2020-2021学年盐城市阜宁县高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年盐城市阜宁县高二上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.不等式：<[的解集是()

A.(-c»,3)B.(3,+8)

C.(-oo,0)U(3,+oo)D.(0,3)

2.设△力BC的三内角4、B、C成等差数列，sinA.sinB.sinC成等比数列，则这个三角形的形状

是()

A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三形D.等边三角形

3.在空间直角坐标系Oxyz中，已知4(0,0,3),B(0,4,3),C(3,4,3),则)

A.等腰三角形B.钝角三角形C.锐角三形D.直角三形

4.设a、则“ab片0”是“繇〈1”成立的()条件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充分且必要D.非充分非必要

22

5.椭圆a+(-=1上的点到直线x+2_y-后=0的最大距离是()

A.3B.而c.710D.272

6.函数f(x)=ln(x+1)在点(0,/(0)处的切线方程为()

A.y=x­1B.y=xC.y=2x—1D.y=2x

7,下列推理正确的是()

A.如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖

B.因为a>c,所以a—b>Q—c

C.若a,b均为正实数，则Zga+Igb.[Iga•Igb

D.若a为正实数，ab<0,则?+?=—(常+?)三一2后二=一2式一2

8.已知0VaV5且出几5=Sina,0<b<6且bm6=6lnbf0<c<7且&几7=7Inc,则a,b,c的

大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.某城市为了解二手房成交价格的变化规律，更有效地调控房产经济，收集并整理了2019年1月

至2019年12月期间二手房成交均价（单位：元/平方米）的数据（均价=销售总额+销售总面积），

B.年均价一定小于18000元/平方米

C.月均价高峰期大致在9月份和10月份

D.上半年月均价变化相对下半年，波动性较小，变化比较平稳

10.关于x、y的方程三+痣=l（k芋±2）可能表示的曲线是（）

A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线

11.已知函数（x）=+勿）（力>0,3>0,0<0<兀）的最小正周期为4,其图象的一个最高点

为4（：,2）,下列结论正确的是（）

A.y=/（x）图象的一个对称中心为6,0）

B.y=/（%）的图象关于％=1对称

C.若|/（右）-f（%2）l=4,则由-％2I的最小值为2

D.将图象上各点的横坐标变为原来的右纵坐标不变，得到/i（x）图象；再将伏乃图象向右

平移9个单位长度，得到函数y=+》的图象

6o

12.已知函数/（x）=e*-ax有两个零点%i，x2,有下列判断：

①a<e：②/+x2<2;③/-X2>1；④函数/（久）有极小值点刈），且右+右<2x0.

其中错误的是（）

A.①B.②C.③D.④

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.(文)已知P为△ABC所在平面夕卜一点，且P4PB,PC两两垂直，则下歹U结论：①PA1BC;②PB1

AC；@PC1AB；④AB1BC.其中正确的是(写出所有正确的命题的序号).

14.12已知数列｛%｝为等差数列,S*为其前万项和,且町+%,=2,则SJQO=

15.己知正方体4BC0-4'B'C'D'中：8C'与CD'所成的角为.

16,椭圆C：捺+5=l(a>b>0)的左顶点为4右焦点为尸2，过点4且斜率为4的直线交椭圆(;于

另一个点B,BF2垂直于x轴，若g<k<|，则椭圆的离心率的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知p：｛xlE+jj]。｝,q：(x\l-m<x<l+m,m>0],若"是飞的必要不充分条件，

求实数小的取值范围.

18.己知数列｛0｝是等差数列，且。2=1，且。4=2;数列｛匕｝是正项数列,且电=3,且/=14,

且数列｛5+%｝是等比数列.

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(n)求数列｛勾｝的前n项和为％.

19.已知函数为/'(%)=ax+Inx,其中a为常数.

(1)当a=-l时，求/(x)的最大值；

(2)若/。)在区间(0,e](e为自然对数的底数)上的最大值为-3,求a的值.

20.)如图所示，在三棱锥P-/WC1中，AB=BC=痴，平面P4C_L平面力BC,PO_L4c于点。，40=1,

CD=3,PD=6.

(1)证明：APBC为直角三角形；

(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.

21.(12分)如图，已知抛物线j二=4x，点产1%0)是x轴上的一点，经过点尸且斜率为1的直线，与

抛物线相交于几5两点.

(1)求证线段一必的中点在一条定直线上，并求出该直线方程;

(2)若，训=4|。尸|(。为坐标原点)，求a的值.

22.已知函数/(x)=ex-1-ax,g(x)=a-l(aeR).

(1)试讨论函数的零点个数：

(2)若当x21时，关于x的方程/(乃=9。)+6有且只有一个实数解，求实数a的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：c

解析：解：不等式［<1移项得：

那么：<0

3x

化简成：3x(3-x)<0,

解得：x>3或％<0.

所以：不等式的解集为(-8,0)U(3,+8).

故选：C.

不等式移项得：:一;<0,化简成：3x(3-均<0,从而求解.

本题考查不等式的解法，通过移项化成一边为0,通分，转化成分式不等式求解.属于基础题.

2.答案：D

解析：

本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.

由力、B、C成等差数列求得8,由s勿力、sinB、sinC成等比数列和正弦定理得扭=*再用余弦定

理，求出a=c,即可判断A/IBC的形状.

解：三角形4BC的三内角4,B,C成等差数列=B=60。，

siii/LsinT?.sinC成等比数列->sin2/?sin.4sinC>

由正弦定理得接=ac,

由余弦定b~=a2+c~2am得ac=a2+c2—ac,

解得a=c,

所以△ABC为等边三角形，选D

3.答案：D

解析：解：在空间直角坐标系。xyz中，已知4(0,0,3),F(0,4,3),C(3,4,3),

•••AB=(0,4,0)，AC=(3,4,0)，BC=(3,0,0)，

且荏BC=0x3+4x0+0x0=0>

•••AS1BC.

为直角三角形；

故选：D.

根据空间向量的坐标表示，写出同、AC.BC，判断南.近=0,即可判断得解.

本题考查了空间直角坐标系的应用问题，是基础题.

4.答案:A

解析：解：ab>0时，|a+b|=|a|+|b|,•••需|=1；

ab<0时，|a+b|<|a|+网，♦••器篙<1,

ab=0且a,b不同时为0,\a+b\=|a|+\b\,-=1,

综上所述不等式繇<1成立的条件为a,b不同时为0.

IU,ITIPI

故“ab力0”是“黑卷<1”成立的充分不必要条件，

1。1+向

故选：A.

通过分析a,b的符号，以及充分必要条件的概念判断即可.

本题考查了不等式的性质，是一道基础题.

5.答案：C

解析：解：椭圆方程为二+二=1，可设椭圆上的任意一点尸坐标为(4cosa,2sina)

164

产到直线工+2y一亚=0的距离

4cosa+2x2sina-^|4任in(a+£-逝

7i2+22―忑

-4五V4五sin(a+令<4-72

3布「6Q9+：)一加,而

5石一

d的最大值为而i

故选C

6.答案：B

解析：

本题考查了切线方程问题，考查函数导数的几何意义，是一道基础题.

求出函数的导数，计算〃0),尸(0),求出切线方程即可；

解：函数-久)=ln(x+l),可得((无)=W，

八0)=1,/"(0)=0,

故切线方程是y-0=x—0,

整理为y=x.

故选B.

7.答案：。

解析：解：对于4,如果不买彩票，那么就不能中奖.即使你买了彩票，你也不一定中奖，故A错

误；

对于B,因为a>b,a>c,但是a-b不一定大于a-c,故B错误；

对于C,Iga、可能为负值，不满足均值不等式成立条件；

对于D,a为正实数，ab<0,则"，=_叶+?)三2后。=—2勺一2,故正确；

故选：D

4中，即使你买了彩票，你也不一定中奖；B中，a-b不一定大于a-c；C中，Iga、/gb可能为负值;

由均值定理知。正确.

本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用.

8.答案：B

解析：解：令F(x)=等，则〃(%)=空，

易得，当0<x<e时，Fz(x)>0,函数单调递增，当时，F\x)<0,函数单调递减，

因为0VQV5,0<&<6,0<c<7,

所以c:>b>Q>e,

所以f(c)Vf(b)Vf(a),

则a>b>c.

故选：B.

结合已知不等式构造函数F(x)=詈，结合导数可判断函数单调性，进而可比较函数值大小.

本题主要考查了利用函数单调性比较函数值大小，导数的应用是求解问题的关键.

9.答案：ACD

解析：A.极差等于极大值-极小值.根据折线统计图，可得极大值＞19000,极小值＜15000,所以

极差〉19000-15000=4000元/平方米，故A正确；

B.由于每月的成交数量未知，因此平均价无法确定，故B错误：

C根据折线图可得，月均价高峰期大致在9月份和10月份，故C正确；

。.根据折线图，可知1―6月份极差＜18000-15000=3000元/平方米，7-12月份极差〉4000元/

平方米，所以可判定上半年月均价变化相对波动性较小，变化比较平稳.故。正确.

故选：ACD.

数据分析题目，可根据定义进行分析判断.

本题重在考查折线图对于数据的变化的反映，属于基础题.

10.答案：ABD

解析：解：对于4：若表示焦点在x轴上的椭圆，

则生禽:小解得

所以当kw(-1,1)时，曲线是焦点在％轴上的桶圆，故A正确；

对于8：若表示焦点在工轴上的椭圆，

则乃一竹＞?12,解得卜＜-1或k＞l且2±2,

所以当(-8,-2)1；(-2,-1)11(1,2)0(2,+8)时，曲线是焦点在y轴上的椭圆，故8正确；

对于C：若表示焦点在x轴上的双曲线，

则(，一弓＞?，无解,故C不正确；

(2+MV0

对于D：若表示焦点在y轴上的双曲线，

则附与＞2,解得k＜—2或k＞2,

(4-k2＜0

所以当ke(-8,-2)1；(2,+8)时，曲线是焦点在y轴上的双曲线，故。正确；

故选：ABD.

根据各选项中方程所表示的曲线的形状求出山的取值范围，即可判断各选项的正误.

本题考查圆锥曲线的方程，属于基础题.

11.答案：ACD

解析：解：由己知詈=4,3=]，4=2,2sin(]x[+s)=2,(p=2kn+^,kG.Z,

又0V0<a•••(p=p・•・/(x)=2sin(^x+

对于4令5%+2=攵兀，则％=2k-jkeZf

当k=l时，X=p故函数图象的一个对称中心为G，0),故A正确.

对于B,在/'(%)中，令x=l,-x+-=—^kn+~,keZ,B错.

对于C,因为f(x)max=2，f(x)min=-2,又因为1/01)-f(X2)|=4,所以|与一次1的最小值为半

个周期，

即|国一打1的最小值为2,故C正确.

对于。，将/㈤图象上各点的横坐标变为原来的右纵坐标不变，得力⑴=2smg+»再将出)图

象向右平移：个单位长度，得图象的解析式为y=2sin[7r(x-：)+m=2si7i(7rx+»D正确.

oooo

故选：ACD.

利用已知条件求解4推出仍得到函数的解析式/(x)=2sin6％+》求解函数的对称中心，判断4；

通过％=1,判断函数的对称轴，判断B.求解函数的周期，推出|%-％21的最小值判断C•利用函数的

图象的平移变换判断。即可.

本题考查命题的真假的判断，三角函数的图象变换，函数的周期以及三角函数的对称性的判断，是

基础题.

12.答案:ABC

解析：解：由题意得，//(x)=ex-a.

当a<0时，/'(%)>0在％GR上恒成立，

・•・/(%)在R上单调递增，不符合题意.

当a>0时，1(%)>0,B|Jex—a>0,解得％>InQ；1(%)<0,即e"—Q<0,解得％Vina,

・•・f(%)在(—8,Ina)上单调递减,在(Ina,+8)上单调递增.

x

,・,函数/(%)=e-ax有两个零点％i，x2,

・••/(Ina)<0,

...e)。―Q)Q<O,...a>e,故①中判断不正确.

A

/(0)=1>0,/(l)=e—a<0,0<%!<1<Inx0»x2>In%0>1»

不能确定与+X2<2,即②中判断不确定.

X1

(e=axlf2

X2'i+"2=axrx2=与+次=2"a+Inxrx29

\e—ax2

根据Xi+小<2x0=2Ina,可得到Inx^x2<0=0<xxx2<1.故③中判断不正确.

函数的极小值点为=Ina,

要证Xi+x2<2x0,只要证X]<2x0-x2<x0,

:函数/(x)在(-8,和)上单调递减，

只需要证/1(&)=/(X1)>f(2x0-X2).

构造函数g(x)=f(x)-f(2x0-%)

x2xx

=e-e°~—2ax+2axQ(x>x0),

求导得到=ex+e2x°~x—2a>2Ve2xf-2a=0，

二函数g(x)单调递增，gQo)=0，1g(x)20恒成立，

•••f(x)Nf(2x0-x),BP/(X2)>f(2x0-x2)>

"/(^2)=/'(%)>/(2x0-^2)>

Xx

进而得证/<2x()-%2<%O，1+2<2x0»故④中判断正确.

故选：ABC.

求出导函数，判断当aW0时，函数的单调性，当a>0时，函数的单调性，求出极值，判断①.通过

函数在判断匕+犯与2的大小关系，判断②；利用函数值，结合函数的零点，判断0<%62<1•判

断③.利用函数的极小值点为久o=Ina,利用分析法证明久i<2x0-x2<x0,xx+x2<2x0,判断④.

本题考查命题的真假的判断，函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，是

难题.

13.答案：①②③

解析：解：:P为△ABC所在平面外的一点，且PA、PB、PC两两垂直，

•••PA1.BC,即①正确；

同理可得，PBVAC,即②正确；

PCLAB,③正确；

对于④，假设AB1BC,由①PA1BC,PAHAB=A,

则BC_L平面P4B,而PC1平面P4B,

BC//PC,这与PCCBC=C矛盾，

故假设不成立，

.•.4B1BC错误，即④错误.

综上所述，命题正确的①②③，

故答案为：①②③

利用线面垂直的判定定理与性质定理即可对①②③④的正误作出判断

本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了立体几何中空间直线关系的判断，难度中档.

14.答案：100

解析：解：由题意知：

故答案是100.

小

S100=_50(+Q”)=50x2=100

1....2

解析：解：连结BA、A'C,

•••正方体4BC0-4'B'C'D'中，A'D'//BC,A'D'=BC.

•••四边形4'0'CB是平行四边形，可得BA'〃CD',

则4A'BC'就是BC'与C。'所成的角.

•••△ABC'为正三角形，可得/A'BC'=60°.

即BC'与CD'所成的角为60。.

故答案为:60°

连结84、A/C,利用正方体的性质得到四边形AC'CB是平行四边

形，得BA7/C。，从而乙4'BC'就是BC'与CD'所成的角.正三角形△ABC'求得乙4'BC'=60。，即得BC'

与CD'所成的角的大小.

本题考查了正方体的性质、异面直线所成角定义与求法等知识，属于中档题.

16.答案：G，》

解析：解：如图所示：|i4F2|=a+c,I8F2I=

・•・k=tanz.Bi4F—:。

乙2a(a+c)

又TT-4<,k3<~,贝I-.怔14<-aV2—-C52-<3

323a(a+c)2

故答案为：G

作出图形，则易知|AF2|=Q+C,\BF2\再由乙8AF2是直线的倾斜角，易得k=tanNB4F2,

43

得

求

-<<-解

然后通过(32

本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角.属于中档题.

17.答案：解：p化简：{%|-24%工10},

1p：{x\x<-2,或无>10},qq：{x\x<1—m,或%>l+m,m>0}.

v「p是飞的必要不充分条件，

m>0

1-m<一2,解得zn>9.即m的取值范围是{m|m>9}.

.1+m>10

解析：化简p，分别得出ip,利用”是飞的必要不充分条件即可得出.

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

18.答案：解：(I)数列{1}是等差数列,设首项为由,公差为d,

且。2=1，且。4=2；

所以2d=1,解得d=点

所以an=2+g(n-2)=gn+l；

由于。2=1，且。4=2;且尻=3,且于=14,且数列{5+九}是等比数列，

所以：公比勺2=筑=4,

解得q=2.

nn+1

所以即4-Z?n=4X2t=2,

故%=2“+1_(]+1).

(H)由于砥=2"+1-©+1),

所以：s4X^_lxI^+n+2_4+n(n±l)_n.

n2-1L22J4

解析：(I)直接利用等差数列和等比数列的性质确定公差和公比，进一步求出数列的通项公式;

(口)利用分组法的应用求出数列的和.

本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，数列的求和，分组法在数列中的求和，主要考查学生

的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

19.答案：解：(1);=ax+二/'(X)=a+：,

当a=-1时，/(x)=—x+Inx,1(x)=—1+：=号，

当0<x<l时，/(x)>0；当x>l时，f(x)<0,

•••/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

"fOOmax=/(I)=-1-

(2)：(0)=a+：，%e(0,e],1e&+8),

①若则/(x)20,/(x)在(0,e]上单调递增，

•••/(x)max=/(e)=ae+1>0,不合题意;

g)若QV—~t则由/'(%)>0=a+^>0,即0V%V——,

由f(x)V0=Q+(<0,Bp——x<€f

从而/(X)在(0,-》上单调递增，在(一，？)上单调递减，

・・,fQ)ma%=/(一》=-1+皿一)

令-l+ln(—：)=—3,则ln(一》=—2,

••---=e-2,即Q=—e2,

a

v-e2<

e

■-a=-e?为所求.

解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是中档题.

(1)求出函数的导数，代入a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大

值即可；

(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于a的方

程，解出即可.

20.答案：(1)见解析(2)理

解析：（1）证明：取AC中点E,联结BE,以点E为坐标原点，以EB,EC所在的直线分别为x轴，y轴

建立如图所示的空间直角坐标系E—xyz,则0,0）,C（0,2,0）,P（0,-1,、腐）.

于是葡=（一曲，一1，6），露=（一垂，2,°）.

因为商「蔽=（一血，一1，&），（-麻,2，0）=0,所以翻J•赢

所以BP1BC,所以APBC为直角三角形.

（2）由⑴可得,4（0,-2,0）.

于是藤=（0,1,6），再=（石，1，-君），（0,3,-^）.

设平面PBC的法向量为n=（x,y,z）,

则卜.:态=螂,即J/什广病=瞰

、/二藕=岫[物-有El

取y=l,贝i]z=6，x=&

所以平面PBC的一个法向量为n=（含，1,有）.

设直线AP与平面PBC所成的角为0,

则sin9=|cosd®歌,n)\=

所以直线4P与平面PBC所成角的正弦值为

21.答案：（1）证明:设做孙力）,8（*2,力），

4B中点为M（x（）,yo）,

则尤=4/，yl=4X2，

相减可得Si+丫2）（%-丁2）=4（必一42），

y「〉2

又二~-=1，+旷2=2加

所以2yo=4,从而y（）=2,

故线段的中点在直线y=2上；

(2)直线Z：x=y+a,

(x=y^a

由<,，可得y2—4y—4Q=0,

、厂=4x

△=16(a+1),%+丫2=4,y^2=-4Q,

则

IABI=42|y,-y2l=j2^

=4j2(a+l)，

若|AB|=4|0P|,则4行而=4|a|,

即02-2a-2=0,

解得a=l土。,止匕时A>0,

所以a=l±「。

解析：⑴设4(X1，%),B(无2/2)，4B中点为M(Xo，yo).利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”

即可得出；

(2)把直线/：x=y+a的方程与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式、两点之间

的距离公式即可得出。

22.答案：解：(1)根据题意，可得/(%)=蛾一如

①若a<0,则/'(x)=ex-a>0,此时可得函数/(x)在R上单调递增，

又因为f(0)=0,所以函数只有一个零点；

②若a>0,令f'(x)=0,则有x=Ina,

由/'(x)>0,可得x>/na,此时函数/(x)在(Ina,+8)上单调递增，

由/'(x)<0,可得x<bia,此时函数/'(%)在(-8,仇a)上单调递减，

所以/(x)min=f(lna')=a-1-alna,

则(i)当ma=0,即a=1时，则/'(x)>0,此时函数/'(x)只有一个零点；

(")当仇£1力0时，即awl时，则f(bia)<f(0)=0,

又因为当XT-8时，f(x)T+8;当XT+8时，/(X)T+8,

根据零点存在定理可得，此时函数f(x)在R上有两个零点.

综上可得，当QWO或Q=1时，函数/(%)只有一个零点；

当aw(0,1)u(l,+8)时,函数/(%)有两个零点.

(2)设F(x)=/(%)—g(x)-e=e*—ax+Inx—e+a(%>1),

则F<%)=e*-Q+：,

设h(x)=ex-a4-i,则"(%)=弋丁,

由％>1得，x2>1,x2ex—1