9.若函数F(x)在闭区间[-1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为

卜+1,一lWxVO,

F(x)=\1

答案

一滑

解析由题意，当一IWxVO时，直线的斜率为1,方程为y=x+l；当0<xW2时，直

线的斜率为一看方程为y=—所以函数的解析式为

%+1,—1WxV0,

f(x)=<

一0WxW2.

1,xWO,

10.已知F(X)=J2使成立的x的取值范围是

[―X—2,*>0,

答案[-4,2]

解析解法一：由题意知

'xWO,

x>0,

,1,、或彳2、

~x+1^—1I一X—■>—1.

解得一4WxW0或0<xW2,

故x的取值范围为[—4,2].

解法二：在同一平面直角坐标系中分别作出函数

1+1,

xWO,

尸f(x)=与y=~1的图象.

2

-X—x>0

如图所示，其交点分别为(—4,-1),(2,-1).

由图象知满足一1的x的取值范围是[-4,2].

组能力关

1.(2019•大同模拟)具有性质:役=—f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函

数.下列函数:

"x,0<Xl,

-1\~x-I0,x=l,

①尸X一一；②InT5-;③

xi-rx

--，x>l.

Ix

其中满足“倒负”变换的函数是()

A.①②B.①③

C.②③D.①

答案B

解析对于①，/(；)='—x=-f(x),满足题意；对于②，f(x)=ln

则/(T)=ln—不满足；对于③，/(_)=<0,1=1，即/(+)=

—X,->1,

fl

X>1,

c.故/f3=-f(x)，满足题意・

0,x=\,\x)

、一X,0<A<l.

2.(2020•惠州调研)若函数尸『⑵)的定义域为a2,则y=F(log2X)的定义域为

答案