2023年四川省成都市龙泉驿高考数学二模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.定义在R上的函数/(x)满足'则”2019)=()

jIx-JIx>U

A.-1B.0C.1D.2

4.设等差数列｛4｝的前"项和为S“，若2+%=4+。3,则S?=()

A.28B.14C.7D.2

5.将函数/(x)=sin卜+看］图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移g个单位长度，得到函数

y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心为（）

A.信o）B.与0）c.（肛。）D.厚,o）

6.（1—2x）的展开式中工2的系数为（）

x

A.-84B.84C.-280D.280

7.如图，平面a与平面仅相交于BC,ABua,CDu。，点AwBC,点。任BC,则下列叙述错误的是（）

A.直线A£）与8c异面

B.过AO只有唯一平面与平行

C.过点。只能作唯一平面与8c垂直

D.过AO一定能作一平面与8C垂直

8,中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝

才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛,

每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

9.已知aeR若（Lai）（3+2i）为纯虚数，则（1的值为（）

_33_22

A.B.-C.D.-

~22~33

10.已知。，?是空间中两个不同的平面，人〃是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A.若mua,nu0,且aJ•6，则加

B.若相ua,〃ua,且加///7,〃//月，则。///?

C.若根_La,〃//耳，且a_L/7,则加_1.〃

D.若根_La,〃///7,且a///?,则〃

11.设正项等比数列｛为｝的前〃项和为s“，若52=3,%+%=12,则公比4=（）

A.±4B.4C.±2D.2

12.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好

者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A,C处作圆弧的切

线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB=6cm,BC=6cm,AC=10.392cm（其中走。0.866）.根据测量得到

2

的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有种（比

如：8与8与C是相邻的，A与。、C与O是不相邻的）.

22

14.若双曲线=-4=1（。>0,6>0）的两条渐近线斜率分别为占,%若"，=-3,则该双曲线的离心率为________.

a~b"

/（外）一/（々）

15.设函数/（x）=x|x-a|,若对于任意的X1,x2G[2,+oo）,%#%，不等式〉0恒成立，则实数a

X]-x2

的取值范围是.

16.等边AABC的边长为2,则福在元方向上的投影为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在数列｛4｝中，已知q=1,且叫用=（〃+1）。“+3〃（八+1）,〃GN*.

（1）求数列的通项公式;

（2）设a=△一L,数列｛2｝的前〃项和为证明：

见4川43

18.(12分)AABC的内角A、B、C所对的边长分别为“、b、c,已知acosB=(4c-Z?)cosA.

(1)求cosA的值；

uuur.—

(2)若h=4,点M是线段3C的中点，AM=V10,求AABC的面积.

19.(12分)2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G,我们国家的移动通信业务用了不到20年的时

间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中

随机抽取了100()人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：

用户分类预计升级到5G的时段人数

早期体验用户2019年8月至2019年12月270人

中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人

后期用户2023年1月及以后200人

我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早期体验

用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).

人数占比

(1)从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；

(2)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10

元以上的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户

的人数有变化？说明理由.

20.(12分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为b,已知。=3,c=8,角A为锐角，AABC的面

积为6月.

(1)求角A的大小；

(2)求。的值.

21.(12分)已知函数/(x)=e'-ln(x+〃2)+〃2,me/?.

(1)若x=0是函数f(x)的极值点，求/a)的单调区间；

(2)当相《2时，证明：/(无)>肘

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(O,G),曲线C：[x=8cosa为参数)以原点为极点，x

'7[y=2sin6z

轴正半轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为pcos(0-^}=—.

\6J2

(I)判断点P与直线/的位置关系并说明理由；

11

(DD设直线与曲线。的两个交点分别为A，B,求两+两的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

推导出〃2019)=/(403x5+4)=/(4)=/(T)=log22,由此能求出“2019)的值.

【详解】

/、|log(l-x)x<0

•.•定义在R上的函数〃x)满足=?，

J(X—JIX>U

/./(2019)=/(403x5+4)=/(4)=/(-1)=log22=1,故选C.

【点睛】

本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.

2.C

【解析】

判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.

【详解】

f(T)=一〃％),.••函数是奇函数,排除。，

%6(0,1^时，/(》)>0,%€仁,乃)时，/(力<0,排除B,

当2］时，sin2xe(0,1),e-,-e^(z(0,l)

k2J8188,

时，/(x)e(O,l),排除A，

C符合条件，故选C.

【点睛】

本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，

以及单调性，极值点等排除选项.

3.B

【解析】

根据复数除法的运算法则，即可求解.

【详解】

z(l-z)=2+2z,z=y^=2z.

故选:B.

【点睛】

本题考查复数的代数运算，属于基础题.

4.B

【解析】

根据等差数列的性质/+%=%+%并结合已知可求出应,再利用等差数列性质可得S1=7(’=7%,即可求

出结果.

【详解】

因为4+%=%+。5，所以2+%=%+%，所以4=2,

所以§7=誓®=74=1%

故选：B

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质及前〃项和公式，属于基础题.

5.D

【解析】

根据函数图象的变换规律可得到y=g(x)解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.

【详解】

解：/(x)=sin卜+高图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，得到sin《X+总

再将图像向左平移9个单位长度，得到函数g(x)=sin+的图象

3|_2V3J6

g(x)=sin,x+9g图=0

故选：D

【点睛】

考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.

6.C

【解析】

由题意，根据二项式定理展开式的通项公式,得(1—2X)7展开式的通项为(+1=(—2)"&3,贝！I

(1-2可展开式的通项为=(一2)"球ft,由左一1=2,得攵=3,所以所求/的系数为(_2)3(^=-280.故选

x

C.

点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幕的运算等有关方面的知识与技能，属于中低

档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式再根

据所求问题，通过确定未知的次数，求出厂，将「的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.

7.D

【解析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.

【详解】

A.假设直线AZ)与共面，则A,D,B,C共面，则AS,CO共面，与ABu。，。。＜=用矛盾，故正确.

B.根据异面直线的性质知，过AO只有唯一平面与8C平行，故正确.

C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.

D.根据异面直线的性质知，过AO不一定能作一平面与8C垂直，故错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

8.B

【解析】

人每天走的路程构成公比为;的等比数列，设此人第一天走的路程为外,计算％=192,代入得到答案.

【详解】

由题意可知此人每天走的路程构成公比为'的等比数列，设此人第一天走的路程为q，

2

4401।0丫

贝IJ2」=378，解得％=192,从而可得%=192x上=96,4=192x-=24，故生一4=96—24=72.

12

1—

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

9.A

【解析】

根据复数的乘法运算法则化简可得3+勿+（2-3。尸，根据纯虚数的概念可得结果.

【详解】

由题可知原式为3+2a+（2-3a）i,该复数为纯虚数，

3+2。=03

所以《

2—3。。02

故选：A

【点睛】

本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.

10.D

【解析】

利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理，对选项做出判断，举出反例排除.

【详解】

解：对于A，当mua,nu0,且则相与〃的位置关系不定，故错；

对于B,当机〃〃时，不能判定&//£,故错；

对于C,若加，①〃//月，且则机与〃的位置关系不定，故错；

对于O,由根_La,。//?可得根，尸，又〃//月，则故正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理.一般可借助正方体

模型，以正方体为主线直观感知并准确判断.

11.D

【解析】

由$2=3得《+%=3,又/+4=（%+/）/=12,两式相除即可解出4.

【详解】

解：由$2=3得q+々=3,

又生+%=（4+4）/=12,

二q2=4,：.q=-2,或4=2,

又正项等比数列｛4｝得4>0,

：.q=2,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题.

12.A

【解析】

由已知AB=BC=6,设NABC=26.可得sin。=工^=0.866.于是可得。，进而得出结论.

【详解】

解：依题意AB=BC=6,设ZABC=26.

贝IIsin0=）6=0.866«—.

72

:.0=-,20=—.

33

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为a.

贝（Ia+2。=万，

71

0L——・

3

故选：A.

【点睛】

本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.192

【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，②，将剩下的4人安排在剩下的4

个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】

根据题意，分2步进行分析：

①，在三对父子中任选1对，有3种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，

有3x4=12种安排方法；

②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有2x2x2x2=16种安排方法，

则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法16x12=192种；

故答案为：192

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

14.2

【解析】

由题得k、k,=—二=—3，再根据二=e2—1求解即可.

a~a~

【详解】

22L.if,212

双曲线与一与=1的两条渐近线为＞=±7,可令《=——&=—，则供=一”=一3,所以】=02-1=3,解得

crtraaaa

e=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.

15.a<2

【解析】

试题分析：由题意得函数/0)=乂》-4在［2,+8)上单调递增，当时/(x)=x(x-G在［2,+℃)上单调递增;

当。>2时/(%)=%k一4在［。,+8)上单调递增；在［2,a)上单调递减，因此实数a的取值范围是a《2

考点：函数单调性

16.-1

【解析】

建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB在瑟方向上的投影即可.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：4(0,0),B(2,0),C(1,V3),

则：髭=(2,0),阮=(-1,6),ABBC^-2

且网=2,闻=而，

ABBC-2,

据此可知砺在就方向上的投影为^T=T=-1

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2见解析.

17.(1)an=3n-2n；(2)

【解析】

(1)由已知变形得到也-%=3,从而｛%｝是等差数列，然后利用等差数列的通项公式计算即可;

n+1nn

(2)先求出数列｛〃｝的通项，再利用裂项相消法求出7“即可.

【详解】

(1)由已知，4iL=%+3,即乙一2=3,又曳=1,则数列｛%｝是以1为首项3

n+1nn+1n1n

为公差的等差数列，所以%=l+(〃-l)x3=3〃-2,即。“=3/-2〃.

n

〃(〃+1)_1_______11

(2)因为=几(3〃-2),则23〃+1)

anan+}(3〃-2)(3〃+1)33n-2

所以K扣T+(；T)+…+(仁-*)］乜=31-W，又

口一不二｝是递增数列，所以工？工=!，综上，

3〃+1443

【点睛】

本题考查由递推公式求数列通项公式、裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道基础题.

18.(1)cosA=；(2)=2715

【解析】

(1)利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，即可得出cosA的值；

(2)由题意得出而+而=2而，两边平方，化简得出c=4,根据三角形面积公式，即可得出结论.

【详解】

(1),/acosB=(4c-b)cosA

由正弦定理得sinAcosB=(4sinC-sin8)cosA

即sinAcosB+cosAsin3=4sinCcosA

即sinC=4cosAsinC

在△ABC中，sinCwO,所以cosA=~

4

(2)因为点M是线段8C的中点，所以而+衣=2通7

两边平方得AB2+AC"+2AB-AC=4AM'

由/?=4,|AA/|-V10,cosA=；,sinA-+Z?_+2xcxZ?x—=4x10

整理得c?+16+2c=40,解得c=4或c=-6(舍)

所以AABC的面积S=-Z?csin4=2

2

【点睛】

本题主要考查了正弦定理的边化角公式，三角形的面积公式，属于中档题.

19.(1)0.8(2)详见解析(3)事件。虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02,所以认为早期体验用户没有发生

变化，详见解析

【解析】

(1)由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G,结合古典撷型的概率计算公式，

即可求解；

(2)由题意X的所有可能值为0」,2,利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分

布列，利用期望的公式，即可求解.

(3)设事件。为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，得到七概率为2。)，即可

得到结论.

【详解】

(1)由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早

期体验用户和中期跟随用户的频率，即之需型=。8・

(2)由题意X的所有可能值为0』,2,

记事件A为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，

事件3为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G多支付10元或10元以上”，

由题意可知，事件A,8相互独立，且P(A)=l—40%=0.6,P(B)=1—45%=0.55,

所以P(X=0)=P(AB)=(1-0.6)(1-0.55)=0.18,

P(X=1)=P(AB+M)=P(AB)+P(AB)=P(A)(1—P(B))+(1-P(A)P(B)

-0.6x(1—0.55)+(1—0.6)x0.55=0.49,

p(X=2)=P(AB)=0.6x0.55=0.33,

所以X的分布列为

X012

P0.180.490.33

故X的数学期望E(X)=0x0.18+1x0.49+2x0.33=1.15.

(3)设事件。为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，那么P(D)=廿之0.02.

回答一：事件。虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02,所以认为早期体验用户没有发生变化.

回答二：事件。发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.

【点睛】

本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清

楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学

期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.

1T

20.(1)一；(2)7.

3

【解析】

分析：(1)由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A；(2)利用余弦定理公式和(1)中求得的A求

得a.

详解：(1)V5MBC=^csinA=；x3x8xsinA=6>/5,

...6

••sinA=——，

2

；A为锐角，

71

A=—；

3

(2)由余弦定理得：

a=\/b2+c2-2Z?ccosA=^9+64-2x3x8x^-=7.

点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记

,222

两种形式：(1)a2=b2+c2-2bccosA.(2)cosA」十。一。,同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，

2hc

在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30",45",60"等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

21.(1)递减区间为(-1,0),递增区间为(0,+8)(2)见解析

【解析】

(1)根据函数解析式，先求得导函数，由x=0是函数的极值点可求得参数加.求得函数定义域，并根据导函数

的符号即可判断单调区间.

(2)当加<2时，皿％+机)〈皿x+2).代入函数解析式放缩为/(幻=6,—111。+机)+〃亚产一111(%+2)+〃2,代入

证明的不等式可化为e'-ln(x+2)>0,构造函数〃(x)=e'-ln(x+2),并求得"(幻，由函数单调性及零点存在定

理可知存在唯一的飞,使得〃'(/)=6%-不三=0成立，因而求得函数人。)的最小值M/)=e~—ln(Xo+2),由对

数式变形化简可证明/7(后)>0,即〃(幻？〃(%)>0成立，原不等式得证.

【详解】

(1)函数/(尤)=，-ln(X+〃2)+加,〃2£R

可求得f\x)=eA一——,则1(0)=1--=0

x+mm

解得m=1,

所以/(x)=ev-ln(x+1)+1,定义域为(-L+oo)

•••f\x)=ex一一匚在(―1,+oo)单调递增，而广(0)=0,

x+1

.•.当xe(—1,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减，

当xe(0,+8)时，f\x)>0,/(X)单调递增