2020年度全国自考线性代数经管类往年试题答案

全国自考线性代数经管类往年试题答案

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2012年7月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试卷

（课程代码04184）

本试卷共6页，满分100分，考试时间150分钟。

考生答题注意事项：

1.本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效,试卷空白处和背面均可作草稿纸」

2.第一部分为选择JS。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑.

3.第二部分为非选择题必须注明大、小题号，使用0.5亳米黑色字迹签字笔作答“

4.合理安排答题空间,超出答题区域无效，

说明：本卷中，表示矩阵A的转置,。丁表示向的转置，E表示单位矩阵，|A|衰示方

阵A的行列式,47表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.

第一部分选择题

一、单项选择题（本大题共10小题,诲小题2分,共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”

的相应代码涂黑，未涂、错涂或多涂均无分。

1.设A为三阶矩阵，且|A-1|=3,则|一3Al

A.-9B.-1C.1D.9

2.设A=[6，s，a,],其中a,G=l,2,3）是三维列向量，若|A|=】，

则|[4q,2ai—3a：,a»]|=

A.-24B.-12C.12D.24

3.设A、B均为方阵，则下列结论中正确的是

A.若|A8|=0,则A=0或B=0B.若|AB|=。,则|A|=0或|B|=0

C.若AB=0,则A=0或B=0D.若ABK0,则|A|力。或|B|K0

4.设A、B为n阶可逆阵，则下列等式成立的是

C.|（AB尸|=6D.|（A+B尸|=|AT|+|5T|

5.设A为mX”矩阵，且mVn,则齐次方程AX=0必

A.无解B.只有唯一解C.有无穷解D.不能确定

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6.设6=]•则40=

0

003

A.1B.2C.3D.4

7•若A为正交矩阵，则下列矩阵中不是正交阵的是

A.4TB.2AC.AZD.AT

8.设三阶矩阵A有特征值0、1、2,其对应特征向锻分别为勤、&、0，&，2短］,

则P』P=

200'200-

A.010B.000

000,001

9.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B),J«

A.A与B等阶B.A与B合同C.|A|=|J8|D.A与B相似

10.实二次型/(XI,xt,工力=工：+2工；―2皿工,+工；，则f是

A.负定B.正定C.半正定D.不定

第二部分非选择题

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)

请在答题卡上作答.

11.设A、5均为三阶方阵，|川=4,|5|=5,则|24叫=

11201

12.设4=•5=,«ljATB=

3010

20〕

13.设4=010则A->

1002

心所生成的线性空间L(6a，。3)的

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16.设A为三阶方阵，其特征值分别为.1,2,3.则IA-i-El=.

-1][1'

17.设a=1,p=2，且a与。正交，则t=•

,J[l.

18.方程Xi4-xj—x>=1的通解是.

19.二次型/(X),x»,xj,x4)=xtxt+xtXi+x,x4+5工：所对应的对称矩

阵是•

I°i

20.若A=010是正交矩阵，则工=.

0x

三、计算题(本大题共6小题,每小题9分，共54分)

请在答题卡上作答。

1112

21.计算行列式:

2111

22.设A=，且X满足X=AX+B,求X.

23.求线性方程组,2川+xt+4+2-=1的通解.

k5xi+3x»+2口+2x4=3

24.求向量组团=(2,4,2),q=(1,1,0),%=(2,3,D,a,=(3,5,2)的一个极大线性

无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示.

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2-1

2A-1，已知r(A)=2,求人，，的值.

E63

,3-2

26.已知A=-260，求可逆阵P使P^AP为对角阵.

.00

四、证明题(本大题共1小题，共6分)

请在答题卡上作答。

27.设也,a：,a>>a«是四维向量，且线性无关，证明fli^ai+at.ft-at+aj=a3+a4,

A=a,+a线性相关.

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2012年7月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案及评分参考

（课程代码04184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.A2.B3.B4.C5.C

6.C7.B8.B9.A10.B

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11.160

14.11

16.018.，匕为任意实数）

000

7070

19.

0707

0075

三、计算短（本大题共6小题，每小题9分，扶54分）

5555

2

21.解：原式口+=+1+/

2

1111

1121

=5

1211

2111

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01

001

=510

010

00

100

=5

22.解：・.・X-AX=B

贝U(E-A)X=B

/.X=(E-A)-*B

3-r

20

_1-1

23.解：方程的增广矩阵

11005-

A=21121

53223_

11005-

丁2口

-------►0-112-9

r3-5n

0_222-22_

1005-

门-2北

-------►0-112-9

0'00-2-4_

1010-8一

―►01-1013

00012_

=-X3-8

X3为自由未知量」了2=/+13

L=2

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12123'

0-1-1-1

0-1-1-1.

2123110y1

•••6,（X2是一个极大无关组

且=2。1+a2

a4=6+a2

12-11'

「27rl

25.解：A----0—4入+3—4

r3-5ri

10-48t-5,

12-11、

r3~r：

-----0-4入+3—4

。05-Xt-1.

因r(A)=2

故

从而

3一入一20

26.解：以一入E|=-26一入0

003一入

=（3一入）（2—入）（7一入）

***Xi=2,入2=3,入3=7

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../X|-2xi=0

当入=2时行特征方程《

工,=0

201

令P=】Pi，P2，PJ]=10—2

P11

200'

则P\P=030

。07.

四、证明题（本大题共1小题，6分）

0on

110o

27.证：[小，。2,pa*04]=Ceti,a?，&，a4]=[a]a，29a〕，oqJC

01109

0011

・・0],pz9PJ♦04线性相关

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2012年4月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案

（课程代码04184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.D2.A3.B4.C5.A

6.B7.A8.B9.CTO.D

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11.1612.2

15.316.X=-+C、（其中C为任意常数）.

-2-2

17.618.3

19.220.*-4*（形式不惟一）

三、计算题（本大题共6小题,每小题9分，共54分）

3-1-1-1

一41331

21.解D=

1000

2-4-32

-1TT

=（-1）3<,1331

-4-32

1220卜|明.-

二133

-30-9

=48.

欠缺的答案

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22.解由Z+X=X4可得X(2-E)=/l

'0-30、

由4-E=200,得卜-£|=6H0,故Z-E可逆,

、。0J

从而X=4(4-E)T.

(1、

0-0

2

(/4-E尸=-100»

001

lr1、

1-0

2

因此X=--10.

3

002

23.解|/1+5|=|3,72，%,，4)+(0,，2，为，九)|

=|a+夕，2外，2%，2%|

=|a,2力，2人，2九|+忸,2力，2%,2”

=8|。,於，小九|+8|夕,%，3，九|

=8|/|+8|8|

=40.

'1203、

0112

003T3T

、0000,

当r=3时，秩（.，a?，?，&）=2,4,4是一个极大无关组.

当r工3时，秩（4，a?,G,a«）=3,%,%,q是一个极大无关组.，

（极大无关组不惟一）

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25.解对增广矩阵作初等行变换

'1121[3、'1033[4、

A=121-1;201-1-2;-1

3154|7,、0000；0?

得

因此非齐次线性方程组的一个特解为〃•=（4,-1,0,0）\

导出组的一个基础解系为

6=（-3,1,1,0）T,刍=（_3,2,0,1）T,

所以，非齐次线性方程组的通解为

x=7*++k2^2（占为任意常数）.

26.解与马正交的向量工=（不，Xj）T应满足方程

(a1,x)=xJ+x24-Xj=0»

解得它的一个基础解系为$

由于&，&不正交，因此，将心，刍正交化得

5

从而a2=1是所求的两个向量.

、0,

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四、证明题(本题6分)'

27.证一由于r(Zl)Mr(Z)4〃，.•

由题设知「(/，)=”，'•

所以r(4)=〃.故线性方程组4x=0只有零解.•

证二反证法

若线性方程组4c=0有非零解，则存在向量^#0,使*=0J

从而=夕4丁/14=0,•

因此二次型xT(/l))X不是正定的，这与//正定矛盾;

故4c=0只有零解.

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全国1月自考《线性代数（经管类）》答案

课程代码：04184

2012年1月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案及评分参考

（课程代码04184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.D2.A3.D4.D5.A

6.B7.B8.A9.B10.C

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11.-812.-313.A1114.n15.n-

16.r(A,b)=r(A)17.2b18.019.1

20.3

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

11-1211-12

00-530150

21.解：原行列式=

02-4-302-4-3

015000-53

11-12112-1112-1

015001050105

00-14-300-3•1400-3-14

00-53003-5000-19

22.解：由条件ABA1,得

从而(A・E)B=4E

1yl

故B=4(A-E)T=42

4

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fl70011

故，，.，4是极大线性无关组，且

a<=5+2a2-34•

24.解：矩阵A的特征多项式为：

1+1-4-3

|AE-A|=2A-5-3=A(A-1):

-24A+2

故A的特征值为A=o,Z=A=i•,

对于A=0,求解齐次线性方程组(OBA)x=O

得一个基础解系为，故属于入=0的全部特征向量为,

.-1.

11

瓦4=鬲(30)

.-1.

对特征值入=儿=1,考虑齐次线性方程组(1E"A)X=O

求解得，其一个基础解系为:

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故属于特征值％=A=1的全部特征向量为

o，其中2不全为o

2.

25.解:对该齐次线性方程组的系数矩阵实行初等行变换得

由于r(A)=2V4,基础解系含2个自由未知量.

原方程组等价于〈4为自由未知量.

\xi=2xi-lxt

令"=j，□，得方程组的一个基础解系为

故原方程组的通解为:

其中G，Q为任意常数.

26.解:对A施行初等行变换将其化成阶梯形

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由于4的非。行数为3.

故A的秧为3................................................................................................（9分）

四、证明题（本大题共1小题.6分）

27.证明,设有一组数.，扁出，使一。|+,%+扁%=0.........................................（2分）

是Ax=0的解.（4分）

注意到Ax-0只有零解，因为A的秩等于3=未知量的个数.

故扁・*±・扁-0•从而5，%，,线性无关..........................（6分）

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毓★后骊

2叩年1。月高翱育自学考试抽统一命睇试

线性代数（经管类）趣答案及评分参考

（赠耦04184,）

-6-in

一靴辘瑞（姒麟I。小班制配分，420分）T"一1*4・“”g9

6

IB1BJ.C4C5,B

6A1D«D9.A10.D1-13J1-13-2

I・32《04»-1Y

二'岫U便大默㈣闻如陵2分,共20分）S%吗0,0卜,T9

15-1100010

J1外2p.,000p-2

p：21t4翻4,备必义生一出关,

西向靖的好J,,1,7#

—（或却4a）为其一个极大无关也…9分

笫⑴助程励糠随力4则:因+4XE）,-2分

硼当加月打,时，I/。，旗融推-现“,3分

[=-：的，M),疝，方糊无晶"…，分

三计嬲体大麟6愧,胡蜃9分,共*分）

hi也师=疝=2<3,鹿鼬玻多解,…5#

21第k-小卜曲却”,心M

⑴当相时，

小-川同f分/।-ijnnoo|i)

：»,4»|1-I112-Jo1-i'i-11…]分

=,必闻也/闻15-5|-1J|,000joj

-、力创-榆川

…6分酬为:M1

其朴为ffil耗,…99

中-刎=2

…9分bJU.

辘僧修觑）《g告融财豺知员快3页）线性触（（险皆知崩饿及附储华倒页决3页）

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25.斛<1）8的特征值为必=/=】，/……6分

（2）国=必必=3……9分

26解/（A，4小）=父-44三一2<+12M%-2片

=（^_44q十4只）―6彳+12。4_2片....2分

二（玉一一6（$—左弓+x-）+4x；

3

=（%—5~6（xx-Xj）+4^f・“…5分

必二年一益苦=*+2为+2为

令为二七7,则经可逆线性变换马=y2+.y3-----8分

必=/马=%

将二次型化为标准形斤-6无+4年……9分

四、证明题（本题6分）

27证因为/=-/•，2

所以同=卜叫=（犷卜'卜-|4,5分

因此|H=o6分

线性代数（经管类）试题答案及评分参考第3页（共3页）

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2011年7月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案

（课程代码04184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.D2.A3.C4.D5.C

6.D7.C8.C9.A10.B

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11.013.a2bc

・31'

0

22

14.15.*=乂1+&1+0

旦oj[0J

~2T.I

c30,.-10.

16.-217.4=4=1,4=-118.0_]（或03）

19.E20.-0

22

士计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

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12-1

=101-2-1

-3-2-1

02-1

=100•-2-1

-4-2-1

=160

22.解：由卜-耳.0,因此4-E可逆

且X=(A-E)-\A2-E)

=(A-F)-'(A-EKA+E)

=4+H

20f

=030

162

I

1253

-210-1

23.解：设4=(a“a21a"aj=3275

-1—2—5—3

2-3-4-1

对X进行行初等变换化为行最简形矩阵

'1011-

0121

A->0000

0000

.0000

所以秩％,a2,%,%=火(4)=2

易知%,a?为%,4,%,a,的一个展大无关组

且有a,=.+iava4=a,+a2

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"12-2

24.解：设方程系数矩阵4=2-1A

31-1

:AX=O有非零解

则⑷=0

I20

而|A|=2-1A-1=5(4-1)

310

所以入=1

当X=1时，原方程可变为

x,+2X2=2x,

X2=巧

。

通解为X=*1(**0)

25.解：设4的属于4=-1的特征向髭a=(X],X[,x,)r,

由于4为实对称，则a与4的见于4=4=1的特征向量正交,

则卜+*2+匕=。

2X|+2x2+x,=0

解方程得

T、

a-k-1k丰Q

、o>

011,

26.解:/的矩阵4=10-1

1-10

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-aii

由/=1-A-1+%=°

得

1-1-43*产。

得4=4=1,4=-2%■4=&■()

当4・4=1时，解方程组■，4+2，，0)+30,线性无关

基础解系为G=（i，o,DIG=（1/，0）’

其全部特征向量为4G+A2c（占，的不全为零）

211石

对&=-2时，由12-1X,=0

1-12

解得C=（1，-1，T）「

正交规范化々，Q,6得

自=5（1,04,4噎（-1，-2,»,氏吟（1,-1,-1）,

1T1

万

石

忑

T

令

P。

=石

-2,Y^PX

I761T

忑

石

石

—乂-2y；

四、证明题（本大题共I小题，6分）

27.证：令片仔+&（马+肛）+厮（$+3%）=0

即（4+&+2用，+3号=。

由%,6,O,线性无关

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k+k+Ar0

=

x3

得2

k=0

2

2

3月=0

与=&==0

&

,,+2%3%线性无关

a%,%+

二

二

二

=

=

=

*

曹

三=

等匚

g

最M

_

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2011年4月高等教育自学考试全国统一命题考试

••

线性代数（经管类）试题答案

（课程代码04184）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.D2,C3.C4.D5.A

6.A7.B8.D9.B10.C

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11.212.0

1

13.(14,0)14.7

15.2E16.(4,-3,0)

,1234、

1718.乂1,1,…,1）1（左为任意常数）

19.2420.a>4

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

线性代数（经管类）试题答案，第1页（共3页）

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22.解由于|4|=2,所以4可逆.

经计算

又由于所以B可逆且=

由此可知B的列向量组的秩为3,且第1,2,4列为B的列向量组的一个极

大线性无关组，所以向量组5,的秩为为其一个极大

线性无关组（4也是一个极大线性无关组）.

24.解

由此得r(«A)=2^r(A)=3.

线性代数（经管类）试题答X第2页（共3市'

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25.解由于.，■线性无关，令P=（,,.）,则由P-'AP=1j'得到

U2)

26.解因为A与4相似，所以存在可逆矩阵P,使

A=P-'AP

\A-E|=\P-'AP-E\

=\P'\A-E)P\

=\A-E\

-20

==-2

01

四、证明题(本大题共6分)

27.证巳知-8,贝！)

(1)(AB-BA)T=(AB)T-(BA)T

=BTAT-ATBT

=-BA+AB

=AB-BA

所以AB-8A为对称矩阵

⑵(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T

=BTAT+ATBT

=-BA.-AB

=-(AB+BA)

所以AB+BA为反对称矩阵

线性代数（经管类）试题答r第3页（共3页）

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全国1月自考线性代数（经管类）参考答案

-

1、B2、A3、C4、B5、A6、C7、C8、B9、D10、A

二、ssa

io.

11、-1,312.13、31

k1---

122.

14、(-21,7,15,13)I5^n16、0

17、218、019、“20、-V^VtV夜

三、计算题

a+b+ca+b+c'a+b+c

26b—a-c2b

2c2cc-a—b

111

—(a+b+c)2bb-a-c2b

2c2cc-u-b

=(a+6+c)3

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22.解:对矩阵实行初等变换，得

当X=3时，A的秩为2

当）#3时，A的秩为3

131100

23.解：由于C4•E)=261010

行以■■>

001001

00-532

102-1-1

01001

、-532

所以