2022-2023学年甘肃省白银市靖远四中高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省白银市靖远四中高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知全集U={XeN*|x<6},集合4={1,3},B={2,3,4},则4n(QB)=()

A.{1}B.{3}C.0D.{1,3}

2.若(2—yi)i=6+xi,x,yGR,则(=()

A.-3B.3C.-gD.g

3.下列命题正确的是()

A.任意四边形都可以确定唯一一个平面

B.若直线m上有无数个点不在平面a内，则?n〃a

C.若m〃a,则直线tn与平面a内的任意一条直线都平行

D.若将一个西瓜切3刀，则这个西瓜最多可以被切成8块

4.已知函数/(x)={k若f(a)=l,则a=()

A.2B.2或1C.\D.2或;

5.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金

分割约为0.618,这一数值也可以表示为m=2s讥18。，若正数九满足Tn?+小=%则m九=()

A.sin36°B,2s讥36°C.3sin36°D.4s讥36°

6.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的微文解字》中,某瓷器如图1所示，

该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高(高为6cm)的圆台组合面成，其直

观图如图2所示，已知圆柱的高为20cm,底面直径48=10cm,底面直径CO=20cm,EF=

16cm,若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为()

图1图2

A.669zrcm3B.13387rcm3C.6507rcm3D.13007icm3

7.2013〜2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资及名义增速如图所示，贝4（）

2013—2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资及名义增速

年平均工资/元增速/%

70000

60000

50000

400(H)

30000

20000

1()000

0

A.2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资未突破60000元

B.2013〜2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速逐年递减

C.2013〜2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的40%分位数为8.1%

D.2013〜2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的65%分位数为8.8%

8.《九章算术少中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生

其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”

其意思为“今有水池1丈见方（即CE=1丈=10尺），芦苇生长在水池的

中央，长出水面的部分为1尺，将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如

图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？”将芦苇AB,AC均视为线

段，在芦苇的移动过程中，其长度不变，记4B47=a,则tan（"》—tanG+/=（）

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知。为坐标原点，点力（一1,1）,8（1,3）,AB的中点为C,则（）

A.布=（-2,-2）B.C的坐标为（0,2）

C.OA1.ABD.a，灰的夹角为*

10.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件4="点数为4”，事

件B"点数为奇数”,事件C="点数小于4"，事件。="点数大于3"，则（）

A.4与B互斥B.A与C互斥C.B与。对立D.C与。对立

11.已知函数f(x)=Asin(cox+w)(4>0,0<3<3,|。<]的部分图

象如图所示，则()

A.4=2

n71

B.0=彳

C.3=1

D.f(x)的单调递减区间为仁+kn,^-+kn](k&Z)

oo

12.甲工程师计划将一块边长为6/n的正方形4BCD铁片加工成一个无盖正四棱台，其工程平

面设计图如图1所示，正方形EFGH和正方形4BCD的中心重合，/,],K,L,M,N,0,P分

别是边AB,BC,CD,DA上的三等分点，且EF〃/IB,〃<EF<4B,将图中的四块阴影部

分裁下来，用余下的四个全等的等腰梯形和正方形EFGH加工成一个无盖正四棱台，如图2所

示,则()

图1图2

A.甲工程师可以加工出一个底面周长为87n的正四棱台

B.甲工程师可以加工出一个底面面积为87n2的正四棱台

C.甲工程师可以加工出一个高为1.5m的正四棱台

D.甲工程师可以加工出一个侧棱长为1.5僧的正四棱台

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.将函数y=cos。+g)的图象向左平移1个单位长度后，得到y=f(x)的图象，则/(x)=

；将f(x)图象上每个点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到y=g(x)的图象，

则g(X)=•

14.若sin(a+5=±则cos(2a+今=.

15.一个袋子中有2个红球，2个白球，若从中随机一次性取出2个球，则取出的2个球都是白

球的概率为.

16.若长方体的3条面对角线的长度分别为2、，有、V-5,则该长方体外接球的表面积为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量五=(l,m)5=(3,-2).

(1)若五〃a求m；

(2)若为在方上的投影向量为浜，求m.

18.(本小题12.0分)

已知复数Zi=1+mi(meR)满足z[(2-i)为纯虚数.

⑴求阂；

(2)若复数Z2=zi(n+i3)(neR)在复平面内对应的点位于第三象限，求n的取值范围.

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥。一力BC中，E,尸分别为AC,BC的中点.

(1)证明：EF〃平面4BD.

(2)若MBC,△4CD均为正三角形，AB=2y/~l,BD=求直线BD与平面4BC所成角

的大小.

20.（本小题12.0分）

△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos4=a+26.

⑴求C；

(2)若CD为乙4cB的角平分线，且CD=2,求△ABC面积的最小值.

21.(本小题12.0分)

如图，在正四棱柱4BCD-41B1G5中，E是441的中点.

(1)证明：平面ACC14，平面

(2)若=2AB=4,求点B到平面CEDi的距离.

22.(本小题12.0分)

甲、乙两位同学切磋棋艺，已知甲先手时，甲获胜的概率为|,平局的概率为乙先手时，

3o

乙获胜的概率为上平局的概率为第一局甲先手，后面比赛的先手顺序约定如下：若上一

局有胜败，则本局由上一局的败者先手，若上一局平局，则本局由乙先手，且每局比赛之间

的结果相互独立.若某选手先胜三局，则该选手胜利，比赛结束.

(1)求三局内结束比赛，且甲连胜三局的概率；

(2)求五局内结束比赛，且乙胜利的概率.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：U={x&N*\x<6}=",2,3,4,5},B={2,3,4},

.­.ZuB={1,5},又4={1,3},

•sngB)={i}.

故选：A.

根据题意求全集U,再结合集合间的运算求解.

本题考查交集与补集的混合运算，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由(2-yi)i=y+2i=6+直，得x=2,y=6,

则(=3.

故选:B.

根据复数相等，实部相等，虚部相等.

本题主要考查复数的运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：对于4中，由空间四边形的四个点不共面，所以A错误；

对于8中，由直线m上有无数个点不在平面a内，则巾〃a或m与a相交，所以B错误；

对于C中，若m〃访则平面a内存在直线与直线m不平行(异面直线)，所以C错误；

对于。中，根据平面的基本性质，若将一个西瓜切3刀，则这个西瓜最多可以被切成8块，所以£>

正确.

故选：D.

根据平面的基本性质，空间直线与直线，直线与平面的位置关系，逐项判定，即可求解.

本题考查了平面的基本性质，空间线面关系，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：由题意，当a>l时，令/(a)=log2a=1,

解得a=2,

当a<1时,令/(a)=3a-2=1,

解得a=1.

故选:B.

结合函数的解析式，列出方程，根据对数与指数函数的运算性质，即可求解.

本题考查考查分段函数，函数值，解题中注意分类讨论思想的应用，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由题意得m2+"=4§5218。+/=%由于n>0=n=2cosl8°,

则mn=4sinl80cosl8°=2stn36°.

故选：B.

根据同角关系以及正弦式即可求解.

本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：因为圆柱的高为20cm,底面直径48=10cm,底面直径CD=20cm,EF=16cm,

且两圆台的高都为6cm,

所以该瓷器的容积为：

V=TTX25X20+|X(25TT+100兀+V257rxIOOTT)X6+|X(64兀+IOOTT+

V64TTxIOOTT)x6

iio

=500TT+-X175TTx6+-x2447rX6=13387rcm3.

故选:B.

根据题意利用圆柱和圆台的体积公式直接求解即可.

本题考查组合体的体积的求解，属中档题.

7.【答案】D

【解析】解：根据图象可知2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资突破60000元，因此选

项A不正确；

因为2018年的全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速高于2017年，所以选项3不正确;

2013〜2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速从小到大排列为：

3.7>6.8>7.7,8.1,8.2,8.3,8.8»8.9,11.3,13.8»

因为40%X10=4,65%x10=6.5

所以2013〜2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的40%分位数为

8.1%+8.2%=815%,因此选项c不正确；

2013〜2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的65%分位数为8.8%,

因此选项。正确.

故选：D.

根据图中数据，结合百分数位的定义进行逐一判断即可.

本题主要考查了统计图的应用，考查了百分位数的计算，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：依题意，设4B=x尺，则4c=(x+l)尺，BC=2CE=5尺，

在△ABC中，由+4^2=4C2,得52+/=(x+1)2,得x=12,

所以tana=

AD1Z

Q、4.,a\iTa呜l+tan^(l-tan^)2-(l+tan|)2

故tang—2)一叫+》=嗝―匚礴=书砌f

5

—4tan=

=—2tana6-

故选：A.

根据题意求得4B,从而求得tana,再利用正切的和差公式与倍角公式即可得解.

本题主要考查三角形中的几何计算，属于基础题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于4，AB=(1,3)-(-1,1)=(2,2).故A错误:

对于B,由中点坐标公式得C(二/，亨)，即(0,2),故B正确;

对于C，■■■OA-AB=-1x2+1x2=0>OA故C正确;

而近_一lxO+l—2_£7

COS<0A,0C>=

对于D，西画=2/(-1)2+1=下

■.■<OA,OC>E[O,n],.■■<OA,OC>=^,故Z)正确.

故选：BCD.

由向量的坐标运算可判断4,由中点坐标公式可判断8,由平面向量的数量积的坐标运算可判断C,

由平面向量的夹角可判断D.

本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以4与B互斥，A正确；

事件”点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以4与C互斥，8正确；

事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3"，C错误；

事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”，C与D对立，。正确.

故选：ABD.

利用互斥事件和对立事件的概念求解.

本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：由函数/(尤)的图象，可得4=2,

由/(°)=2sin<p-V-2>可得sinR=

因为3

所以3=今

又由/弓)=2初(勒+》=2,可得初+[=,+2而,即3=2+16k(k€Z),

oo4-

因为0<3<3,

所以3=2,

所以/(%)=2s)(2%+9，

由弓+2ku<2x+弓W+2kjt(k6Z),可得,+k7i旧％+警+kTi(k6Z),

L4Zoo

所以f(x)的单调递减区间为K+而用+k用(keZ).

故选：ABD.

由函数f(x)的图象，得到4=2,利用/(0)=/2,求得9=：,再由居)=2,求得3=2,得出

函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.

本题考查三角函数的图象和性质，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题.

12.【答案】BCD

【解析】解：令正四棱台的底面边长EF=2am,高为/un,侧棱长为bn,等腰梯形EF〃的高为打加,

则由题意可知，〃=gAB=2m,2a+2/ii=4B,即必=3-a(m),

对于4当正四棱台的底面周长为8m时，EF=2m,不满足//<EF,4错：

对于8,当正四棱台的底面面积为8m2时，EF=2Cm，满足〃<EF<4B,8对；

对于C,当正四棱台的高为1.5m时，贝岫=1.5m,

记正四棱台的上下底面的中心分别为01，02,

取〃,，FG的中点Q,R,连接。1。2，OiQ,02R,QR,过点Q作QS_La/?于点S,

则QS=1.5,QR=3-a,RS=a-l,

所以I.52+(a—1)2=(3—a)2,解得a=II，则EF=等nz,

IOo

满足〃<EF<4B,C对；

对于D,当正四棱台的侧棱长为1.5m时，则，=1.5m,过点/作/T1FG于点7,

则"=1.5,JT=3-a,FT=a-l,所以1.5?=(a-l)24-(3-a)2,

即8a2-32a+31=0,解得a=匣匚，则£7?=型2巾，满足〃<EF<4B,。对.

42

故选：BCD.

令正四棱台的底面边长EF=2am,高为历n,侧棱长为bn,等腰梯形EF〃的高为八pn,则由题意

可知，〃=g/1B=2m,2a+2/h=4B,再根据正四棱台的结构分别计算即可判断各选项.

本题考查了正四棱台的特征，属于中档题.

13.【答案】cos(^+1)cos(x+1)

【解析】解：依题意可得/(x)=cos(牛=cosg+|),g(%)=cosgx4+》=cos(x+》.

故答案为：cos(^+1)；cos(x+1).

根据函数图象的变换即可得出函数解析式.

本题考查三角函数的变换，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题.

14.【答案】\

【解析】解：因为sin(a+/)=g,

所以由余弦的倍角公式，可得cos(2a+y)=1-2sin2(a+/)='

故答案为：，

根据余弦的倍角公式，准确运算，即可求解.

本题考查二倍角公式，解题中注意转化思想的应用，属于基础题.

15.【答案】1

【解析】解：根据题意，2个红球记为48,2个白球记为ab,

从中随机一次性取出2个球有4B,Aa,Ab,Ba,Bb,ab共6种取法，

则取出的2个球都是白球的有ab,1种取法，

所以取出的2个球都是白球的概率为P=

故答案为：联

根据题意,用列举法分析“从中随机一次性取出2个球”和“取出的2个球都是白球”的取法数目,

由古典概型公式计算可得答案.

本题考查古典概型的计算，注意列举法的应用，属于基础题.

16.【答案】67r

【解析】解：设该长方体的长、宽、高分别为％、y、z,该长方体外接球的半径为R,

x2+y2=4

则，y24-z2=3»

/+%2=5

上述三个等式相加可得2(/+必+z?)=12,

所以R_J"+y2+z2

因此，该长方体外接球的表面积为4兀/?2=47rx(竽)2=67r.

故答案为：67r.

设该长方体的长、宽、高分别为x、y、z,该长方体外接球的半径为R,根据已知条件可得出关于

x、y、z的等式，求出R的值，再利用球体的表面积公式可求得结果.

本题主要考查球的表面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】M：(1)%,a//b>

:.1x(—2)—3m=0,解得m=—

故m=—|.

(2)因为五-b=3—2m,\b\=V13»

2m1K

--

T3

13

所以登=2,解得m=1.

故m=1.

【解析】(1)根据向量平行的坐标表示即可求解；

(2)根据投影向量的定义即可求解.

本题主要考查投影向量的求解，属于基础题.

18.【答案】解：(l)zi(2-i)=(l+mi)(2-i)=2+m+(2m-l)i,

由zi(2-i)为纯虚数，得六解得血=一2.

所以区|=V1+m2=V~~5;

3

(2)Z2=Zi(7t+i)=(1—2i)(n—i)

n—2—(2n+l)t,

因为复数Z2在复平面内对应的点位于第三象限，

所以惚舒＜0,

解得一：＜n＜2,即ri的取值范围是（一表2）.

【解析】（1）化简z1（l-i）,利用纯虚数的定义，求出m的值，得出复数zi的表达式，即可求出|zi|

的值；

（2）化简复数Z2,利用点在第三象限，即可求出n的取值范围.

本题主要考查复数的模，属于基础题.

19.【答案】解：（1）证明：因为E,F分别为4C,BC的中点,

所以EF〃4B,而EF仁平面AB。，ABu平面AB。，

所以EF〃平面ABD；

（2）连接DE,BE,

因为△ABC,△ACD均为正三角形，AB=26,E,F分别为AC,BC的中点.

所以DE1AC,BELAC,DE=BE=JAB2-(^C)2=V12-3=3.

而80=3<7，=BE2+DE2,

所以BE_LDE,因为4CDBE=E,AC,BEu平面ABC,

所以DE1平面ABC,因此4DBE是直线BD与平面4BC所成角,

而DE=BE,所以4DBE=*.

【解析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）根据等边三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义进行求解即可.

本题考查线面平行的证明，线面角的求解，属中档题.

20.【答案】解：（1）解法1：因为2ccosA=a+2b,

ADB

因为Ce（0,兀）,

所以C=竽.

解法2：因为2ccos力=a+2b,

所以由正弦定理得2sinCcos/l=sinA+2sinB,

所以si九8=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以2sinCcos4=sinA+2sinAcosC+2cosAsinC,

整理得sizM+2sinAcosC=sin/(l+2cosC)=0,

因为4e(0,71),

所以sinA工0,则cosC=—

因为CW(O,TT),

所以C=：.

(2)因为SMBC=S—CD+S〉BCD，

所以;Qbsi几与=-CDsin^4-|h•CDsin^

所以ab=2a4-2b>47ab,

所以abN16,当且仅当Q=b=4时，等号成立，

所以△ABC的面积为"bsinC=-^cib>415，

所以△4BC面积的最小值为4「.

【解析】(1)解法1：根据题意，利用余弦定理得到。2+炉一©2=-帅，求得COSC=-g,即可求

解.

解法2：根据题意，由正弦定理得至"sin做1+2cosC)=0,求得cosC=-卷即可求解.

(2)由SMBC-S“CD+SABC。，结合基本不等式求得ab>16,进而求得△ABC面积的最小值.

本题考查余弦定理，解三角形，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.

21.【答案】⑴证明：因为正四棱柱ABCD-4B1GD1中，可得四边形4BCD为正方形，可得4C_LBD,

由44iJL平面4BCD,BDu平面ABCD,所以A41BD,

因为""AC=4且44i，ACu平面所以BD1平面ACG4，

又因为BDu平面BDDiBi，所以平面4CGA1J■平面

(2)解：如图所示，分别延长5E,DA,交于点M,连接CM,交力B于点F,

因为E为441的中点，且平面〃平面CODiG，

且平面ABBiAnMCDi=EF,且平面CDDiGnMCDi=CDr,所以EF〃CDi，

可得尸的中点ZB,且4D=AM,MF=CF,

所以点B到CEDi的距离等于点B到MEF的距离，

因为正四棱柱4BC0-41B1GD1中，AA1=2AB=4,可得MF==2C,EF=仁，

取ME的中点N,连接FN,可得FN1ME,且FN=「，

所以“财EF=1x2y/~2XV-3-y/~6,且另碇尸=XBfXMA=X1X2=1,

设点B到平面MEF的距离为h,

由^B-MEF—%-MBF,可得百XV6X/l=-X1XAE=-X1X2=—,解得/l——»

即B到平面CEO1的距离芋.

【解析】(1)分别证得4C1BD,AAALBD,得到BD1平面ACCMI，结合面面垂直的判定定理,

即可证得平面4CCM1_L平面BOD/i；

(2)根据题意转化为点B到CEA的距离等于点8到MEF的距离，结合/_MEF=%-MBF，即可求解.

本题主要考查平面与平面垂直的证明，点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

22.【答案】解：(1)若甲连胜三局，

则第一局甲先手，乙败；第二局乙先手，乙败；第三局乙先手，乙败,

1

由题意甲先手甲胜的概率转，乙先手甲胜的概率为「卜戈4-